第5章 数字逻辑基础

1、计计 算算 机机 电电 路路 基基 础础第五章 逻辑代数基础第第5章章 逻辑代数基础逻辑代数基础5. 1 数制与编码数制与编码（1）进位制：表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制，简称进位制。 数制数制（2）基 数：进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数码个数。（3） 位 权（位的权数）：在某一进位制的数中，每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就是这一位的权数。权数是一个幂。数码为：09；基数是10。 Decimal：十进制：十进制运算规律：逢十进一，即：9110。十进制数的

2、权展开式：1、十进制、十进制103、102、101、100称为十进制的权。各数位的权是10的幂。同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。即：(5555)D5103 510251015100又如：(209.04)10 2102 0101910001014 1022、二进制、二进制数码为：0、1；基数是2。 Binary：二进制：二进制运算规律：逢二进一，即：1110。二进制数的权展开式：如：(101.01)B 122 0211200211 22 (5.25)10加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1

3、0乘法规则：0.0=0， 0.1=0 ，1.0=0，1.1=1运算运算规则规则各数位的权是的幂各数位的权是的幂二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。数码为：07；基数是8。 O：八进制：八进制运算规律：逢八进一，即：7110。八进制数的权展开式：如：(207.04)8 282 0817800814 82 (135.0625)103、八进制、八进制4、十六进制、十六进制数码为：09、AF；基数是16。 Hexadecimal：十六进制：十六进制运算规律：逢十六进一，即：F110。十六进制数的权展开式：如：(D8.A)H 13161

4、 816010 161(216.625)10各数位的权是各数位的权是8的幂的幂各数位的权是各数位的权是16的幂的幂结论结论一般地，N进制需要用到N个数码，基数是N；运算规律为逢N进一。如果一个N进制数M包含位整数和位小数，即 (an-1 an-2 a1 a0 a1 a2 am)N则该数的权展开式为：(M)N an-1Nn-1 an-2 Nn-2 a1N1 a0 N0a1 N-1a2 N-2 amN-m 由权展开式很容易将一个N进制数转换为十进制数。 几几种种进进制制数数之之间间的的对对应应关关系系十进制数二进制数八进制数十六进制数01234567891011121314150000000001

5、00010000110010000101001100011101000010010101001011011000110101110011110123456710111213141516170123456789ABCDEF数制转换数制转换（1）二进制数转换为八进制数： 将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进制数便是一位八进制数。将N进制数按权展开，即可以转换为十进制数。1、二进制数与八进制数的相互转换、二进制数与八进制数的相互转换1 1 0 1 0 1 0 . 0 10 00 (152.2)8（2）八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用3位

6、二进制数表示。= 011 111 100 . 010 110(374.26)82、二进制数与十六进制数的相互转换、二进制数与十六进制数的相互转换1 1 1 0 1 0 1 0 0 . 0 1 10 0 00 (1D4.6)16= 1010 1111 0100 . 0111 0110(AF4.76)16 二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。3、十进制数转换为二进制数、十进制数转换为二进制数采用的方法 基数连除、连乘法原理：将整数部分和小数部分分别进行转换。 整数部分采用基数连除法，小数部分 采用基数连乘法。转换后再合并。 0.375 2 整数 高位 0

7、.750 0=K1 0.750 2 1.500 1=K2 0.500 2 1.000 1=K3 低位整数部分采用基数连除法，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。小数部分采用基数连乘法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。所以：(0.375)10(0.011)2采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的N进制数。225 余余1 K0122 余余0 K162 余余0 K232 余余1 K312 余余1 K40(25)D=(11001)B 用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为编码。 用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位数的二进制数称为代码。 编码编码 数字系

8、统只能识别0和1，怎样才能表示更多的数码、符号、字母呢？用编码可以解决此问题。 二-十进制代码：用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的 0 9 十个数码。简称BCD码。 8421码的权值依次为8、4、2、1；余3码由8421码加0011得到；格雷码是一种循环码，其特点是任何相邻的两个码字，仅有一位代码不同，其它位相同。 用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码，因各位的权值依次为8、4、2、1，故称8421 BCD码。常常用用B BC CD D码码十进制数 8421码 余3码 格雷码 2421码5421码012345678900000001001000110100010101

9、100111100010010011010001010110011110001001101010111100000000010011001001100111010101001100110100000001001000110100101111001101111011110000000100100011010010001001101010111100权842124215421本节小结日常生活中使用十进制，但在计算机中基本上日常生活中使用十进制，但在计算机中基本上使用二进制，有时也使用八进制或十六进制。利使用二进制，有时也使用八进制或十六进制。利用权展开式可将任意进制数转换为十进制数。将用权展开式可

10、将任意进制数转换为十进制数。将十进制数转换为其它进制数时，整数部分采用基十进制数转换为其它进制数时，整数部分采用基数除法，小数部分采用基数乘法。利用数除法，小数部分采用基数乘法。利用1位八进制位八进制数由数由3位二进制数构成，位二进制数构成，1 1位十六进制数由位十六进制数由4位二进位二进制数构成，可以实现二进制数与八进制数以及二制数构成，可以实现二进制数与八进制数以及二进制数与十六进制数之间的相互转换。进制数与十六进制数之间的相互转换。二进制代码不仅可以表示数值，而且可以表二进制代码不仅可以表示数值，而且可以表示符号及文字，使信息交换灵活方便。示符号及文字，使信息交换灵活方便。BCD码是码是

11、用用4位二进制代码代表位二进制代码代表1 1位十进制数的编码，有多位十进制数的编码，有多种种BCD码形式，最常用的是码形式，最常用的是8421 BCD码。码。5.2 5.2 逻辑函数逻辑函数事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ，称为逻辑0状态和逻辑1状态。逻辑函数是按一定的逻辑关系进行运算的函数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数中，只有和两种逻辑值，有三种基本逻辑运算，还有几种导出逻辑运算。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。

12、逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。1 1、与逻辑（与运算）、与逻辑（与运算）与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：开关A，B串联控制灯泡Y电路图L=ABEABYEABYEABYEABYEABY两个开关必须同时接通，两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：灯才亮。逻辑表达式为：A、B都断开，灯不亮。都断开，灯不亮。A断开、断开、B接通，灯不亮。接通，灯不亮。A接通、接通、B断开，灯不亮。断开，灯不亮。A、B都接通，灯亮。都接通，灯亮。这种把所有可能的条件组合

13、及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：A BY0 00 11 01 10001开关 A 开关 B灯 Y断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灭灭灭亮功能表功能表实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：YAB&真真值值表表逻辑符号逻辑符号2 2、或逻辑（或运算）、或逻辑（或运算）或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：开关A，B并联控制灯泡Y电路图L=ABEABYEABYEABY两个开关只要有一个接通，两个开关只要有一

14、个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：灯就会亮。逻辑表达式为：A、B都断开，灯不亮。都断开，灯不亮。A断开、断开、B接通，灯亮。接通，灯亮。A接通、接通、B断开，灯亮。断开，灯亮。A、B都接通，灯亮。都接通，灯亮。EABYEABYA BY0 00 11 01 10111 实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：AB1真值表真值表开关 A 开关 B灯 Y断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灭亮亮亮功能表功能表逻辑符号逻辑符号3 3、非逻辑（非运算）、非逻辑（非运算）非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：开关A控制灯泡Y电路

15、图EAYRAY0110实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：YA1EAYRA断开，灯亮。断开，灯亮。EAYRA接通，灯灭。接通，灯灭。真真值值表表功功能能表表逻辑符号逻辑符号开关 A灯 Y断开闭合亮灭4 4、常用的逻辑运算、常用的逻辑运算（1）与非运算：逻辑表达式为：ABY A BY0 00 11 01 11110 真值表YAB与非门的逻辑符号L=A+B&（2）或非运算：逻辑表达式为：BAYA BY0 00 11 01 11000 真值表YAB或非门的逻辑符号L=A+B1（3）异或运算：逻辑表达式为：BABABAYA BY0 00 11 01 10110 真值表YAB异或门的逻辑符

16、号L=A+B=1CDABYY1&ABCD与或非门的逻辑符号ABCD&1Y与或非门的等效电路（4） 与或非运算：逻辑表达式为：基本逻辑关系小结基本逻辑关系小结5 5、逻辑函数及其相等概念、逻辑函数及其相等概念（1）逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母A、B、C、D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量。（2）逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、的逻辑函数。记为),(CBAfY

17、 ：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两种不同的状态，没有数量的含义。（3）逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数),( ),(21CBAgYCBAfY它们的变量都是A、B、C、，如果对应于变量A、B、C、的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2是相等的，记为Y1=Y2。若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真值表是否相同即可。A BABABA BA+B0 00 11 01 100011

18、1101 11 00 10 01110BAAB证明等式：5.2.2正负逻辑的概念正负逻辑的概念 1.1.基本概念基本概念 正逻辑正逻辑：用高电平表示逻辑：用高电平表示逻辑1 1，低电平表示逻辑，低电平表示逻辑0 0。负逻辑负逻辑：用高电平表示逻辑：用高电平表示逻辑0，低电平表示逻辑，低电平表示逻辑1。2.2.正逻辑与负逻辑的关系正逻辑与负逻辑的关系 按正逻辑规定按正逻辑规定：可得到表：可得到表5-45-4所示真值表，由所示真值表，由真值表可知，该电路是一个正逻辑的真值表可知，该电路是一个正逻辑的 与与 门；门； 按负逻辑规定按负逻辑规定：可得到表：可得到表5 55 5所示真值表，所示真值表，由

19、真值表可知，该电路是一个负逻辑的由真值表可知，该电路是一个负逻辑的 或或 门。门。 即即正逻辑与门等价于负逻辑或门正逻辑与门等价于负逻辑或门。 前面讨论各种逻辑门电路时，都是按照正前面讨论各种逻辑门电路时，都是按照正逻辑规定来定义其逻辑功能的。在本课程中，逻辑规定来定义其逻辑功能的。在本课程中，若无特殊说明，约定按正逻辑讨论问题，所有若无特殊说明，约定按正逻辑讨论问题，所有门电路的符号均按正逻辑表示。门电路的符号均按正逻辑表示。5.3 布尔代数布尔代数布尔代数：布尔代数： 逻辑代数最初是由英国数学家布尔（逻辑代数最初是由英国数学家布尔（G. G. BooleBoole）首先提出来的，所以被称为

20、布尔代数。）首先提出来的，所以被称为布尔代数。 逻辑代数的变量称为逻辑变量。逻辑代数的变量称为逻辑变量。逻辑变量逻辑变量与一般代数变量不同，逻辑变量的取值只有与一般代数变量不同，逻辑变量的取值只有0 0和和1 1，就是说逻辑电路中只有两种逻辑状态。，就是说逻辑电路中只有两种逻辑状态。这里的这里的1 1和和0 0可以由数字系统中的电平的高低、可以由数字系统中的电平的高低、开关的断通和信号的有无来表示。开关的断通和信号的有无来表示。 1 1、布尔代数的公式和定理布尔代数的公式和定理与运算：111 001 010 000（1）基本运算规则（2）基本定律0-1 律：AAAA10 0011AA或运算：1

21、11 101 110 000非 运 算 ：10 01互补律： 0 1AAAA等幂律：AAAAAA 双 重 否 定 律 ：AA 分别令分别令A=0及及A=1代入这些代入这些公式，即可证公式，即可证明它们的正确明它们的正确性。性。交换律：ABBAABBA结合律：)()()()(CBACBACBACBA分配律：)()()(CABACBACABACBA反演律（德.摩根定律）：BABABABAA B A.B B.A0 00 11 01 100010001自等律：A1=A，A+0=A (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+

22、BC等幂率等幂率AA=AAA=A=A(1+B+C)+BC分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+BC0-10-1率率A+1=1A+1=1证明分配律：A+BC=(A+B)(A+C)证明：证明：例如，已知等式 ，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：5.3.25.3.2布尔代数运算的基本定理布尔代数运算的基本定理（1）代入定理代入定理：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。BAABCBABACBAC)(（2）反演定理反演定理：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”

23、换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。例如：EDCBAY)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY反演定理内容：反演定理内容：将函数式将函数式 F 中所有的中所有的 + 变量与常数均取反变量与常数均取反互补运算互补运算2.不是一个变量上的反号不动。不是一个变量上的反号不动。注意注意:用处：用处：实现互补运算（求反运算）。实现互补运算（求反运算）。新表达式：新表达式：F显然：显然：FF (变换时，原函数运算的先后顺序不变变换时，原函数运算的先后顺序不变)例例1：1)()(1 DCBAF01 DCBAF

24、与或式与或式注意括号注意括号注意注意括号括号01 DCBAFDBDACBCAF 1)(EDCBA )(EDCBA 例例2：EDCBAF2 EDCBAF 2与或式与或式反号不动反号不动反号不动反号不动EDCBAF 2EDACABAF 2（3）对偶定理对偶定理：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而，则可得到的一个新的函数表达式Y，Y称为函数Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：EDCBAY对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：在运用反演

25、规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。ACABCBA)()(CABABCAABABAABABA)()()(EDCBAYEDCBAYEDCBAY（3）常用公式ABABAABABA)()(证 明 ：)(BAAABAA吸收率：BABAABABAAABAAABAA)( )()(1BA BA 分配率分配率A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)互补率互补率A+A=1A+A=10-10-1率率A A1=A1=A5.3.35.3.3利用布尔代数化简逻辑函数利用布尔代数化简逻辑函数1.1.化简的概念化简的概念逻辑函数化

26、简的意义：逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。的电路越简单，电路工作越稳定可靠。 逻辑代数的基本和常用公式以与-或形式给出，下面主要讨论与-或逻辑函数式的化简。 最简的与-或函数式，再通过公式变换就可以得到其他类型的函数式了。究竟应该将函数式变换成什么形式，要视所用门电路的功能类型而定。 但必须注意，将最简与-或函数式直接变换为其他类型的逻辑式时，得到的结果不一定是最简的；同时，在逻辑设计中，最简的表达式不一定能得到最简的电路。 2.2.具体的方法具体的方法1 1、并项法、并项法逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定

27、理和规则来化简逻辑函数。利用公式1，将两项合并为一项，并消去一个变量。BCCBCBBCCBBCAACBBCAABCY)()(1ABCBCABCAABCCBAABCCABAABCY)()(2若两个乘积项中分别若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反并成一项，并消去互为反变量的因子。变量的因子。运用摩根定律运用分配律运用分配律2 2、吸收法、吸收法BAFEBCDABAY)(1BABCDBADABADBCDABADCDBAY)()(2如果乘积项如果乘积项是另外一个乘积是

28、另外一个乘积项的因子，则这项的因子，则这另外一个乘积项另外一个乘积项是多余的。是多余的。运用摩根定律（）利用公式，消去多余的项。（）利用公式+，消去多余的变量。CABCABABCBAABCBCAABY)(DCBADBACBADBACBADBACCBADCBDCACBAY)()(如果一个乘积项如果一个乘积项的反是另一个乘积的反是另一个乘积项的因子，则这个项的因子，则这个因子是多余的。因子是多余的。、配项法、配项法（）利用公式（），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。CACBBABBCAACBCBACBABCACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBAY)()1 (

29、)1 ()()(（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。BCACABBCAABCCBAABCCABABCBCACBACABABCY)()()(、消去冗余项法、消去冗余项法利用冗余律，将冗余项消去。DCACBAADEDCACBADCADEACBAY)(1CBABFGDEACCBABY)(2在化简更复杂一些的逻辑函数时，往往需要综合运用在化简更复杂一些的逻辑函数时，往往需要综合运用各种方法进行化简。各种方法进行化简。ACDE+DCA+ABD+CBA+CBA+CBA=YACDE+)C+B(AD+CBA+CBA+CBA+CBA=ACDE+CBAD+CB)A+A(+)C+C(BA=ACDE+CBAD+C

30、B+BA=ACDE+AD+CB+BA=AD+CB+BA=例例：例例：化简函数)()()()(GEAGCECGADBDBY解解：先求出Y的对偶函数Y，并对其进行化简。GCCEDBAEGGCCEDAGBDBY求Y的对偶函数，便得的最简或与表达式。)()(GCECDBY例例1：ABAC)BC(A)BCB(AABCBA)CC(ABCBAABCCABCBAF 反变量吸收反变量吸收提出提出AB=1提出提出A例例2：CBBCBAABF )(CBBCBAAB ）（反演反演CBAABCCCBAAB )()(配项配项CBBCAABCCBACBAAB 被吸收被吸收被吸收被吸收CBBBCAAB )(CBCAAB 结论

31、：结论：异或门可以用异或门可以用4个个与非门实现。与非门实现。例例3: 证明证明BABBAABABABAY BABBAA 右右边边; AB=A+BBABBAA )BA(B)BA(A BBABBAAA 0ABBA0 ABBA 右右边边 AA; ; 展开展开BABA; 例例4：化简为最简逻辑代数式化简为最简逻辑代数式ABCCABCBABCACBAY ABCCABCBABCACBAY )CC(ABCBA)CC(BA ABCBABA CBAB)AA( CBAB ACB 例例5：将将Y化简为最简逻辑代数式。化简为最简逻辑代数式。 ;利用反演定理利用反演定理;利用公式利用公式A+AB=A+B；A=ACDB

32、ABAY)( CD)BA(BAY CDBABA)( CDBABA CDBA 5.3.4逻辑函数的表达式及最简表达式逻辑函数的表达式及最简表达式（1）与或表达式：ACBAY（2）或与表达式：Y)(CABA（3）与非-与非表达式：Y ACBA（4）或非-或非表达式：YCABA（5）与或非表达式：YCABA一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。逻辑函数的最简表达式逻辑函数的最简表达式(1)(1)、最简与或表达式最简与或表达式乘

33、积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或表达式。CABACBCABADCBCBECACABAEBAY最简与或表达式最简与或表达式(2)(2)最简与非最简与非-与非表达式与非表达式非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。CABACABACABAY在最简与或表达式的基础上两次取反用摩根定律去掉下面的非号(3)(3)、最简或与表达式最简或与表达式括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。CABAYACBACBACBACABACABAY)()(CABAY求出反函数的最简与或表达式利用反演规则写出函数的最简或与表达式(4)(4)、最简或非最简或非-或非表达式或非

34、表达式非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。CABACABACABACABAY)()(求最简或非-或非表达式两次取反( () )、最简与或非表达式最简与或非表达式非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。ACBACABACABAY求最简或非-或非表达式用摩根定律去掉下面的非号用摩根定律去掉大非号下面的非号5.4 卡诺图卡诺图5.4.15.4.1逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式（1）最小项）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标

35、准积项，通常称为最小项。3个变量A、B、C可组成8个最小项：ABCCABCBACBABCACBACBACBA、（2）最小项的表示方法）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm76543210、（3）最小项的性质）最小项的性质： 3 变量全部最小项的真值表A B Cm0m1m2m3m4m5m6m70 0 00 0 10 1

36、00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。全部最小项的和必为1。ABCABC任意两个不同的最小项的乘积必为0。（）（）逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式AA1 和A(B+C)ABBC来配项展开成最小项表达式。)7 , 3 , 2 , 1 , 0()()(73210mmmmmm

37、ABCBCACBACBACBABCAABCCBACBACBABCABCAACCBBABCAY如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。A B CY最小项0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101100m0m1m2m3m4m5m6m7m1ABCm5ABCm4ABCm2ABCCBACBACBACBAmmmmmY)5 ,4,2, 1(5421将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。逻辑相邻：逻辑相邻：若两个最小项只有一个变量以原、反区若两个最小项只有一个变量以原、反区别，其他变量均相

38、同，则称这两个最小项逻辑别，其他变量均相同，则称这两个最小项逻辑相邻。相邻。 逻辑相邻；逻辑相邻；与与例：例：BCACBAA B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC不是逻辑相邻。不是逻辑相邻。与与CBACBAABCCBACBACBACBAF 逻辑相邻逻辑相邻CBCBACBA 逻辑相邻的项可以逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子合并，消去一个因子.4.2.4.2、卡诺图的结构与特点、卡诺图的结构与特点逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利

39、用卡诺图来化简逻辑函数。将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使，这样构成的图形就是卡诺图。卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项） 。 A B010m0m21m1m3 ABC000111100m0m2m6m41m1m3m7m5 2 变量卡诺图 3 变量卡诺图每个每个2变量的最小变量的最小项有两个最小项项有两个最小项与它相邻与它相邻每个每个3变量的最变量的最小项有小项有3个最小个最小项与它相邻项与它相邻、逻辑变量的卡诺图 ABCD0001111000m0m4m12m801m1m5m13m91

40、1m3m7m15m1110m2m6m14m10 4 变量卡诺图每个每个4变量的最小项有变量的最小项有4个最小项与它相邻个最小项与它相邻最左列的最小项与最左列的最小项与最右列的相应最小最右列的相应最小项也是相邻的项也是相邻的最上面一行的最小最上面一行的最小项与最下面一行的项与最下面一行的相应最小项也是相相应最小项也是相邻的邻的个相邻最小项可以合并消去一个变量；依次类推个相邻最小项可以合并，消去两个变量；个相邻最小项可以合并，消去三个变量。DCADCBADCAB逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并5.4.35.4.3利用卡诺图化简逻辑函数利用卡诺图化简逻辑函数（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项

41、表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。 ABCD00011110000100011000111111100110)15,14,11, 7 , 6 , 4 , 3 , 1 (),(mDCBAYm1m3m4m6m7m11m14m15（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。)(CBDAYCBDAY ABC D00011110001100010000111001101101变换

42、为与变换为与或表达式或表达式的公因子的公因子说明：如果求得了函数的反函数，则对中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入0，其余方格内填入1。（3 3）卡诺图的化简）卡诺图的化简 ABC D00011110000100010001110001100100（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。 AB C000111100100110110CBACBAABCBCADBCADCBACDBADCBACBBCDBADBA ABCD00011110000100011111110110100100（2）任何4个（22个）标1的相邻最小

43、项，可以合并为一项，并消去2个变量。 A B C000111100111110110CCBAABBABACBACABCBACBA)(BBACCACACAABCCABBCACBA)(BADC ABC D00011110001001010110110110101001 ABC D00011110000110011001111001100110 B BD ABC D00011110000000011111111111100000 ABCD00011110001001011001111001101001（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。4 4、图形法化简的基本步

44、骤、图形法化简的基本步骤逻辑表达式逻辑表达式或真值表或真值表卡诺图卡诺图)15,13,12,11, 8 , 7 , 5 , 3(),(mDCBAY A BC D0 00 11 11 00 000110 101101 111111 00000 1 1 合并最小项合并最小项圈越大越好，但每个圈中标的方格数目必须为个。同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。不能漏掉任何一个标的方格。i2最简与或表达式最简与或表达式 A BC D0 00 11 11 00 000110 101101 111111 00000DCACDBDDCBAY ),(冗余项 2 2 3 3 将代表

45、每个圈的乘积项相加 ABC D00011110 ABC D00011110001101001101010111010111110011110011100000100000两点说明： 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。不是最简最简 ABCD00011110 ABCD00011110001100001100011110011110110010110010101010101010 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。注意：注意：逻辑函数的化简有公式法和图形法逻辑函

46、数的化简有公式法和图形法等。公式法是利用逻辑代数的公式、等。公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规则来对逻辑函数化简，这种定理和规则来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复杂的逻辑函数，但方法适用于各种复杂的逻辑函数，但需要熟练地运用公式和定理，且具有需要熟练地运用公式和定理，且具有一定的运算技巧。图形法就是利用函一定的运算技巧。图形法就是利用函数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种方法简单直观，容易掌握，但变量太方法简单直观，容易掌握，但变量太多时卡诺图太复杂，图形法已不适用。多时卡诺图太复杂，图形法已不适用。在对逻辑函数化简时，充分利用随意在对逻辑函数化简时，充分利用

47、随意项可以得到十分简单的结果。项可以得到十分简单的结果。5.5 具有约束的逻辑函数具有约束的逻辑函数5.5.15.5.1约束项的概念约束项的概念约束项约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项叫做约不会出现的变量取值所对应的最小项叫做约束项。也叫做无关项。束项。也叫做无关项。1.1.约束、约束项、约束条件约束、约束项、约束条件约束：约束：用来说明逻辑函数中各个变量之间互相制约关用来说明逻辑函数中各个变量之间互相制约关系的一个重要概念。系的一个重要概念。 2.2.约束条件的表示方法约束条件的表示方法 d)5 , 3 , 1 (0)5 , 3 , 1 (0CBABCACBA或或0=CB+CA最小项之

48、和表达式最小项之和表达式 最简与或表达式最简与或表达式 例如：判断一位十进制数是否为偶数。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现 说 明 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 0 1 1 0 10 0 1 0 1 1 1 0 01 0 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 1 0 1 01 0 0 1 00 1 0 0 10 0 0 0 11 1 0 0 01 0 0 0 0Y A B C DY A B C D ABCD00011110001110100011001011输入变量A，B，C，D取值为00001001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，

49、偶数时为1，奇数时为0。)8 ,6,4,2,0(),(mDCBAYA，B，C，D取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于约束项。用符号“”、“”或“d”表示。0)15,14,13,12,11,10(d含有约束条件的逻辑函数可以表示成如下形式：)15,14,13,12,11,10()8 , 6 , 4 , 2 , 0(),(dmDCBAF在逻辑函数的化简中，充分利用约束项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，约束项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如果约束项对化简有利，则取1；如果约束项对化简不利，则取0。 ABCD00011110001110100011001011不利用约束项的化简结果为：DCADAY利用约束项的化简结果为：DY 5.5.2具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简1.1.约束条件在化简中的应用约束条件在化简中的应用、变量互相排斥的逻辑函数的化简变量互相排斥的逻辑函数的化简在一组变量中，如果只要有一个变量取值为1，则其它变量的值就一定为0，具有这种制约关系的变量叫做互相排斥的变量。变量互相排