第六章流体动力学积分方程分析

1、1第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析6-1 6-1 物质积分的随体导数物质积分的随体导数雷诺输运定理雷诺输运定理系统系统是指某一确定流体质点集合的总体，系统的边界把系是指某一确定流体质点集合的总体，系统的边界把系统与外界分开，系统的体积和边界形状随流动而变化，在统与外界分开，系统的体积和边界形状随流动而变化，在系统的边界上没有流体流进和流出，即系统与外界没有质系统的边界上没有流体流进和流出，即系统与外界没有质量交换，系统始终由同一些流体质点组成。量交换，系统始终由同一些流体质点组成。控制体控制体则是指流场

2、中某一确定的空间区域，控制体的边界则是指流场中某一确定的空间区域，控制体的边界面称为面称为控制面控制面，控制面上可以有质量交换，即有流体流进，控制面上可以有质量交换，即有流体流进和流出，因此占据控制体的流体质点是随时间而改变的。和流出，因此占据控制体的流体质点是随时间而改变的。2第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析系统的边界有几个特点：系统的边界有几个特点：1 1）系统的边界随流体一起运动，系统的体积、边界面的）系统的边界随流体一起运动，系统的体积、边界面的形状和大小可以随时变化形状和大小可以随时变化2 2）在系统的边界处没有质量交换，即没有流体流进或流）在系统的边界

3、处没有质量交换，即没有流体流进或流出系统的边界出系统的边界3 3）在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力）在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力4 4）在系统的边界上可以有能量交换，即可以有能量输入）在系统的边界上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出系统的边界或输出系统的边界3第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析流体控制面的特点：流体控制面的特点：1 1）控制面相对于坐标系是固定的控制面相对于坐标系是固定的2 2）在）在控制面上可以有质量交换，即可以有流体流进或流控制面上可以有质量交换，即可以有流体流进或流出控制面出控制面3 3）在）在控制面上受到控制体以外

4、物体施加在控制体内流体控制面上受到控制体以外物体施加在控制体内流体上的力上的力4 4）在）在控制面上可以有能量交换，即可以有能量输入或输控制面上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出控制面出控制面4第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析雷诺输运公式雷诺输运公式 一个流体系统的动量可通过系统体积一个流体系统的动量可通过系统体积(t)内内积分求得，如图所示，系统内任一体积微元积分求得，如图所示，系统内任一体积微元d d的动量可写的动量可写为为 ，则系统的总动量为，则系统的总动量为 ，系统动量对时，系统动量对时间的变化率为间的变化率为dV)(tdVK)(tdVDtDdtKd系

5、统在运动过程中不断改变其位置、形状和大小，同时组系统在运动过程中不断改变其位置、形状和大小，同时组成系统的流体质点的密度和速度也在变化，因此流体系统成系统的流体质点的密度和速度也在变化，因此流体系统的动量是一个变量，求系统动量对时间的变化率，就是求的动量是一个变量，求系统动量对时间的变化率，就是求一个物质积分的随体导数。一个物质积分的随体导数。(6-1)5第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析作为普遍的情形，定义单位质量流体的物理量分布函数作为普遍的情形，定义单位质量流体的物理量分布函数(x,y,z,t)(x,y,z,t)，是空间位置和时间的函数，即一个欧拉变是空间位置

6、和时间的函数，即一个欧拉变量。某瞬时在系统内对量。某瞬时在系统内对作体积分，即可求出系统所包含的作体积分，即可求出系统所包含的总物理量总物理量)(td积分区域积分区域(t)是系统的体积，它随时间而变化。如分别取是系统的体积，它随时间而变化。如分别取1、 和和 ，则它们的体积分，则它们的体积分就分别是系统的质量、动量和就分别是系统的质量、动量和动量矩。动量矩。VVr 注意到系统由许多小的流体微元组成，因此系统的总注意到系统由许多小的流体微元组成，因此系统的总物理量对时间的变化率物理量对时间的变化率D/Dt等于各流体微元的物理量等于各流体微元的物理量对时间变化率的总和对时间变化率的总和DtDDtD

7、DtD(6-3)(6-2)6第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析一个体积为一个体积为的流体微元包含的物理量为的流体微元包含的物理量为= ，于是，于是DtDDtDDtD上式推导中考虑到流体微元的质量上式推导中考虑到流体微元的质量为常量，将上式代入为常量，将上式代入式（式（6-3），可得），可得DtDDtD当所取流体微元的体积当所取流体微元的体积非常小时，上式右侧可写成积分的非常小时，上式右侧可写成积分的形式形式)(tDtDDtD7第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析如果利用一个在如果利用一个在t时刻与时刻与(t)重合，而空间位置及大小形状均重合

8、，而空间位置及大小形状均不随时间变化的控制体不随时间变化的控制体来替换来替换(t)，上述体积分值将保持不，上述体积分值将保持不变，于是变，于是DtDDtD将上式右侧的被积函数作如下展开将上式右侧的被积函数作如下展开VttVtVVtVtDtD (6-4)8第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析将上式及式（将上式及式（6-2）代入式（）代入式（6-4），得），得VtdDtDt)(引用高斯定理，上式又可写为引用高斯定理，上式又可写为AtdAnVdtdDtD)(6-5)式（式（6-4）与式（）与式（6-5）称为）称为雷诺输运公式雷诺输运公式。 雷诺输运公式雷诺输运公式有清楚的物

9、理意义：式（有清楚的物理意义：式（6-5）左侧表示一左侧表示一个系统的总物理量对时间的变化率个系统的总物理量对时间的变化率，积分域，积分域(t)是系统的体是系统的体积，积， (t)随时间变化；随时间变化；9第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析 式（式（6-5）右侧第一项表示在时刻）右侧第一项表示在时刻t与系统重合的静止控与系统重合的静止控制体内的物理量变化率，式（制体内的物理量变化率，式（6-5）右侧第二项的面积分表）右侧第二项的面积分表示通过控制面净流出控制体的物理量流率。示通过控制面净流出控制体的物理量流率。10第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积

10、分方程分析 对于静止控制体，求体积分与对时间求导数的运算顺对于静止控制体，求体积分与对时间求导数的运算顺序可以交换，式（序可以交换，式（6-5）右侧第一项又可写为）右侧第一项又可写为ddtddt 利用式（利用式（6-5）可以方便地将式（）可以方便地将式（6-1）改写为）改写为AtdAnVVdVdtddVDtD)(6-6) 即一个系统总动量对时间的变化率等于该时刻与系统即一个系统总动量对时间的变化率等于该时刻与系统重合的静止控制体内的动量变化率与通过静止控制面净流重合的静止控制体内的动量变化率与通过静止控制面净流出控制体的动量通量之和出控制体的动量通量之和。11第六章第六章 流体动力学的积分方程

11、分析流体动力学的积分方程分析一维流动一维流动 在实际问题中，控制面往往只有几个进口和出在实际问题中，控制面往往只有几个进口和出口，而且流动参数在这些有限的进口或出口上又是均匀分口，而且流动参数在这些有限的进口或出口上又是均匀分布的，即流动是一维的，此时式（布的，即流动是一维的，此时式（6-56-5）右侧的面积分可以）右侧的面积分可以简化，对某一出口截面面积简化，对某一出口截面面积A Ai，有，有iiAiAmmdmdiiiiiiAVm式中，式中， 是质量流量，它的单位是是质量流量，它的单位是kg/skg/s。流体流出控制体。流体流出控制体时质量流量为正，而流进控制体时质量流量为负值，因此时质量流

12、量为正，而流进控制体时质量流量为负值，因此在进口截面的在进口截面的 前需加负号。于是式（前需加负号。于是式（6-56-5）可写为）可写为m m iiniiioutiitmmddtddDtD)(6-7)12第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析在图示的控制面上，在图示的控制面上，和和是进口，是进口，、和和是出口，是出口，式（式（6-76-7）可写为）可写为4411553322)(-mmmmmddtddDtDt13第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析6-2 6-2 连续方程连续方程 在第在第3章章3.5节给出了微分形式的连续方程，本节推导积节给出了

13、微分形式的连续方程，本节推导积分形式的连续方程。在流场内任取一系统，其质量为分形式的连续方程。在流场内任取一系统，其质量为dM 根据质量守恒定律，系统的质量不随时间变化，即根据质量守恒定律，系统的质量不随时间变化，即0dDtD 引用式（引用式（6-5），令），令=1，则对系统的质量守恒定律可用，则对系统的质量守恒定律可用对静止控制体和控制面的积分表示为对静止控制体和控制面的积分表示为0AdAnVddtd(6-10)14第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析 上式第一项是静止控制体内的流体质量变化率，第二项上式第一项是静止控制体内的流体质量变化率，第二项是净流出静止控制体

14、的质量流量；式（是净流出静止控制体的质量流量；式（6-10）表示单位时间）表示单位时间控制体内流体质量的增加量与流出控制体的流体质量之和等控制体内流体质量的增加量与流出控制体的流体质量之和等于零。于零。 当控制面只有有限个一维进口和出口时，式（当控制面只有有限个一维进口和出口时，式（6-10）可改写）可改写为为0iiniiiioutiiiVAVAddtd(6-11)15第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析定常流动定常流动 对于定常流动，对于定常流动， ，于是式（，于是式（6-6-1010）简化为）简化为0dtddtd0AdAnV式（式（6-11）相应改写为）相应改写为

15、iiniiiioutiiiVAVA或或iiniioutimm如果控制面只有一个进口和出口，式（如果控制面只有一个进口和出口，式（6-13）蜕化为式（）蜕化为式（3-39）(6-12)(6-13)a(6-13)b式（式（6-13）表示，）表示，在定常流动条件下单位时间流出与流进静在定常流动条件下单位时间流出与流进静止控制体的流体质量相等。止控制体的流体质量相等。16第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析不可压缩流动不可压缩流动 设流体密度设流体密度为常数，即等密度流动，则为常数，即等密度流动，则式（式（6-11）中的）中的可以移出积分和求和运算符号以外，注意可以移出积分和

16、求和运算符号以外，注意到到dtdddtdddtd当控制体体积不随时间变化时，上式等于零，于是式（当控制体体积不随时间变化时，上式等于零，于是式（6-10）可简化为可简化为0AdAnV等密度流动是式（等密度流动是式（6-14）成立的充分条件，而非必要条件。）成立的充分条件，而非必要条件。对不可压缩流动，式（对不可压缩流动，式（6-13）可改写为）可改写为(6-14)iiniiioutiiVAVA或或iiniioutiQQ(6-15)a(6-15)b17第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析如果控制面只有一个进口和出口，式（如果控制面只有一个进口和出口，式（6-15）蜕化为

17、式（）蜕化为式（3-38）式（式（6-15）表示，）表示，单位时间流出与流进静止控制体的流体体单位时间流出与流进静止控制体的流体体积相等，这是不可压缩流动中流体体积保持不变的自然推论。积相等，这是不可压缩流动中流体体积保持不变的自然推论。这一结论无论对于定常流动还是非定常流动都是成立的。这一结论无论对于定常流动还是非定常流动都是成立的。18第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析6-3 6-3 能量方程能量方程 热力学第一定律适用于初始状态静止，经过一系列变化热力学第一定律适用于初始状态静止，经过一系列变化后又恢复静止状态的系统。由于流体处于连续的运动中，在后又恢复静止状

18、态的系统。由于流体处于连续的运动中，在研究流体系统的能量守恒时需要对热力学第一定律加以修正，研究流体系统的能量守恒时需要对热力学第一定律加以修正，考虑流体总能量考虑流体总能量(内能、动能与重力势能之和内能、动能与重力势能之和)的变化，即处的变化，即处于流动中的一个流体系统的总能量的变化率等于外力对它的于流动中的一个流体系统的总能量的变化率等于外力对它的作功功率和外界对该系统的传热功率之和，以数学公式表示作功功率和外界对该系统的传热功率之和，以数学公式表示为为WQDtDE 根据根据热力学第一定律，一个系统的内能变化等于外力对热力学第一定律，一个系统的内能变化等于外力对该系统所作的功与外界传递给系

19、统的热量之和该系统所作的功与外界传递给系统的热量之和。(6-18)19第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析式中式中， 是系统的总能量，单位质量流体所具有的能是系统的总能量，单位质量流体所具有的能量包括内能量包括内能 、动能、动能V2/2和重力势能和重力势能gz(取取z轴铅垂向上轴铅垂向上)，即，即edEu式式(6-18)中中 和和 上的圆点表示对时间的导数，它们分别是上的圆点表示对时间的导数，它们分别是传热功率和作功功率。传热功率和作功功率。 可以是单位时间内通过系统界面以可以是单位时间内通过系统界面以热传导形式传递给系统的热量，也可以是以辐射形式或内热热传导形式传递

20、给系统的热量，也可以是以辐射形式或内热源传递给系统的热量；当外界传递热量给系统时源传递给系统的热量；当外界传递热量给系统时， 为正。为正。同样当外界对系统作功时，作功功率同样当外界对系统作功时，作功功率 为正。注意不要将为正。注意不要将 与体积流量与体积流量Q相混淆。相混淆。QWQQQW 运用雷诺输运公式运用雷诺输运公式(6-5)可以把对系统的随体导数转换为可以把对系统的随体导数转换为对静止控制体的表示式对静止控制体的表示式 AtdAnVeeddtdedDtDDtDE)(gzVue22(6-19)20第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析在推导式在推导式(6-5)时，假

21、定在考虑时刻系统与控制体重合，因此时，假定在考虑时刻系统与控制体重合，因此传递给系统的热量和对系统所作的功也可以看作是传递给控传递给系统的热量和对系统所作的功也可以看作是传递给控制体内流体的热量和对控制体内流体所作的功制体内流体的热量和对控制体内流体所作的功 CVsysWQWQ于是式于是式(6-18)可写为可写为WQdAnVeeddtdA这里需要对这里需要对 作一些说明。在许多情形下外界向控制体内输作一些说明。在许多情形下外界向控制体内输入功率主要是通过旋转轴驱动叶轮实现的，即使是往复式的入功率主要是通过旋转轴驱动叶轮实现的，即使是往复式的压缩机和内燃机中也存在旋转轴。将外界通过旋转轴传递给压

22、缩机和内燃机中也存在旋转轴。将外界通过旋转轴传递给控制体的功率计作控制体的功率计作 ，或简写为，或简写为 称为轴功率。称为轴功率。 WshaftWsW(6-20)21第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析 还包括压力对控制体的作功功率，压力作功发生在控还包括压力对控制体的作功功率，压力作功发生在控制面上，作用在一个微元面制面上，作用在一个微元面dA上的压力作功功率等于压力与上的压力作功功率等于压力与流入控制体的流体速度的法向分量的乘积流入控制体的流体速度的法向分量的乘积WdAnVppdAVn在控制面积分上式得总压力作功功率在控制面积分上式得总压力作功功率 AdAnVp另

23、外还需考虑作用在控制面上的粘性力的作功功率。微元面另外还需考虑作用在控制面上的粘性力的作功功率。微元面上的粘性应力上的粘性应力由法向分量和切向分量组成，粘性力作功功由法向分量和切向分量组成，粘性力作功功率等于作用在一个微元面上的粘性力与相应流体速度矢量的率等于作用在一个微元面上的粘性力与相应流体速度矢量的点积点积 dAV粘性应力总作功功率为粘性应力总作功功率为 dAVW22第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析 取决于控制面的不同特点，上述面积分取不同的值：取决于控制面的不同特点，上述面积分取不同的值：(1)如部分控制面为静止固体表面，则如部分控制面为静止固体表面，则

24、，在这部分控制在这部分控制面上的相应积分等于零；面上的相应积分等于零；(2)如部分控制面为旋转轴表面，则在这部分表面上粘性力所如部分控制面为旋转轴表面，则在这部分表面上粘性力所作功已记入作功已记入 轴功中；轴功中；(3)如部分控制面为流体进出控制体的通道，流体速度与微元如部分控制面为流体进出控制体的通道，流体速度与微元面面dA垂直，此时切向粘性力作功为零，只有法向粘性力作功，垂直，此时切向粘性力作功为零，只有法向粘性力作功，在绝大多数情形下，粘性应力的法向分量都非常小，法向粘在绝大多数情形下，粘性应力的法向分量都非常小，法向粘性力作功可忽略不计；性力作功可忽略不计；(4)在一些特殊情形下，如控

25、制面本身相对于控制体移动，如在一些特殊情形下，如控制面本身相对于控制体移动，如移动的输送带，则需要考虑粘性应力的作功。移动的输送带，则需要考虑粘性应力的作功。0V23第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析 综合以上分析，外界对控制体作功功率可表示为综合以上分析，外界对控制体作功功率可表示为 AsdAnVpWWW将上式代入式将上式代入式(6-20)得得 AsAdAnVpWWQdAnVeeddtd将压力功项合并到等式左侧的面积分项中，则有将压力功项合并到等式左侧的面积分项中，则有 WWQdAnVpeeddtdsA考虑到式考虑到式(6-19)，并引用焓的定义，并引用焓的定义

26、，得，得 puhWWQdAnVgzVhdgzVudtdsA2222(6-21)24第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析上式即对静止控制体的能量方程。如上所述，在绝大多数情上式即对静止控制体的能量方程。如上所述，在绝大多数情形下式形下式(6-21)中的粘性应力作功项可忽略。中的粘性应力作功项可忽略。 一维流动一维流动 如果控制体有数个进口和出口，且流动可近似如果控制体有数个进口和出口，且流动可近似为一维流动，即为一维流动，即、 、V2/2和和gz在进出口截面上是均匀分在进出口截面上是均匀分布的，则式布的，则式(6-21)左侧的面积分可写为左侧的面积分可写为 hinino

27、utoutAmgzVhmgzVhdAnVgzVh222222式中，式中， 。真正的一维流动只有在横截面无限小的流。真正的一维流动只有在横截面无限小的流管中才存在，这相当于流体质点沿流线的流动，管中才存在，这相当于流体质点沿流线的流动，横截面为有横截面为有限大小的真实流动通常都不是一维的限大小的真实流动通常都不是一维的，但在一定条件下可以，但在一定条件下可以作为一维流动来处理。作为一维流动来处理。 VAmi(6-22)25第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析 对于定常流动，且控制面只有一个一维进口和一个一维对于定常流动，且控制面只有一个一维进口和一个一维出口，如用出口，

28、如用1表示进口，用表示进口，用2表示出口，则式表示出口，则式(6-21)可简化为可简化为112112222222mgzVhmgzVhWWQs考虑到考虑到 ，上式又可写为，上式又可写为mmm21 wwqgzVhgzVhs2222121122式中式中， ，分别表示相对于单位，分别表示相对于单位质量流体的传热量、轴功和粘性功，每一项的量纲都是速度质量流体的传热量、轴功和粘性功，每一项的量纲都是速度的平方。的平方。 (6-23) 这里需要指出，这里需要指出，只要存在轴功，叶轮机械如汽轮机内的只要存在轴功，叶轮机械如汽轮机内的流动就是非定常的流动就是非定常的，但这种非定常流动对整个流动来说往往，但这种非

29、定常流动对整个流动来说往往是局部的，叶轮机械的上游和下游的流动仍然是定常的；叶是局部的，叶轮机械的上游和下游的流动仍然是定常的；叶轮机械内部的非定常流动通常是周期性的，从时间平均的角轮机械内部的非定常流动通常是周期性的，从时间平均的角度也可视为定常流动。度也可视为定常流动。式式(6-23)可应用于流动的两个定常流可应用于流动的两个定常流动截面，在两个截面之间则允许存在局部非定常流动。动截面，在两个截面之间则允许存在局部非定常流动。mWwmWwmQqss , , 26第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析不可压缩流动不可压缩流动 管道内的低速流动可近似视为不可压缩流管道内

30、的低速流动可近似视为不可压缩流动。式动。式(6-23 )应用于管道内的不可压缩流动时，通常重新将应用于管道内的不可压缩流动时，通常重新将焓写为内能焓写为内能 与与p/之和的形式。管道系统内部可能包含水之和的形式。管道系统内部可能包含水泵和水轮机等水力机械，注意到管道壁和水力机械壳体均泵和水轮机等水力机械，注意到管道壁和水力机械壳体均为静止壁面，粘性力作功项为零。式为静止壁面，粘性力作功项为零。式(6-23)每一项除以重力每一项除以重力加速度加速度g，并注意到液体密度沿流道为常数，并注意到液体密度沿流道为常数，1=2，有，有 ushquuzggpzgVgpg2V21222221211式中，式中，

31、 。gwhss令令g12quuhf称为称为水力损失水力损失。27第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析对于不可压缩流动，流体内能的增加主要是流体内部的粘对于不可压缩流动，流体内能的增加主要是流体内部的粘性摩擦或涡旋所引起的机械能耗损所致，粘性摩擦产生的性摩擦或涡旋所引起的机械能耗损所致，粘性摩擦产生的热量转变为内能，也可能通过控制面散失到外部环境中，热量转变为内能，也可能通过控制面散失到外部环境中，这部分能量损失用水力损失来表示。将与水泵相联系的这部分能量损失用水力损失来表示。将与水泵相联系的hs表表示为示为hp，而将与水轮机等水力机械相联系的，而将与水轮机等水力机械相

32、联系的hs，表示为表示为ht，于是一维定常不可压缩流动的能量方程可写为于是一维定常不可压缩流动的能量方程可写为 tpfhhhzgVgpzgVgp2222121122式中的式中的h项均取正值：在真实流体项均取正值：在真实流体(粘性流体粘性流体)中水力损失中水力损失hf总总为正；水泵向控制体内输入能量，为正；水泵向控制体内输入能量，hp的作用是使式的作用是使式(6-24)左侧左侧增大，即增加输入控制体的能量；水轮机从控制体中获取能增大，即增加输入控制体的能量；水轮机从控制体中获取能量量，ht的作用是使式的作用是使式(6-24)右侧增大，即增加从控制体流出的右侧增大，即增加从控制体流出的能量。能量。

33、(6-24)28第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析动能修正因数和缓变流动能修正因数和缓变流 式式(6-24)适用于一维不可压缩流动，适用于一维不可压缩流动，假设在流道截面上流动变量均匀分布，保持为常数。然而假设在流道截面上流动变量均匀分布，保持为常数。然而在工程问题中，流道截面上速度分布常常不均匀；当流道在工程问题中，流道截面上速度分布常常不均匀；当流道截面较大时截面较大时，p/g和和z的变化也不容忽略。此时需要对式的变化也不容忽略。此时需要对式(6-24)中的中的动能项作出修正动能项作出修正，同时对式，同时对式(6-24)的适用流道截面的的适用流道截面的特征加以限

34、制。特征加以限制。 引入一个量纲为一的修正因数引入一个量纲为一的修正因数，令，令 mVdAnVVA2222上式中上式中 是截面平均速度。对于不可压缩流动，且流动速度是截面平均速度。对于不可压缩流动，且流动速度垂直于截面时，平均速度可计算为垂直于截面时，平均速度可计算为 ，式式(6-25)于是可简化为于是可简化为 (6-25)VAAVdAAdAnVAV1129第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析AVdAVA22233或或 AdAVVA31引入动能修正因数引入动能修正因数后式后式(6-24)修正为修正为 tpfhhhzgVgpzgVgp222221211122圆管内的层流

35、速度分布由式圆管内的层流速度分布由式(5.26e)给出给出 21RrUVz平均速度与最大速度之比平均速度与最大速度之比 5 . 0UV(6-26)(6-27)30第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析将上述速度分布代入式将上述速度分布代入式(6-26)，得，得 0 . 2式式(5.52)给出圆管内湍流速度的幂函数分布给出圆管内湍流速度的幂函数分布 nRrUu11平均速度与最大速度之比平均速度与最大速度之比 12122nnnUV将上述速度分布代入式将上述速度分布代入式(6-26)，得，得 32341214nnnnn当当n=59，=1. 1061. 037。工程上遇到的流动

36、绝大多数是湍。工程上遇到的流动绝大多数是湍流，流，通常取通常取1.0。31第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析能量方程与伯努利方程能量方程与伯努利方程 能量方程能量方程(6-24)和和(6-27)可看作是对于一个流管的能量方可看作是对于一个流管的能量方程，它与伯努利方程程，它与伯努利方程(4.12)有相似之处，但能量方程的应用更有相似之处，但能量方程的应用更为普遍。能量方程考虑了粘性摩擦、传热和轴功等对流动的为普遍。能量方程考虑了粘性摩擦、传热和轴功等对流动的影响；伯努利方程对一条流线成立，对不同的流线伯努利常影响；伯努利方程对一条流线成立，对不同的流线伯努利常数取不

37、同的值，反映了无粘流动过程中机械能的守恒和相互数取不同的值，反映了无粘流动过程中机械能的守恒和相互转换，伯努利方程没有考虑由于传热和轴功等引起的能量传转换，伯努利方程没有考虑由于传热和轴功等引起的能量传递。递。 当不存在摩擦损失和轴功时，能量方程当不存在摩擦损失和轴功时，能量方程(6-24)简化为简化为 2222121122zgVgpzgVgp形式上等同于伯努利方程形式上等同于伯努利方程(4.12)。如果在一个流管的两个缓变。如果在一个流管的两个缓变流截面上应用能量方程，又假设截面上速度分布均匀，则总流截面上应用能量方程，又假设截面上速度分布均匀，则总能头能头( V2/2g + /g + z)

38、在整个截面为常数，此时能量方程和伯在整个截面为常数，此时能量方程和伯努利方程给出同样结果。努利方程给出同样结果。 32第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析6-4 6-4 动量方程动量方程 在一个惯性参考系中，对系统的动量定理可写为在一个惯性参考系中，对系统的动量定理可写为dtKdF式中的式中的 ，积分在系统体积内进行；，积分在系统体积内进行； 是作用是作用在系统上的力，包括质量力和表面力。令在系统上的力，包括质量力和表面力。令取作取作 ，则雷诺则雷诺输运公式输运公式(6-5)可以写为可以写为 )(tdVKFVAtdAnVVdVdtddVDtDDtKD)(在推导式在推导

39、式(6-5)时假设在初始时刻系统与控制体重合，因此作时假设在初始时刻系统与控制体重合，因此作用在系统上的力也可认为作用于控制体内的流体上，于是对用在系统上的力也可认为作用于控制体内的流体上，于是对于控制体的动量定理可写为于控制体的动量定理可写为 33第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析AdAnVVdVdtdF(6-29)在重力场中，在重力场中， 中的质量力即重力；表面力则应包括周围中的质量力即重力；表面力则应包括周围流体作用于控制体的压力和粘性力。流体作用于控制体的压力和粘性力。F式式(6-29)是一个矢量方程，它可以分解为对直角坐标系的三是一个矢量方程，它可以分解为

40、对直角坐标系的三个分量方程，即个分量方程，即 AxxxdAnVududtdFAyyydAnVududtdFAzzzdAnVududtdF(6-30)34第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析动量通量动量通量 式式(6-29)中右侧第二项表示流出控制面的动量通量。如中右侧第二项表示流出控制面的动量通量。如果控制体有数个一维进口和出口，则式果控制体有数个一维进口和出口，则式(6-29)可写为可写为 iiniiioutiiVmVmdVdtdF式中，式中， ，是质量流量；是质量流量； 是第是第i个截面上的速度矢个截面上的速度矢量，在一维流动假设下，它在量，在一维流动假设下，它在

41、i截面上为常矢量。截面上为常矢量。 iiVAmiV(6-31)35第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析压力计算压力计算 作用于流体的压强总是与其作用面垂直，并指向作用面，作用于流体的压强总是与其作用面垂直，并指向作用面，于是作用在控制面上的压力可计算为于是作用在控制面上的压力可计算为 AdAnp式中式中， 是控制面的外法线单位矢量。是控制面的外法线单位矢量。n 如果作用于控制面的压强均匀分布，比如是大气压强如果作用于控制面的压强均匀分布，比如是大气压强pa，如图如图6.11a所示，则总压力等于零，即所示，则总压力等于零，即0AaAadAnpdAnp(6-32a)(6-

42、32b)36第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析只要控制面是封闭的，上式总成立，而与控制面的形状无关，只要控制面是封闭的，上式总成立，而与控制面的形状无关，于是在计算控制面受到的总压力时便可以从实际压强中减去于是在计算控制面受到的总压力时便可以从实际压强中减去一个均匀压强一个均匀压强pa，即式即式(6-32a)可改写为可改写为 0AgAapdAnpdAnppF而不影响实际结果，即在计算中只需考虑表压强而不影响实际结果，即在计算中只需考虑表压强pg即可，如即可，如图图6. 11b所示。所示。 37第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析外力外力 在

43、一个控制体内可能只有流体，也可能包含固体物件。在一个控制体内可能只有流体，也可能包含固体物件。实际上为便于分析，有时需要选择控制面与管壁、支撑物或实际上为便于分析，有时需要选择控制面与管壁、支撑物或其他固体表面相切割，此时便会有部分管壁、支撑物等伸进其他固体表面相切割，此时便会有部分管壁、支撑物等伸进控制体中，在控制体内与固体物件接触的流体于是会受到力控制体中，在控制体内与固体物件接触的流体于是会受到力的作用，称之为外力。当然外力的施主来自控制体外，比如的作用，称之为外力。当然外力的施主来自控制体外，比如手握水管的消防队员，水泵内驱动叶轮旋转的马达等。为考手握水管的消防队员，水泵内驱动叶轮旋转

44、的马达等。为考虑此类力的作用，可在动量守恒式左侧增加一外力项虑此类力的作用，可在动量守恒式左侧增加一外力项 。exF38第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析例例. . 水流从喷嘴中水平射向一相距不远的静止铅垂平板，水流从喷嘴中水平射向一相距不远的静止铅垂平板，水流随即在平板上向四周散开，如图所示，试求射流对水流随即在平板上向四周散开，如图所示，试求射流对平板的冲击力平板的冲击力F F。 解：利用定常不可压缩总流解：利用定常不可压缩总流的动量方程计算射流对平板的冲的动量方程计算射流对平板的冲击力。取射流转向前的断面击力。取射流转向前的断面11和射流完全转向后的断面和射流

45、完全转向后的断面22及及液流边界面所包围的总流流束为液流边界面所包围的总流流束为控制体（如图所示）控制体（如图所示）39第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析流入与流出控制体的液流速度以及流入与流出控制体的液流速度以及作用在控制体上的外力分别如图所作用在控制体上的外力分别如图所示。控制体四周大气压强的作用相示。控制体四周大气压强的作用相互抵消而不计大气压强，射流方向互抵消而不计大气压强，射流方向水平，重力也不计。水平，重力也不计。 如果不计液流的机械能损失，则由定常不可压缩的如果不计液流的机械能损失，则由定常不可压缩的伯努利方程可得伯努利方程可得VVV21 取取x轴方向

46、如图所示，令轴方向如图所示，令1=2=1.0，则定常不可压缩，则定常不可压缩总流的动量方程在总流的动量方程在x轴方向的投影式为轴方向的投影式为)0()0(11VQVmF故故QVQVF140第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析式中，式中，Q为射流流量；为射流流量；V为射流速度。射流对平板的冲击为射流速度。射流对平板的冲击力力F和和 大小相等，方向相反。大小相等，方向相反。F 如果射流冲击的是如图所示的凹面如果射流冲击的是如图所示的凹面板，则取射流转向前的断面板，则取射流转向前的断面11和完全和完全转向后的断面转向后的断面22之间的液流为控制体，之间的液流为控制体，在在x

47、轴方向列动量方程，可得轴方向列动量方程，可得)cos1 (QVF 射流作用在凹面板上的冲击力射流作用在凹面板上的冲击力F与与 大小相等，方大小相等，方向相反。由于向相反。由于 ，cos为负值，故作用在凹面板上为负值，故作用在凹面板上的冲击力大于作用在平板上的冲击力。当的冲击力大于作用在平板上的冲击力。当 时，时，F=2QV 为最大。为最大。2F41第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析解题要点解题要点 动量方程与连续方程和能量方程不同，前者是矢量方程，动量方程与连续方程和能量方程不同，前者是矢量方程，后两者是标量方程，在应用动量方程时注意以下要点，可以后两者是标量方程，

48、在应用动量方程时注意以下要点，可以避免不必要的错误避免不必要的错误:(1)力和动量项都是矢量，在计算草图上标出矢量符号是力和动量项都是矢量，在计算草图上标出矢量符号是必要的。必要的。 (2)动量通量项动量通量项 的被积函数是一个矢量与一个标的被积函数是一个矢量与一个标量的乘积，速度矢量量的乘积，速度矢量 分量的正负取决于其作用方向，而标分量的正负取决于其作用方向，而标量量 的正负取决于流体流入还是流出控制体。的正负取决于流体流入还是流出控制体。 (3) 项包括作用在控制面上的力项包括作用在控制面上的力(压力和粘性力压力和粘性力)，重力，重力，以及被控制面切割留在控制体内的固体支撑件所受外力等。

49、以及被控制面切割留在控制体内的固体支撑件所受外力等。压力一般只需计及表压强作用；控制体内部界面上的作用力，压力一般只需计及表压强作用；控制体内部界面上的作用力，如例如例6.9中叶片与流体间的作用力，属于内力，相互抵消，在中叶片与流体间的作用力，属于内力，相互抵消，在分析中不予考虑。分析中不予考虑。 AdAnVVVnVF42第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析(4)控制面有数个一维进口和出口的近似公式控制面有数个一维进口和出口的近似公式(6-31)适用于大适用于大多数场合，如截面流动参数分布严重不均匀多数场合，如截面流动参数分布严重不均匀(如圆管层流如圆管层流)，则需引

50、入动量修正因数则需引入动量修正因数(参阅例参阅例6.12)。 (5)在孔口出流、射流等场合，如果流体进入大气，则流动静在孔口出流、射流等场合，如果流体进入大气，则流动静压强即大气压强。压强即大气压强。 (6)尽量选取控制面垂直于流动方向，此时速度的法向分量就尽量选取控制面垂直于流动方向，此时速度的法向分量就是速度本身，作用力只有压力。是速度本身，作用力只有压力。 (7)一个复杂问题的解决往往需要综合应用连续方程、能量或一个复杂问题的解决往往需要综合应用连续方程、能量或伯努利方程以及动量方程，注意使方程数等于未知数的个数。伯努利方程以及动量方程，注意使方程数等于未知数的个数。 43第六章第六章

51、流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析6-5 6-5 动量方程应用举例动量方程应用举例 动量方程可以应用于各种不同的流动，粘性流动和无粘动量方程可以应用于各种不同的流动，粘性流动和无粘流动、层流和湍流、可压缩流动和不可压缩流动，等等。因流动、层流和湍流、可压缩流动和不可压缩流动，等等。因为它是一个积分形式的公式，不需考虑流场的细节，而仅依为它是一个积分形式的公式，不需考虑流场的细节，而仅依据流出和流进控制体的动量通量来计算受力，因此可以方便据流出和流进控制体的动量通量来计算受力，因此可以方便地处理许多工程问题，得到了广泛的应用。地处理许多工程问题，得到了广泛的应用。管道受力管道受力

52、管道受力在例管道受力在例6. 8中我们讨论了通过一个喷管即渐缩管中我们讨论了通过一个喷管即渐缩管的流动，由于喷管有向右运动的趋势，为保持平衡需施加一的流动，由于喷管有向右运动的趋势，为保持平衡需施加一个向左的力。如果喷管与给水管之间通过法兰连接，则连接个向左的力。如果喷管与给水管之间通过法兰连接，则连接螺栓将受到一个拉伸力。通过分析管道内的流动以确定管件螺栓将受到一个拉伸力。通过分析管道内的流动以确定管件的受力状态，是管线设计工程师的重要工作。的受力状态，是管线设计工程师的重要工作。 44第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析 上述喷管受力是由于流体速度的变化引起的。图

53、上述喷管受力是由于流体速度的变化引起的。图6.15示示出的出的90渐缩弯头中，水流的速度和方向都将发生变化，流渐缩弯头中，水流的速度和方向都将发生变化，流动方向的变化也将导致管道受力。动方向的变化也将导致管道受力。 45第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析 类似于动能修正因数类似于动能修正因数，当截面速度分布不均匀时，可，当截面速度分布不均匀时，可以引入动量修正因数以引入动量修正因数来修正式来修正式(6- 31)中的动量通量项。令中的动量通量项。令 22AVdAuAxAxdAVuA21对于层流的抛物线分布，根据上例计算对于层流的抛物线分布，根据上例计算=4/3；对于湍

54、流，当；对于湍流，当幂函数速度分布的幂函数速度分布的n=5 9时，时，=1. 0371. 013，接近于，接近于1，通通常可取常可取=1。 引入动量修正因数，对于有一个进口和一个出口的不可引入动量修正因数，对于有一个进口和一个出口的不可压缩定常流动，如果面速度分布不均匀，动量方程可修正为压缩定常流动，如果面速度分布不均匀，动量方程可修正为 )(1122VVmF46第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析冲击式水轮机冲击式水轮机 最典型的冲击式水轮机是水斗式水轮机，又称培尔顿最典型的冲击式水轮机是水斗式水轮机，又称培尔顿( Pelton)水轮机水轮机(图图6. 17)，喷嘴

55、引导射流沿转轮圆周切线方向，喷嘴引导射流沿转轮圆周切线方向冲击转轮斗叶。射流与斗叶的相对运动情形在图冲击转轮斗叶。射流与斗叶的相对运动情形在图6.18中示出：中示出：射流速度为射流速度为Vn，忽略斗叶绕水轮机轴线的圆周运动，认为斗，忽略斗叶绕水轮机轴线的圆周运动，认为斗叶只沿着射流方向以速度叶只沿着射流方向以速度Vb运动运动(这一简化不会影响图示平面这一简化不会影响图示平面内的动量平衡内的动量平衡)，VnVb。高速射流被斗叶分成两部分，分别。高速射流被斗叶分成两部分，分别转过角度转过角度后回流。后回流。47第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析 取一包围斗叶的控制体随同

56、斗叶一起运动，如图中虚线取一包围斗叶的控制体随同斗叶一起运动，如图中虚线所示，注意到射流相对于斗叶的速度所示，注意到射流相对于斗叶的速度V= Vn - Vb则由例则由例6.10，斗叶受到射流的作用力可计算为斗叶受到射流的作用力可计算为 cos12bnnbVVAF式中式中，An是喷管截面面积，是喷管截面面积，为水流密度。运动斗叶产生的为水流密度。运动斗叶产生的功率等于力功率等于力Fb乘以速度乘以速度Vb，即，即 cos12bnbnbbbVVVAVFW48第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析 当斗叶静止当斗叶静止(Vb = 0)或斗叶运动速度等于射流速度或斗叶运动速度等于

57、射流速度(Vn= Vb )时，斗叶功率为零；如取时，斗叶功率为零；如取= 180 ，即让射流折转，即让射流折转180 反向回流时，斗叶功率最大，实用的折转角通常取反向回流时，斗叶功率最大，实用的折转角通常取 = 165 。 49第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析6-6 6-6 动量矩方程动量矩方程 动量定理可以另外一种形式表示。如图动量定理可以另外一种形式表示。如图6.25所示，任取所示，任取一质量为一质量为m =的流体微团，设其速度为的流体微团，设其速度为 ，作用于其上的作用于其上的力为力为 ，则对于该流体微团的动量方程可写为则对于该流体微团的动量方程可写为 FV

58、FVmDtD以流体微团的位置矢量以流体微团的位置矢量 叉乘上式两侧，得叉乘上式两侧，得 rFrVmDtDrFrVmDtrDVmrDtD上式左侧第二项上式左侧第二项 ，于是于是 0VVVDtrDFrVmrDtD(6-50)50第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析流体微团的位置矢量与其动量的矢量积称为角动量或动量矩流体微团的位置矢量与其动量的矢量积称为角动量或动量矩，式式(6-50)表示流体微元动量矩对时间的变化率等于作用在流表示流体微元动量矩对时间的变化率等于作用在流体微元上的力矩。尽管动量矩定理可以看作是动量定理的推体微元上的力矩。尽管动量矩定理可以看作是动量定理的推

59、广，它在分析许多涉及力矩作用的流动问题时，比如旋转流广，它在分析许多涉及力矩作用的流动问题时，比如旋转流体机械时，有着特殊的应用。体机械时，有着特殊的应用。 一个流体系统的动量矩可通过积分求得一个流体系统的动量矩可通过积分求得 )(tdVrVr令令取作取作 ，引用雷诺输运定理引用雷诺输运定理(6-5)，系统动量矩的变化，系统动量矩的变化率对控制体可写为率对控制体可写为 AtdAnVVrdVrdtddVrDtD)(51第六章第六章 流体动力学的积分方程分析流体动力学的积分方程分析由于假设控制体在初始时刻与系统重合，作用于系统的力由于假设控制体在初始时刻与系统重合，作用于系统的力矩矩 就是作用在控

60、制体内的流体上的力矩，于是对于就是作用在控制体内的流体上的力矩，于是对于静止且形状不随时间变化的控制体，动量矩定理可表示为静止且形状不随时间变化的控制体，动量矩定理可表示为 TAdAnVVrdVrdtdT(6-51)上式中的力矩包括重力矩、作用在控制面上的压力产生的上式中的力矩包括重力矩、作用在控制面上的压力产生的力矩和粘性力矩。如果控制体内包含有固体构件，则固体力矩和粘性力矩。如果控制体内包含有固体构件，则固体构件也可能对控制体内流体施加力和力矩，比如压缩机、构件也可能对控制体内流体施加力和力矩，比如压缩机、水泵或涡轮机的旋转轴施加的力矩，这些力矩会改变进出水泵或涡轮机的旋转轴施加的力矩，这