2021年高三数学第一轮复习教案(新人教A)直线与平面垂直

1、9.3直线与平面垂直巩固夯实基础一、自主梳理1 .直线与平面垂直的定义：如果一条直线与平面内白所有直线都垂直，那么就说这条直线与这个平面垂直.2 .直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.3 .直线与平面垂直的性质：如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线平行.4 .三垂线定理：平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.5 .三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.二、点击双基1 .“直线l垂直于平面口内的无数条直线”是“ l，a

2、”的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:B2 .给出下列命题，其中正确的两个命题是（）直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面直线m，平面a ,直线 n, m,则n / aa、b是异面直线，则存在唯一的平面”，使它与a、b都平行且与a、b距离相等A.B.C.D.解析:错误.如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交.正确.如图，平面a / 3 ,A Ca ,CC a ,DC 3 ,BC 3且E、F分别为 AB、CD的中点，过 C作CG / AB交平面3于 G,连 结 BG、GD.设 H 是 CG

3、 的中点，贝U EH / BG, HF / GD.EH / 平面 3 , HF / 平面 3 . 平面EHF /平面3 /平面a . EF / a , EF/ 3 .错误.直线n可能在平面a内.正确.如图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a / a,b /b,则a、b确定的平面即为与 a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定 的.答案:D3 .在正方形SGiG2G3中,E、F分别是 G1G2、G2G3的中点,D是EF的中点，沿SE、SF及EF把这 个正方形折成一个四面体，使Gi、G2、G3三点重合，重合后的点记为 G,那么,在四面体S-EFG 中必有()A

4、.SGL平面 EFGB.SDL平面 EFG C.FG，平面 SEF D.GD，平面 SEF解析:注意折叠过程中，始终有$66正$63,635,即$6,6$6,65,所以$6，平面EFG.选A.答案:A4 .在直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，当底面四边形 ABCD满足条件 时，有ACBiDi.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)答案:AiCi LBiDi或四边形AiBiCiDi为菱形等5 .设正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为i,则(i)A点到CDi的距离为 ;(2)A点到BDi的距离为 ;A点到面BDDiBi的距离为 ;(4)A点到面 AiBD的距离为

5、;(5)AA i与面BBiDiD的距离为 .答案:一6 (2)-6(3)(4)(5) 23232诱思实例点拨【例i】已知PAX O O所在的平面，AB是O O的直径，C是。O上任意一点，过A点作AE LPC于点E,求证：AEL平面PBC.证明：.PA，平面 ABC, PAXBC.又AB是。O的直径， .BC AC.而 pc n ac=c , .BC,平面 PAC.又 AE在平面PAC内， BCXAE. . PCXAE,且 PCn BC=C ,AE，平面 PBC.链接聚焦证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a/直线b,直线a,平面”，则直线 b

6、,平面.【例 2】 在直三棱柱 ABCAiBiCi 中，BiCi=AiCi, AiBACi,求证：AiBXBiC.证明：取AiBi的中点Di,连结CiDi. BiCi=AiCi, CiDiXABB iAi.连结ADi,则ADi是ACi在平面 ABB iAi内的射影. .AiBlACi, AiBXADi.取AB的中点D,连结CD、BiD,则BiD /ADi,且BiD是BiC在平面 ABB iAi内的射影.BiDXAiB,.AiBXBiC.链接聚焦证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直于另外一直线所在的平面；利用 三垂线定理及其逆定理.【例3】（2004湖北高考，理）如图所示，在棱长为i

7、的正方体ABCD AiBiCiDi中，点E是棱 BC的中点，点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置，使得DiE，平面ABiF;(2)当DiE，平面ABiF时，求二面角CiEFA的大小(结果用反三角函数值表示).剖析：(1)先假设DiE，面ABiF,再用三垂线定理验证DiE AF,即可得出结论.(2)由三垂线定理作出二面角，再由解直角三角形知识求出角.(3)本题也可用空间向量知识求解.解法一 ：(i)如图，连ZAiB,则AiB是DiE在面ABB iAi内的射影.因为 ABdAiB,所以 DiE,ABi.于是 DiE,平面 ABiFDiEXAF.连结DE,则DE是DiE在底面ABCD内的射影.因为

8、DiEAF DEAF,又因为ABCD是正方形，E是BC的中点，所以当且仅当F是CD的中点时，DE，AF,即当点F是CD的中点时，DiEL平面ABiF.(2)当DiE,平面ABiF时，由(i)知点F是CD的中点, 又已知点E是BC的中点，连结EF则EF / BD.连结AC,设AC与EF交于点H,则CHIEF.连结CiH,则CH是CiH在底面ABCD内的射影.所以CiHEF,即/ CiHC是二面角CiEFC的平面角.=2,2.在 RtACiCH 中，因为 CiC=i,CH= ：AC=2，所以 tan / CiHC= CC =所以/ CiHC=arctan2 鼠 2，从而/ AHC i=兀-arct

9、an2P2 .故二面角CiEFA的大小为兀-arctan2v12 .解法二：供9(B)选用以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系(1)设 DF=x,则 A(0Q0),B(1Q0),D(0,1,0),A i(0,0,1),Bi(1,0,1),D i(0,1,1),E(1, - ,0),F(x,1,0).21所以 DiE=(i,-,-i), ABi =(1,0,1), AF =(x,i,0).2所以 D1EABi =1-1=0，即 DiEXABi.于是 DiE_L平面 AB iFDiE_L AFD1EAF =0X=0,即x.22故当点F是CD的中点时，DiEL平面AB iF.(2)当DiE,平面ABiF时,F是CD的中点.又E是BC的中点，连结EF,则EF/ BD.连结AC,设AC与EF交于点H,则AH，EF.连结CiH,则CH是CiH在底面ABCD内的射 影.所以CiHEFZ AHCi是二面角Ci-EF-A的平面角.因为 Ci(1,1,1)、H(-,3,0),4 4所以 HCi =( , ,1), HA =(-3 ,- ,0).所以 cos/ AHC i 4