两条直线的夹角

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。两条直线的夹角两条直线的夹角两条直线的夹角一、 教学目的：1 分清直线到直线的角与直线到直线的角以及两条直线与的夹角的区别与联系。2 掌握直线到直线的角的计算公式3 掌握直线与直线的夹角的计算公式二、 情感目标：通过对两直线的倾斜角与夹角的关系探索，找出夹角的正切值与两直线斜率之间的关系；运用两角差的正切公式，进一步渗透解析几何的思想，即用代数运算解决几何图形问题；培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性。三、 教学重、难点：1当一条直线斜率不存在时，如何求解两直线的夹角。2根据题意正确使用夹角，到角公式，

2、注意根据图形进行舍解。四、 教学过程：（一）引入：平面内两条直线的位置关系有平行、重合和相交。我们分别用直线的代数形式去描述了它们的位置关系。在相交直线中特殊的位置关系是垂直，即两条直线所成角为90。因此，我们可以用两直线的夹角大小来描述两条相交直线的位置关系。平面上，两条相交直线和构成四个角，它们是两对对顶角。为了区别这些角，通常规定：直线绕着交点M按逆时针方向旋转到和重合时所得到的角，叫做到的角。直线绕着交点M按逆时针方向旋转到和重合时所得到的角，叫做到的角。 M 当时，即到的角为90。 或一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在。通过这充要条件启发我们，到的角的大小是否也可以与、的斜率建立

3、关系呢？（二）推导：设两条直线方程分别是：，：（，均存在），到的角如果，那么=90。如果，设和的倾斜角分别是和，则=，=不论 或 ， y y 0 x 0 x都有， 即一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，如果只需要考虑不大于直角的角（叫做两条直线的夹角），那么有 （）当两条直线平行或重合时，则它们的夹角是零度角，此时公式仍适用。（三）例题： 例1 求下列两直线的夹角。 （1）：x+2y-5=0, ：2x-3y+1=0；（2）：x-3y-2=0, ：2y+3=0； ( 3) ：x-5=0, ：2x+4y+3=0；小结：已知直线方程求夹角大小问题。第一小题求出直线斜率后直接套用

4、夹角公式；第二小题其中一条直线斜率为零，既可以套用公式，又可以观察图像，显然夹角不是倾斜角就是倾斜角的补角；第三小题其中一条直线斜率不存在，不能使用公式，只能观察图像，分析倾斜角与夹角的关系。例2 求经过点（-5，6）且与直线2x+2y-5=0的夹角为的直线方程。小结：已知夹角大小求直线方程问题。据题意直线过点（-5，6），因此只需确定直线斜率k，就可写出直线的点斜式方程。由夹角公式可求出k的值。根据图像特征，过一点必定会有两条直线与已知直线的夹角成45度，这就提示我们必须解出两个k的值。这道题一解k=0时，直线方程为y-6=0；另一解k不存在，意味着直线方程为x+5=0。而往往同学们会忽略后

5、一个答案，认为k无解，直线方程就不存在。例3 等腰，底边BC所在的直线方程是x+y=0，顶点A(2，3)，它的一条腰AB平行于直线x-4y+2=0，求另一条腰AC所在直线的方程。小结：本题也是运用夹角公式或到角公式求解直线方程的一种类型，它在题目的条件上比较隐蔽，没有直接指出夹角的大小。而在解题过程中，我们也不需要知道夹角大小，只是利用夹角相等建立等式，求出所需直线的斜率，从而确定直线方程。（四）作业：练习册P5 8、10、11五、 反思： 通过两条相交直线所成角的大小来描述两条相交直线的位置关系。之前同学们已经接触了互相垂直的直线，它们的斜率成积为-1。这一结论的得出，也是建立在观察直线倾斜

6、角与夹角的关系上的。因此同学们在寻找关系式时并不困难。而是在要求同学们用斜率去表示夹角时，大家陷入了沉默。显然对高一所学的知识有所遗忘，经提醒同学们能较快的接受两角差的正切公式与两直线斜率间的等式关系。对例题的选择由浅入深，又简到难。对于这一知识点，我认为解决两方面的问题，一是已知直线方程求夹角大小问题；二是已知夹角大小求直线方程问题。首先，在第一道例题中第1、2小题使同学们先熟悉公式，加深公式在头脑中的印象，第3小题是为了让大家意识到公式不是万能的，它是有局限的，比如直线斜率不存在或者两直线斜率为负倒数等，因此还是要求同学们掌握数形结合的思想方法，从根本关系上入手，理解其本质。其次，第二、三道例题就为应用夹角公式去解直线方程的类型。应该说公式人人都能记住，但很多同学在最终的结果上却不能回答完整。这意味着同学们在思维过程中还不够严密，往往会遗漏斜率不存在这一特殊的解。有时运用夹角公式解题比较难于让人发现，比如，直线过点(1,0)，且被两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截的线段的长为9，求此直线的方程。数形结合的思想方法是中学数学的基本思想方法。在解题