频率特性的概念

1、15 5.1 .1 频率特性的概念频率特性的概念 一、定义：一、定义：线性系统对正弦输入信号的稳态响应称线性系统对正弦输入信号的稳态响应称频率响应频率响应。二、特点：二、特点：设系统的闭环传递函数设系统的闭环传递函数).(.)(110110mnasasabsbsbsGnnnmmm输入输入r(t)=Ar(t)=Ar rsinwtsinwt，则，则 ：22)()()()(sAsGsRsGsCr22211)()(sAssgsKCrnjjmii(s)进行部分分式展开得：进行部分分式展开得：j jw ws sd dj jw ws sd ds sn ns sC Cn n. . . .s ss sC Cs

2、ss sC CC C( (s s) )* *2 22 21 11 1njjmiissgsKG11)()(s)令令tjtjtsntstseddeeCeCeCtCn*21.)(21求拉氏反变换得：求拉氏反变换得：（s si i 为系统的闭环特征根。）为系统的闭环特征根。）3对于稳定系统，对于稳定系统，s si i 为负数，则当为负数，则当 t t 时时 ，C Ci ie es si it t 0 0 ，系统的稳定输出为：，系统的稳定输出为：)(t eddeC(t)tj*tj) )j j( (2 2j jA A ) )j j- -( (s sA A G G( (s s) ) ) j j( (s ss

3、 sA A( (s s) ) d dr r- -j js sr r- -j js s2 22 2r rGG)(jG2j2jA Ad dr r* *G(jw)G(jw)为复数，设其幅值为复数，设其幅值 |G(jw)| = A(w)|G(jw)| = A(w) 相角相角( (w w) )( (j jw w) )G)()()()(,)()(jjeAjGeAjG则：4从而得：从而得：)()()(2*)(2jjeAjArdeAjArd，)()()(2)(2)(tjrtjreAjAeAjAtC)(sin)(sin)(2)()()(crtjtjrAtAAjeeAA)(t)()A(AArc，其中，5结论：结论

4、：线性系统在正弦输入信号作用下，其稳态响应仍线性系统在正弦输入信号作用下，其稳态响应仍是一个正弦函数，其频率与输入信号相同，幅值是一个正弦函数，其频率与输入信号相同，幅值AcAc是输入信号的是输入信号的A(w)A(w) 倍，相角倍，相角 比输入信号比输入信号的相角移动了的相角移动了)()(称为输出正弦信号与输入正弦信号的称为输出正弦信号与输入正弦信号的幅值比（幅频特性）幅值比（幅频特性）。rcAAA)(t)()(称为输出正弦信号与输入正弦称为输出正弦信号与输入正弦信号的信号的相位差（相频特性）相位差（相频特性）。6 系统的频率系统的频率( (响应响应) )特性也是系统数学模型的特性也是系统数学

5、模型的一种表达形式。一种表达形式。 系统的频率特性实际上是当系统的频率特性实际上是当 s=jws=jw 时系统的时系统的传递函数，所以频率响应特性是系统传递函传递函数，所以频率响应特性是系统传递函数的一种特殊情况。数的一种特殊情况。)()()(jejAjG三、频率特性三、频率特性7例例1 1：设系统单位反馈控制系统的开环传递函数为：设系统单位反馈控制系统的开环传递函数为：110)(ssGK当系统作用有输入信号当系统作用有输入信号 r(t) = sin(t+30r(t) = sin(t+300 0) )时，求时，求系统的稳态输出。系统的稳态输出。解：解：22222211101111011)11(

6、101110)(1110)(jjjjGssG闭环传递函数111101011010)(1110)1110()11110()()(22222222arctgarctgarctgjGA8由已知由已知r(t)=sin(t+30r(t)=sin(t+30) )，得，得 w=1w=1111)(,12210)(arctgA又已知又已知 Ar = 1 Ar = 1 ， 030r)11130sin(12210)(11130)(12210)(00arctgttCarctgAArAcrC9 5. 5.2 2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性一、频率特性的几何表示法一、频率特性的几何表示法频率特性谱图，幅相频率特

7、性曲线，对数频率特性频率特性谱图，幅相频率特性曲线，对数频率特性曲线等。曲线等。二、典型环节的频率特性谱图二、典型环节的频率特性谱图频率特性频率特性G(jw)G(jw)的的A(w)wA(w)w、 特性曲线图特性曲线图的总称。的总称。)(10以振荡环节为例：以振荡环节为例：2nn22s2)(ssGn2nn22n)(j2)(j)(jG22222222)2()(1 1)2()()()(nnnnnjGAG(jw)A(w)P(w)wP11222)(122)()(nnnnarctgarctgjG令令 w = 0w = 0一系列数值，可求出相应的一系列数值，可求出相应的A A 、， 从而绘出不同从而绘出不同

8、 时的幅频，相频曲线。时的幅频，相频曲线。1210 wwn0 0.711A(w)2 . 00.513wwn2 =10.20.7)(014可见：可见：1 1、当、当 w = 0 w = 0 时，振荡环节的幅频从时，振荡环节的幅频从1 1 开始开始最终衰减为最终衰减为0 0，阻尼比较小时有峰值存在。而相，阻尼比较小时有峰值存在。而相频则由频则由 0 0 2 2、当、当 w = ww = wn n 时，时，2)(21)(nnA15峰值峰值 A Am m 以及峰值频率以及峰值频率 w wm m 可运用极值条件求得：可运用极值条件求得：22121,21)(mnrmA0)2()(1 1(0)(222dtd

9、dtdAnn3 3、一般地，将、一般地，将A(w)A(w)在某一频率下达到最大值的现在某一频率下达到最大值的现象叫做象叫做“谐振谐振”。发生谐振的频率叫做发生谐振的频率叫做“谐振频率谐振频率”，用，用w wr r表示，也表示，也可用可用w wm m 表示表示 。该最大值叫做该最大值叫做“谐振峰值谐振峰值”，用，用A(wA(wr r) )或或A Am m(w)(w)表示。表示。16 0.7070.707，没有峰值，没有峰值，A(w)A(w)随随w w的增加呈单调衰的增加呈单调衰减；减； 0.7070.707，才发生谐振，有峰值。，才发生谐振，有峰值。可知：由221)(nrm17三、典型环节的幅相

10、频率特性三、典型环节的幅相频率特性频率特性频率特性 G(jw) G(jw) 在复平面上为一复数矢量，则在复平面上为一复数矢量，则当当 w = 0 w = 0 变化时，矢量的端点在复平面内变化时，矢量的端点在复平面内形成的轨迹形成的轨迹 奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)(Nyquist)图，也叫做图，也叫做幅相图、极坐标图。幅相图、极坐标图。以振荡环节为例：以振荡环节为例：T2T11)(121)(2222jjGTssTsG1822222212)(,)2()1 (1)(TTarctgTTA时，当nT190)(,21)(nnA0)0(, 1)0(0A时，当)(0)(，时，当AA(wn) , wnA

11、2 ,w2A1 ,w1w = 01w1j19四、典型环节的对数频率特性四、典型环节的对数频率特性利用半对数坐标系绘制系统的幅频和相频特性，利用半对数坐标系绘制系统的幅频和相频特性，称为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线称为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线波德图，或波德曲线。波德图，或波德曲线。1 1、对数幅频特性曲线的横坐标按对数幅频特性曲线的横坐标按lgwlgw分度，单位分度，单位 为弧度为弧度/ /秒秒(rad/s)(rad/s)；)(lg20)(AL（一）波德图概念（一）波德图概念对数相频特性曲线的横坐标按对数相频特性曲线的横坐标按lgwlgw分度，单位分度，单位 为弧度为弧度/ /秒

12、秒(rad/s)(rad/s)；纵坐标仍按相角的度数线性分度。纵坐标仍按相角的度数线性分度。纵坐标按纵坐标按 线性分度，单位线性分度，单位是分贝是分贝(dB)(dB)。20)(lg20)(dBAL60402000.1 0.21 2 10w)(00.1 0.21 2 10w20-40-20212 2、不论起点如何，只要角频率变化不论起点如何，只要角频率变化1010倍，即倍，即w w2 2/w/w1 1=10=10，横坐标的间隔距离就是一个单位长度，横坐标的间隔距离就是一个单位长度，叫做一个叫做一个“十倍频程十倍频程”，以，以“dec”dec”表示。表示。例：某对数幅频曲线为例：某对数幅频曲线为l

13、g20)(L以十倍频程表示的斜率：以十倍频程表示的斜率：decdBLL/20lg2010lg20)()10(3、对数幅频曲线的斜率、对数幅频曲线的斜率频率每变化一个十倍频程时对数幅值频率每变化一个十倍频程时对数幅值 L(w) L(w) 变化变化的分贝数。的分贝数。224 4、渐近线、渐近线对数幅频特性可以用渐近线近似表示对数幅频特性可以用渐近线近似表示设某系统的对数幅频特性为：设某系统的对数幅频特性为：9001lg5lg20)(2L则可以作出以下两条渐近线：则可以作出以下两条渐近线：低频段低频段：w 1/30 w 1/30 时，时， 900w900w2 2 1 1/30 w 1/30 时，时，

14、900w900w2 2 1 1 ，故，故1 1可忽略。可忽略。lg206lg2030lg5lg20)(30lg9001lg22L求高频段的斜率：求高频段的斜率：dBLL20)()10(22245 5、转折频率、转折频率 w ws s两条渐近线相交处的频率，也叫交接频率。即：两条渐近线相交处的频率，也叫交接频率。即：)()(21ssLL30130lg205lg205lg20ss6 6、穿越频率、穿越频率 w wc c对数幅频特性曲线与频率轴交点的频率，即：对数幅频特性曲线与频率轴交点的频率，即： L(wL(wc c) = 0) = 0610lg206lg20)(2cccL25L(w)w30120

15、lg520db/dec61026（二）典型环节的波德图（二）典型环节的波德图1 1、比例环节、比例环节KjGKsG)(,)(00)(lg20)(lg20)(KALL(w)(dB)20lgk0w00w90)(272 2、积分环节、积分环节11)(,1)(jjjGssG0090)(,lg201lg20)(lg20)(90)(,1)(ALA对数幅频特性的斜率：对数幅频特性的斜率：则：令，1210decdBLLLL/20lg20)10lg(20)()10()()(111112穿越频率穿越频率w wc c： w=1w=1时，时，L(w)=0L(w)=0，因此，因此w wc c=1=128L(w)20 2

16、0db/decw100.1w90)(0积分环节积分环节29斜率：斜率：20dB/dec20lg-)lg(1020)()10(LL穿越频率穿越频率w wc c : : 令令 L(w)=0L(w)=0，即：，即：20lgw = 0 20lgw = 0 w wc c = 1 = 1 理想微分环节理想微分环节 G(s)=s , G(jw)=jwG(s)=s , G(jw)=jw0090)(,lg20)(lg20)(90)(,)(ALA它的对数幅频特性与积分环节以它的对数幅频特性与积分环节以0dB0dB线成镜象对称；线成镜象对称；其对数相频特性与积分环节以其对数相频特性与积分环节以0 0度线成镜象对称。

17、度线成镜象对称。30w90)(0L(w)-20+ 20dB/decw100.1理想微分环节理想微分环节 313 3、惯性环节和一阶微分环节、惯性环节和一阶微分环节惯性环节：惯性环节：11)(,11)(jTjGTssGarctgTTA)(,11)(22221lg20)(lg20)(TAL低频渐近线：当低频渐近线：当w 1/Tw 1/Tw 1/T 时，时，L(w) L(w) 20lgwT 20lgwT TTLccc10lg20)(:穿越频率高频部分是一条在高频部分是一条在 w=1/T w=1/T 处穿过处穿过0dB0dB线，斜率为线，斜率为-20dB/dec-20dB/dec的直线。的直线。低频与

18、高频渐进线的交点为：低频与高频渐进线的交点为：ws=1/T ，即转折频，即转折频率或交接频率。率或交接频率。ws = wc33红色：惯性环节红色：惯性环节 1/(Ts+1)蓝色：一阶微分环节蓝色：一阶微分环节 Ts+1L(w)dB 20dB/decwT1+ 20dB/dec相频特性：相频特性：arctgT)(为一条反正切曲线为一条反正切曲线幅频特性：幅频特性：w w 0 0 1/10T 1/10T 1/T1/T 10/T 10/T 0 00 0 5.75.70 0 45450 0 84.384.30 0 90900 0)(3400 450 900wT1450900红色：惯性环节红色：惯性环节

19、1/(Ts+1)蓝色：一阶微分环节蓝色：一阶微分环节 Ts+1)(35幅频渐近线与精确曲线在转折频率处有最大误差。幅频渐近线与精确曲线在转折频率处有最大误差。最大误差最大误差= = 转折频率处曲线的实际值转折频率处曲线的实际值 高频（低频）渐近线在转折频率处的值高频（低频）渐近线在转折频率处的值dBTTT32lg2011lg20) 1lg20(1lg20max2222364 4、振荡环节和二阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节振荡环节：振荡环节：121)(121)(2222jTTjGTssTsG22222222)2()1 (lg20)(lg20)()2()1 (1)(TTALTTA低频：低频：

20、时，则时，则 可忽略可忽略T1222)2( ,TTdBL01lg20)(为与横轴重合的直线。为与横轴重合的直线。37TTLlg40lg20)(22斜率斜率：decdBTTLL/40)lg40(10lg40)()10(高频：高频： 时，则时，则 可忽略可忽略T1T2 , 1穿越频率穿越频率：令：令L(w)=0 L(w)=0 40lgTw = 0 w40lgTw = 0 wc c=1/T =1/T 转折频率转折频率：w ws s =1/T =1/T 38L(w)w 40db/dec对数幅频特性渐进曲线对数幅频特性渐进曲线39转折频率转折频率 处，渐近线与精确曲线间的误差为：处，渐近线与精确曲线间的

21、误差为：Ts121lg20)2(lg20)12()11 (lg201lg20)2()1 (lg20222222222TTTTTT可见，该处的误差与可见，该处的误差与 有关。根据不同的有关。根据不同的 值值对渐进线进行修正，便可得到精确曲线。对渐进线进行修正，便可得到精确曲线。40峰值频率峰值频率 处，渐近线与精确曲线间的误处，渐近线与精确曲线间的误差为：差为：)(nmm22222121lg201lg20)2()1 (lg20mmTT22121,21)(mnrmA41振荡环节的相频特性：振荡环节的相频特性：0090)1(,1;180)(,;0)0(, 0TT)12()(22TTarctg121)

22、(22jTTjG2 T1)(对数相频对数相频特性曲线特性曲线42二阶微分环节二阶微分环节12)(22TssTsG二阶微分环节与振荡环节成镜像对称二阶微分环节与振荡环节成镜像对称L(w)w+ 40dB/decT10对数幅频特性渐进曲线对数幅频特性渐进曲线43对数相频特性曲线对数相频特性曲线90180T10)(445.5.3 3 系统开环对数频率特性曲线的绘制系统开环对数频率特性曲线的绘制开环系统一般由若干典型环节串联组成，开环系统一般由若干典型环节串联组成，则系统的开环传递函数则系统的开环传递函数)(.)()(21221211)()()()()()()()()().()()(njnknknkeA

23、AAjGjGjGjGjGsGsGsGsG45)(.)()()()(.)()()(lg20.)(lg20)(lg20)().()(lg20)(lg20)(21212121nnnnLLLAAAAAAAL结论：系统的开环对数幅频特性和相频特性为组结论：系统的开环对数幅频特性和相频特性为组成系统的各典型环节的对数幅频特性和相频特性成系统的各典型环节的对数幅频特性和相频特性的线性叠加。的线性叠加。46例例1：已知：已知ssG1)(:2积分环节 12003 . 02)200)(140() 1100(80)(2ssssssGk试绘制其波德图。试绘制其波德图。解：解：1 1、把开环传递函数分解成若干典型环节串

24、联的形式。、把开环传递函数分解成若干典型环节串联的形式。80)(1sG比例环节：11001)(4ssG一阶微分环节：14011)(3ssG惯性环节：12003 . 02)200(1)(25sssG振荡环节：472 2、根据、根据 的原则，找出各环节的转折的原则，找出各环节的转折（交接）频率，并按由低到高的顺序标注在半对（交接）频率，并按由低到高的顺序标注在半对数坐标图的横轴上：数坐标图的横轴上：Ts/1惯性环节：惯性环节：w ws1 s1 = 40, = 40, 一阶微分环节：一阶微分环节：w ws2s2 = 100, = 100,振荡环节：振荡环节：w ws3s3 = 200 = 200显然

25、最小转折频率显然最小转折频率w wminmin=40=403 3、绘制低频段（、绘制低频段（w ww wminmin）渐进特性线：）渐进特性线：确定直线的斜率：确定直线的斜率：这一段的斜率取决于比例环节和积分环节，本题有这一段的斜率取决于比例环节和积分环节，本题有 一个比例环节和一个积分环节，因此，直线斜率为一个比例环节和一个积分环节，因此，直线斜率为 -20dB/dec-20dB/dec。48确定直线上的的点：确定直线上的的点：取取 w = 1 (w = 1 (积分环节的穿越频率积分环节的穿越频率) )，其对应的纵坐标，其对应的纵坐标为为 20lgK 20lgK ，得到，得到( 1( 1，2

26、0lgK)20lgK)点，这是含有放大系点，这是含有放大系数数 K K 时积分环节的对数幅频特性渐进线一定要穿过时积分环节的对数幅频特性渐进线一定要穿过的一个点。的一个点。本题：本题：L L1 1(w) = 20lg80 = 38dB ,(w) = 20lg80 = 38dB ,从横轴从横轴 w = 1w = 1处垂处垂直上移了直上移了 38dB 38dB 可得到可得到 X X 点。点。 过过 X X 点作一条点作一条 20dB/dec 20dB/dec 的斜线，的斜线，这就是积分因子的对数幅频特性与放大环节对数这就是积分因子的对数幅频特性与放大环节对数幅频特性相加的结果，决定了开环系统对数幅

27、频幅频特性相加的结果，决定了开环系统对数幅频特性的低频渐近线。特性的低频渐近线。494 4、绘制高频段（绘制高频段（w wmin）渐进特性线：）渐进特性线：在高频段，对数幅频渐进特性表现为分段折线。在高频段，对数幅频渐进特性表现为分段折线。延长低频渐近线到第一个转折频率处得另一个新延长低频渐近线到第一个转折频率处得另一个新的起点，然后从此点起把该环节的斜率与后一环的起点，然后从此点起把该环节的斜率与后一环节的斜率相加又可得到一段渐近线，把这一段渐节的斜率相加又可得到一段渐近线，把这一段渐近线延长至第二个转折频率处又得一个起点近线延长至第二个转折频率处又得一个起点.不断重复上述过程直到所有转折频

28、率。不断重复上述过程直到所有转折频率。506040201 X40 100200w 20dB/dec 40dB/dec 20dB/dec 60dB/decL(w) 0 12003 . 02)200)(140() 1100(80)(2ssssssGk惯性环节：惯性环节：w ws1 s1 = 40 ,= 40 ,一阶微分环节：一阶微分环节：w ws2s2 = 100 = 100振荡环节：振荡环节：w ws3s3 = 200 = 200516 6、画出各环节的相频曲线，把它们相加就可得、画出各环节的相频曲线，把它们相加就可得到系统的对数相频特性曲线。到系统的对数相频特性曲线。00450 450 900 1800 2700)( 90052二、由对数频率特性曲线确定相应的传递函数二、由对数频率特性曲线确