第5节比率的区间估计

1、1 * *第五节第五节2一、比率和比率的点估计一、比率和比率的点估计,10分分布布的的服服从从参参数数为为总总体体 pX,21nXXX样样本本,11nxnxpnnii ,pEX 比率的点估计比率的点估计即为频率，即为频率，是无偏估计是无偏估计. .3二、比率的区间估计二、比率的区间估计1 1. .大样本大样本, ), 1(pBX, 9 . 01 . 0理理充充分分大大，由由中中心心极极限限定定当当np ,)1(,nppXDpXE , )10()1(，近似服从近似服从 NnppppU (1) 利用正态分布逼近利用正态分布逼近4| 2 uUP ,1|)1(| 2 upnpnpPn)1( ,)1(

2、(22nppupnppup , )10()1(，近似服从近似服从 NnppppU |)1(| 2 unppppP 置置信信区区间间的的即即得得代代替替在在大大样样本本下下用用 1,ppp5解解例例1 1 在一指定地区的选民中，随机挑选在一指定地区的选民中，随机挑选300名选民进名选民进行民意测验，结果有行民意测验，结果有 182人对某个指定的候选人是满人对某个指定的候选人是满意的意的. . 求在所有选民中，对这位候选人满意的比率求在所有选民中，对这位候选人满意的比率 p的的95%的置信区间的置信区间. .,61. 0300182 p,96. 1205. 0 u,055. 030039. 061

3、. 096. 1)1( 2 nppu . )665. 0,555. 0()055. 061. 0,055. 061. 0( 所以所以 p 置信区间近似为置信区间近似为6解解例例2 2 某市为了解居民住房情况，抽查了某市为了解居民住房情况，抽查了20002000户户 ，其，其中人均不足中人均不足5 5平方米的困难户有平方米的困难户有214214户，试求该市困难户，试求该市困难户所占比率户所占比率 p 的的95%的置信区间的置信区间. .,107. 02000214 p,96. 1205. 0 u,0135. 02000893. 0107. 096. 1)1( 2 nppu . )1205. 0,

4、0935. 0()0135. 0107. 0,0135. 0107. 0( 所以所以 p 置信区间近似为置信区间近似为7(2) 利用泊松分布逼近利用泊松分布逼近较较小小时时，或或较较大大，当当ppn1 ）或或9 . 01 . 0,100( ppn近近似似置置信信区区间间为为的的的的置置信信度度为为充充分分小小时时，比比率率充充分分大大， 1ppn)22,122(bnbanann .22,221 nnff 自自由由度度, )(, )(2221221fbfa 其中其中)22,222(nbpnbnapna 或或8近近似似置置信信区区间间为为的的的的置置信信度度为为充充分分大大时时，比比率率充充分分大

5、大， 1ppn)1212,22( bnbnanannnnn . )()(2221122fbfa ，其其中中. )(2),1(221nnnfnf 自由度自由度)221221,2121(nbpnbpnapnap 或或9解解例例3 3,2812151300 nnn ）（，）（设设.%95的的置置信信区区间间的的求求比比率率p05. 005. 0153001 ，）（pnn3222,30221 nnff 自自由由度度,791.16)30()(2975. 01221 fa,480.49)32()(2025. 0222 fb. )0811. 0,0282. 0( 所以所以 p 置信区间近似为置信区间近似为)

6、22/,222/(nbpnbnapna 10解解所以所以 p 置信区间近似为置信区间近似为05. 0937. 02813002 ，）（pnn38)(2,40)1(221 nnnfnf 自自由由度度,342.59)40()(2025. 0122 fa,878.22)32()(2975. 02221 fb. )961. 0,903. 0( )221221,2121(nbpnbpnapnap 112 2. .小样本小样本)(1121ppp，的置信区间的置信区间的的二项分布二项分布）（ ,2)1(11 nxxnxxnnppC.2)1(022 nxxnxxnppC：由下列两式决定由下列两式决定其中其中2

7、1,pp12解解例例4 4 某校随机抽查某校随机抽查20名男生，发现有名男生，发现有4人爱好游泳，人爱好游泳，求该校男生中爱好游泳的比率求该校男生中爱好游泳的比率 p的的90%的置信区间的置信区间. . )40. 0,07. 0(所以所以 p 置信区间近似为置信区间近似为,01. 0420 ，nn,05. 0)1(204201120 xxxxppC,07. 0 1 p05. 0)1(40202220 xxxxppC95. 0)1(30201120 xxxxppC查查表表,40. 0 2 p13如如下下：，置置信信区区间间的的的的分分布布的的关关系系，构构造造利利用用二二项项分分布布与与)(1

8、21pppF ,),()1(1221ffFnpnnn ,)()2, 2()1()2, 2()1(2122122nnnnffFffFp .222,221 nnnff (2) 利用利用 F 分布求分布求 p 的置信区间的置信区间14,34, 821 ff,06. 3)8 ,34(2 F,14. 2)32,10(2 F,071. 006. 317441 p,401. 01614. 2514. 252 p解解例例5 5 某校随机抽查某校随机抽查20名男生，发现有名男生，发现有4人爱好游泳，人爱好游泳，求该校男生中爱好游泳的比率求该校男生中爱好游泳的比率 p 的的90%的置信区间的置信区间. . )401