2021年高考数学理知识与能力测试题

1、2013年高考理科数学知识与能力测试题（二）一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目 要求的.1.含有三个实数的集合可以表示为x,jf ,也可以表示为0, x,x y,则x5 y3的值为A. -1B. 0C. 1D. -1 或 12.如果复数za2A. - 22 (a2B. 13a2）i为纯虚数，那么实数 a的值为C.D. 1 或-23.在等差数列 an中,3( a3a5)2(a7a10C.a13)52 D则此数列前13项的和是 A13B. 26用传送带将产品放入下一工序，质检人员每隔t分钟在传进带上某一固定位置取一件检验,6.某工厂

2、生产产品，这种抽样方法是A .简单抽样B.分层抽样C. 系统抽样 D.以上都不对7 .设有如下三个命题：甲：相交直线 l、m都在平面 内，并且都不在平面内；乙：直线l、m中至少有条与平面 相交；丙：平面 与平面 相交.当甲成立时，A.乙是丙的充分而不必要条件B .乙是丙的必要而不充分条件C.乙是丙的充分且必要条件D .乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件8 .现代社会对破译密码的难度要求越来越高。有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a,b,c, 2的26个字母（不论大小写）依次又应1, 2, 3,，26这26个自然数（见下表）：abcdefghijklmnoPqrstuvw

3、xyz1234567891011121314151617181920212223242526士（x N*,x 26, x不能被2整除）8现给出一个变换公式：x2将明文转换成密文，如8- 13 17,x 13（x N* ,x 26, x能被 2整除225 1即h变成q ; 5 3,即e变成c。按上述规定，若将明文译成的密文是shxc ,那么原来的明文是2A. lhho B . loveC. ohhl D. eovl二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（x 1）9 .函数f（x） ax loga 在0,1上的最大值与最小值之和为a,则a的值为一。10 .编辑一个运算程序：1*1 x,

4、 m* n k, m*（n 1） k 2,欲得到1*2005 2008的输出结果，则x的值为。_ _11 .过抛物线y2 16x的焦点的直线l交抛物线于 A B两点，则OA?OB的值为。12 .若 a b c, n n恒成立，则n的最大值是 a cx13 .设x, y满足条件yy 12x ,则目标函数z 6x 3y的最大值为14、选做题：在下面三道题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分。(1)如图，圆 O的直径AB的延长线与弦 CD的 延长线相交于点 巳E为圆。上一点，弧 AE=弧AC, DE交 AB于点 F,且 AB= 2BP= 4,贝U PF=设双曲线x asec (为参数,ay bt

5、an果4PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e =0,b 0)的右焦点为F,右准线l与两条渐线交于 P、Q两点，如(3)函数y 5/xl J10 2x的最大值是三、解答题：本大题 6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分 13 分)已知 m (V3sin x,cos x), n (cos x,cos x) ,0,记函数 f(x) m?n,若函数(1)f (x)的最小正周期为 求；(2)16 .(本小题满分一时，试求313分)f (x)的值域。设飞机A有两个发动机， 现设各发动机发生故障的概率飞机B有四个发动机,p是t的函数p如有半数或半数以上的发动机没有故

6、障，飞机就能安全飞行。t,其中t为发动机启动后所经历的时间,为正常数，试论证飞机 A与飞机B哪一个安全(这里不考虑其他故障)。17 .(本小题满分14分)在棱长为a的正方体ABCD a'b'c'd'中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且D'B (2)F DE。求证：BE CF ;当三角形CEF的面积取得最大值时，求二面角 C EF C的余弦值。18.(本小题满分14分)C'CA在 xoy 平面上有一系列的点 p(x1, y1), P2(x2, y2), , P(xn, yn),对于正整数n,点Pn位于函数(x 0)的图象上，以点 Pn为圆心的。P

7、n与x轴都相切，且。Pn与。Pn1又彼此外切，若Xi 1,且xn 1xn °, 一 1 求证：数列 是等差数列;xn(2)设。Pn的面积为Snv'Sn ,求证：Tn3、.2ax2 3x是增函数，求实数 a的取值范围;19 .(本小题满分12分)已知函数f(x) x3(1)若 f(x)在 x 1,(2)若x 3是f (x)的极值点，求f (x)在1, a的最小值和最大值。20 .(本小题满分14分)2设椭圆方程为X2 匕 1 ,过点M (0,1)的直线l交椭圆于点A、B ,。是坐标原点，点P满足 4111.,OP -(OA OB),点Ng*)。当l绕点M旋转时，求：(1)动点P

8、的轨迹方程；(2) | NP|的最大值和最小值。2007年高考理科数学知识与能力测试题参考答案(二)、1-4 , AABB,5-8,CDCB;提示：1.y 0 xx y | x | 即|x| 12.a2 a 2 0a2 3a 2 03.6a4 6a10 24 即 a4 a10 4,也就是 a1 a13(a1 a13)113 262的人人的编号12345座位号12453坐2号座位有以下情形:人的编号12345座位号125344.先确定是哪两个人的编号与座位号一致，有C； 10种情况，如编号为1的人坐1号座位，且编号为所以，符合条件的共有10X2=20种。L22_ ,5 . T4- ( -) 4

9、，又T ，所以又 sin( ) 0 ,且 | | 一,所以 一6266 .略7 .略8 .密文shxc中的s对应的数字为19,按照变换公式:»(x N*,x 26,x不能被2整除) '2x2,原文对应的数字是 12,对应的字母是l ;x 13(x N*,x 26,x能被 2整除2密文shxc中的h对应的数字为8,按照变换公式：二(x N*,x 26, x不能被2整除)x2,原文对应的数字是 15,对应的字母是x13(x N ,x 26,x能被 2整除2二、9. 1 ; 10.2 ; 11.-48 ; 12. n 4； 13、5; 14、 3, 72 , 6g 2 22提不：9

10、. f (0) f (1) 0 , 1 a loga a, loga 110.数列1 n是首相为x,公差为2的等差数列，于是1*20051 1 (2005 1) 2 x 400811.特殊值法。取通径，则 A(4,8)、B(4, uuu uuuOA?OB 16 6448。又 1*2005 2008,所以 x 2000 uuuuur8) , OA (4,8) , OB (4, 8)n同解于aacbacbca2cbcab4abbc11bc,nN,所以a b b cacabb cabbcbcabbcn12.因 a所以n 4。13.略14、(1)如图:AE AC / 1 = / 2= / 3= / P

11、+ / PFD = / FE» / EFOFEO= / R 可证 OEM DPF即有 °F EF ,又根据相交弦定理 DF EF= BF DF PFBF OB 2 iPF PB 1 可推出 -,从而PF AP 6PF 3PF= 3 ab ab(2) . PF QF, cc-aa c c cc(3)略。三、15.解：(1) 依题知，2得 f (x) m?n 、. 3sin xcos x cos x2又 J 所以 123 . c 1 csin 2 x cos2 x22sin(2 x ) 61(2)由(1)得 f(x) sin(2x -) 16250 x l'12x 36

12、6612 sin(2x 6) 131 f(x)2，,- 3故f (x)的值域为1,3。216.解：设飞机 A能安全飞行的概率为 P ,飞机B能安全飞行的概率为P2,则R C2p(1 p) C2(1 p)21 p2P2 1 C43p3(1 p) C44 p4 1 4 P3(1 p)p41P2 R 3p4 4p3p2 p2(3p3 4p 1)p2(3p又p 1 e t 所以P2,13.当 t In 时，0 e251 1 3 t 2当 t In 一 时，e -, 23_t 2 tP 3(1 e ) e(e2_ 八 _二，P2 R 0, P2 P；3P2 R 0, P2 R;344p 3p211)(

13、p 1) 3p2(p)(p 1)323),13 t 2一当 t In 时，e , P2 PI 0, P2 P) ；2313故当t In 时，飞机A安全；2.13当t In 一时，飞机A与飞机B一样安全;213当t In 一时，飞机B安全。217. (1)证明：以D为坐标原点，DA所在的直线x轴, 设 | AB| a,| BE | x,| DF | y,则 ''E(a x, a,0), F(0, y,0), B (a, a, a), D (0,0,a)B F ( a,y a, a)DE (a x,a, a)又BF DE, 即 a(a x) 又|CF| a y (2)解：方法所以a

14、（y,所以BF?D E 0a) a |BE |1、找出二面角,0 ,也就是x a|CF |,即 BE CF o 再计算。 1万法2、由（1）得：S CEF 2BE CF即E、F分别为BC、CD的中点，于1 (a x)2E(a,a,0)2aF%。a； a又C(0,a,a),所以 EC ( a,0,a), FC (0,a,a)设m （x1, y1,z1）是平面CEF的一个法向量，则m?ECm?FCax2a2 y11 a z10a z10也就是x12z1 取 my124(2, 2,1)易知CC'(0,0, a)是平面CEF的一个法向量，cos CC , mCC ?m|CCI |m|a3a18

15、. （1）证明：依题知得:整理，得（xn xn 1） (xn(2xn xn1 xn)2 (x2 11)22 xn2 xn0 xn 1xn所以xn xn2xnxn 1 即(2)Tnxn 1xn故数列1是等差数列。由（1）得Sk4 xkxn11-2(k 1)2k 1即xkxkXi2k 11,2,n.)所以.SkS S11?，,S213S315213)1(3(2k15)(2k;Sn1k1)21(2k 1故Tn 3219.解：(1)依题知得f'(x) 3x2 2ax 3(2k 1)(2k 3)2k 3) 二 1 2 2(2k 3)a 13f(1) 031,欲使函数f(x)在x 1,是增函数，仅

16、须 3 或f0a da .1 1即 3 或 3解之得 a 33 a 09 a2 0故若f(x)在x 1, 是增函数，实数a的取值范围为，3。(2)由得f (x) 3x2 2ax 3,且x 3是f(x)的极值点，所以f(3) 0,即30 6a 0,也就是 a 5。21、于是 f (x) 3x 10x 3 3(x 3)(x -)3在区间1,3上f'(x) 0, f(x)是减函数；在区间 3,5上f'(x) 0, f(x)是增函数。又f(1)1, f (3)9, f (5) 15,所以f (x)在1,5的最小值是-9,最大值是15。20.解：(1)当直线l的斜率不存在时，A、B的中点为O, P点的坐标为(0,0)。当直线l的斜率存在时，设其斜率为k ,则直线l的方程为y kx 1y联立方程组2 xkx 12L 1消y得:(4k2)x2 2kx 34设