计算机控制技术 第2章 计算机控制系统数学描述及分析

1、1第二章第二章 计算机控制系统数学描述与分析计算机控制系统数学描述与分析2022-5-32022-5-32本章的基本内容本章的基本内容2022-5-33本章的基本内容本章的基本内容2022-5-342.1 信号的采样与恢复信号的采样与恢复 计算机只能接收、处理和输出数字信号。对计算机只能接收、处理和输出数字信号。对于计算机控制系统这种模拟器件和数字器件共存于计算机控制系统这种模拟器件和数字器件共存的混合系统，的混合系统，信号变换装置信号变换装置A/DA/D和和D/AD/A是必不可少是必不可少。 从现场检测的连续信号必须经过采样、从现场检测的连续信号必须经过采样、A/DA/D转转换等量化处理变换

2、为数字信号，才能由计算机进换等量化处理变换为数字信号，才能由计算机进行计算处理；同理，计算机输出的离散的数字量行计算处理；同理，计算机输出的离散的数字量也必须经过也必须经过D/AD/A转换器和保持器形成连续信号，才转换器和保持器形成连续信号，才能作用于被控对象。能作用于被控对象。计算机输入和输出的信息转换计算机输入和输出的信息转换 时间上连续时间上连续幅值上连续取值幅值上连续取值一般用十进制数表示一般用十进制数表示2022-5-352.1 信号的采样与恢复信号的采样与恢复计算机输入和输出的信息转换计算机输入和输出的信息转换 2022-5-362.1 信号的采样与恢复信号的采样与恢复时间上不连续

3、时间上不连续幅值上连续取值幅值上连续取值脉冲序列信号脉冲序列信号采样信号采样信号计算机输入和输出的信息转换计算机输入和输出的信息转换 2022-5-372.1 信号的采样与恢复信号的采样与恢复时间上不连续时间上不连续幅值上不连续取值幅值上不连续取值用二进制代码形式表示用二进制代码形式表示计算机处理的信号计算机处理的信号2022-5-382.1 信号的采样与恢复信号的采样与恢复2.1.1 2.1.1 连续信号的采样和量化连续信号的采样和量化n 信号的采样过程信号的采样过程 在计算机控制系统中，信号是以脉冲序列或在计算机控制系统中，信号是以脉冲序列或数字序列的方式传递的，按一定的时间间隔数字序列的

4、方式传递的，按一定的时间间隔T（采（采样周期），把时间和幅值上连续的模拟信号变成样周期），把时间和幅值上连续的模拟信号变成在在0、T、2T、KT时刻的一连串脉冲输出信时刻的一连串脉冲输出信号的集合的过程叫做号的集合的过程叫做采样过程采样过程。实现采样动作的。实现采样动作的装置叫装置叫采样开关或采样器采样开关或采样器。)(tft)(*tft0T1T2T3T4T50T1T2T3T4T5(b) 连续信号(c) 采样信号 T)(tf)(*tf(a) 采样开关开关闭合时间开关闭合时间0开关打开时间开关打开时间*fTfTT2022-5-39模拟信号的采样过程模拟信号的采样过程 采样开关输入的原信号采样开关

5、输入的原信号 为连续信号。当采样开关的为连续信号。当采样开关的闭合时间很短时，采样信号闭合时间很短时，采样信号 就可以认为是原信号在开就可以认为是原信号在开关闭合瞬时的值关闭合瞬时的值 ，可以看作是一个权重为，可以看作是一个权重为 的脉的脉冲函数冲函数 。整个采样信号就可看作是一个加权脉。整个采样信号就可看作是一个加权脉冲序列：冲序列：2022-5-3102.1 信号的采样与恢复信号的采样与恢复2.1.1 2.1.1 连续信号的采样和量化连续信号的采样和量化n 信号的采样过程信号的采样过程)(tf)(*tf()f kT()f kT()f kTtkT*0( )(0) ( )( ) ()(2 )

6、(2 )() ()kftftf TtTfTtTf kTtkT单位脉冲函数单位脉冲函数( ) t 00010ttdtttttt0t2022-5-3112.1 信号的采样与恢复信号的采样与恢复2.1.1 2.1.1 连续信号的采样和量化连续信号的采样和量化n 采样定理采样定理 在计算机控制系统中对连续信号进行采样，在计算机控制系统中对连续信号进行采样，用抽取的离散信号序列代表相应的连续信号来参用抽取的离散信号序列代表相应的连续信号来参与控制运算。所以，采集到的离散信号序列必须与控制运算。所以，采集到的离散信号序列必须能够表达相应连续信号的基本特征。这个问题和能够表达相应连续信号的基本特征。这个问题

7、和采样周期的选取采样周期的选取是密切相关的。是密切相关的。采样周期对采样效果的影响采样周期对采样效果的影响 2022-5-312香农（香农（Shannon）采样定理指出：）采样定理指出： 对于一个具有有限频谱对于一个具有有限频谱 的连续信号进行采样的连续信号进行采样时，采样信号时，采样信号 唯一地复现原信号唯一地复现原信号 所需的最低采样角所需的最低采样角频率频率 必须满足必须满足 或或 的条件。其中，的条件。其中， 是原信号频率的最高角频率：是原信号频率的最高角频率：max)(*tfmax2smax2 /T maxTfss22采样频率与采样周期的关系为：采样频率与采样周期的关系为：2022-

8、5-313)(tfs2.1 信号的采样与恢复信号的采样与恢复2.1.1 2.1.1 连续信号的采样和量化连续信号的采样和量化n 采样定理采样定理在实际中，采样频率通常取在实际中，采样频率通常取 ，或者更高。，或者更高。对于工业过程，人们在实践中总结如下经验数据可供参考：对于工业过程，人们在实践中总结如下经验数据可供参考：max)105(ffs温度温度流量流量压力压力液面液面成分成分1020s15s310s68s1520s变化速度快，信号频率相对较高变化速度快，信号频率相对较高变化速度慢，信号频率相对较低变化速度慢，信号频率相对较低变化速度慢变化速度慢2022-5-3142.1 信号的采样与恢复

9、信号的采样与恢复2.1.1 2.1.1 连续信号的采样和量化连续信号的采样和量化n 采样定理采样定理12minmaxnffq 将时间上离散、幅值上连续变化的离散模拟信号将时间上离散、幅值上连续变化的离散模拟信号 用一组二进制数码来逼近的过程称为信号的量化。用一组二进制数码来逼近的过程称为信号的量化。 执行量化动作的装置是执行量化动作的装置是A/DA/D转换器，把在转换器，把在 范围范围内变化的采样信号内变化的采样信号 通过字长为通过字长为 的的A/DA/D转换器，变换成转换器，变换成 范围内的某个数字量。范围内的某个数字量。量化单位定义为：量化单位定义为：q是二进制数的最低有效位对应的整量单位

10、是二进制数的最低有效位对应的整量单位整量化方法：整量化方法：“只舍不入只舍不入”和和“有舍有入有舍有入”)(*tfmaxmin ff)(*tfn0 21n2022-5-3152.1 信号的采样与恢复信号的采样与恢复2.1.1 2.1.1 连续信号的采样和量化连续信号的采样和量化n 信号的量化信号的量化 信号的恢复是指将采样信号恢复到原连续信号，它是信号的恢复是指将采样信号恢复到原连续信号，它是采样过程的逆过程采样过程的逆过程。将数字信号序列恢复成连续信号的装。将数字信号序列恢复成连续信号的装置称为置称为采样保持器采样保持器。2022-5-3162.1 信号的采样与恢复信号的采样与恢复2.1.2

11、 2.1.2 信号的恢复与采样保持器信号的恢复与采样保持器信号的理想恢复需要具备信号的理想恢复需要具备3个条件：个条件：原连续信号的频谱具有有限带宽，即原连续信号的频谱具有有限带宽，即满足采样定理满足采样定理 具有理想的低通滤波器具有理想的低通滤波器max,/ 2()/ 2ssTH j，应用零阶保持器恢复的信号应用零阶保持器恢复的信号 (0)f( )f T(2 )fT(3 )fT零阶保持器将采样零阶保持器将采样信号转变成阶梯信信号转变成阶梯信号，解决各采样点号，解决各采样点之间的插值问题之间的插值问题2022-5-3172.1 信号的采样与恢复信号的采样与恢复2.1.2 2.1.2 信号的恢复

12、与采样保持器信号的恢复与采样保持器 理想的低通滤波器是物理上不可实现的，故工程上通理想的低通滤波器是物理上不可实现的，故工程上通常采用常采用接近理想滤波器特性的零阶保持器接近理想滤波器特性的零阶保持器来代替。零阶保来代替。零阶保持器以前一时刻的采样值为参考基值作外推，来近似原连持器以前一时刻的采样值为参考基值作外推，来近似原连续信号。续信号。ZOHt0110 Tt)(t)(tgh( )(),(1)kftf kTkTtkT2022-5-318时域方程时域方程 脉冲响应脉冲响应 0( )1( ) 1()hgtttT0111( )TsTsheGsesss20sin()12()2TjTjhTeGjTe

13、Tj)(0jHs2s3o1800()Hj0.5s00.637Ts从频率特性看，从频率特性看，零阶保持器具有低通零阶保持器具有低通滤波特性，但不是理想的低通滤波器滤波特性，但不是理想的低通滤波器，它除了允许采样信号的主频分量通过外，它除了允许采样信号的主频分量通过外，还允许部分高频分量通过，不过它的幅还允许部分高频分量通过，不过它的幅值是逐渐衰减的值是逐渐衰减的; ;从相位特性看，从相位特性看，零阶保持器是一个相零阶保持器是一个相位滞后环节位滞后环节，相位滞后的大小与信号频，相位滞后的大小与信号频率率及采样周期及采样周期T T成正比，不利于闭环系成正比，不利于闭环系统的稳定。统的稳定。2022-

14、5-3192.2 Z变换变换 Z Z变换则是处理离散系统分析和设计问题的重变换则是处理离散系统分析和设计问题的重要数学工具要数学工具。Z Z变换和拉氏变换有着密切联系，可变换和拉氏变换有着密切联系，可以认为是从拉氏变换引伸出来的一种变换方法。以认为是从拉氏变换引伸出来的一种变换方法。2.2.1 Z2.2.1 Z变换的定义变换的定义设离散系统的采样信号为：设离散系统的采样信号为：0*)()()(kkTtkTftf对上式进行拉氏变换，即得采样信号的拉氏变换：对上式进行拉氏变换，即得采样信号的拉氏变换：*( )( )( )edstFsL ftftt2022-5-320代入代入 可得：可得：2.2 Z

15、变换变换2.2.1 Z2.2.1 Z变换的定义变换的定义0()()d stkfkTtkTet*0( )()()dstkFsfkTtkTet0()kTskfkT e ()dtkTfttfkT 为便于计算为便于计算，将采样信号，将采样信号 的拉氏变换中包含的超越函数的拉氏变换中包含的超越函数 定义定义为一个新的复变量为一个新的复变量Z Z，即，即 ，则，则 。其中，。其中，T T为采样周期，并为采样周期，并将将 记为记为 ，得到离散函数，得到离散函数 的的Z Z变换：变换：)(*tf*0( )( )()kkF zZftf kT z)(*sFeTsTsze1lnszT)(zF)(*tf 称为离散函数

16、称为离散函数 的的Z Z变换，也叫变换，也叫离散拉氏变换离散拉氏变换或或采样拉氏变换采样拉氏变换。)(zF)(*tf)(*tf2 2、上述求取、上述求取Z Z变换方法称为单边变换方法称为单边Z Z变换（当变换（当 时，时， ），而称），而称 为双边为双边Z Z变换，变换，在控制系统中，通常只研究单边在控制系统中，通常只研究单边Z Z变换变换；2022-5-321需要注意以下几点：需要注意以下几点：1 1、任意项、任意项 具有明确的物理意义：具有明确的物理意义： 表示幅值，表示幅值，Z Z的幂次表的幂次表示该采样脉冲出现的时刻；示该采样脉冲出现的时刻；kzkTf)()(kTf0t 0)(*tf*

17、( )Z(t)()kkF zff kT z3 3、Z Z变换是由采样信号函数决定的，它反应不出非采样时刻的信息变换是由采样信号函数决定的，它反应不出非采样时刻的信息。如果存在两个不同的时间函数如果存在两个不同的时间函数 和和 ， , ,但其采样值完但其采样值完全重复全重复, ,即即 ，则，则 。这说明。这说明Z Z变换变换 与与 或离散函数或离散函数 是一一对应的，但是与是一一对应的，但是与 之间的对应关系不唯一。之间的对应关系不唯一。)(1tf)(2tf12( )( )f tf t)(*)(*21tftf)()(21zFzF)(tf)(* tf)(zF)(kTf2022-5-322 求取离散

18、时间函数求取离散时间函数 的的Z变换有多种方法，这里介绍变换有多种方法，这里介绍常用的三种：常用的三种：级数求和法级数求和法、部分分式展开法部分分式展开法和和留数法留数法。2.2 Z变换变换2.2.2 Z2.2.2 Z变换的求法变换的求法*( )ft(1) 级数求和法级数求和法 按照按照Z Z变换的定义来求解变换的定义来求解 *0022.kftf kTtkTftf TtTfTtTf kTtkT取拉氏变换：取拉氏变换： *202.TsTskTsFsff T efT ef kT e依据依据Z Z变换定义变换定义Tsze可得：可得： *1202.kF zZ Fsff T zfT zf kT z例例2

19、.1 求单位阶跃函数的求单位阶跃函数的Z变换。变换。解：解：( )1( )f tt即即在所有采样时刻上的采样值均为在所有采样时刻上的采样值均为1()10,1,2,.,f kTk *02.kftf kTtkTttTtTtkT对应的离散时间函数：对应的离散时间函数：120( )1kkkF zzzzz 依据依据Z Z变换的定义，可得：变换的定义，可得：11( )11zF zzz如如 ，利用等比级数求和公式，可得：，利用等比级数求和公式，可得：11z2022-5-323(1) 级数求和法级数求和法 按照按照Z Z变换的定义来求解变换的定义来求解例例2.2 求指数函数求指数函数 的的Z变换。变换。解：解

20、： *002()( )()(2 )kakTkaTaTftf kTtkTetkTtetTetT对应的离散时间函数：对应的离散时间函数：12201( )()111kaTaTkaTaTF zf kT zezezzezze 依据依据Z Z变换的定义，可得：变换的定义，可得：2022-5-324(1) 级数求和法级数求和法 按照按照Z Z变换的定义来求解变换的定义来求解( )atf te（b）当设）当设 为为 的的m重极点时，可展开成部分分式形式为：重极点时，可展开成部分分式形式为：的非重极点的非重极点其中其中2022-5-325(2) 部分分式展开法部分分式展开法 分解成简单部分分式之和，通过查分解成

21、简单部分分式之和，通过查Z Z变换变换表求出相应的表求出相应的Z Z变换（变换（Z Z变换表见变换表见2 20 0、2121页）页）（a）当）当 具有非重极点时，可展开成部分分式形式为：具有非重极点时，可展开成部分分式形式为：1( )niiiAF ssp1( )einipTiAzF zzip( )F siAlim () ( )iiispAsp F s为为为常数，为常数，ip( )F s122111( )()()mmBBBF sspspsp11( )()mjjjBF zZsp其中其中11lim ()( )mmspBspF s111lim()( )mmspdBspF sds111111lim()(

22、 )(1)!mmmspdBspF smds( )F s例例2.3 已知函数已知函数 ，求，求 。)()(assasF( )F z解：解：( )F s有两个单极有两个单极 ，则，则10p 2pa 11A 21A 展开部分分式之和有：展开部分分式之和有：assassasF11)()(查查Z变换表变换表111eaTzzszsaz112( )1e(1 e)1 (1e)eaTaTaTaTzzF zzzzzz可得：可得：2022-5-326(2) 部分分式展开法部分分式展开法 分解成简单部分分式之和，通过查分解成简单部分分式之和，通过查Z Z变换变换表求出相应的表求出相应的Z Z变换（变换（Z Z变换表见

23、变换表见2 20 0、2121页）页） ( )( )为全部极点，其中有为全部极点，其中有m个非重极点和个非重极点和n-m个重个重极点，极点， 为重极点的重数。为重极点的重数。如果函数如果函数 为严格的真有理分式，则为严格的真有理分式，则 的的Z Z变换变换 可直接由可直接由( )F s( )F z111111111( ) ( )Res ( )11() ( )11d1()( )(1)!d1iiiiiinpTip pmip ppTirnrip prpTi miF zZ F sF pe zp p F pe zp pF prpe z 下式求得下式求得: :2022-5-327(3) 留数法留数法 针对

24、函数的每个极点求留数针对函数的每个极点求留数( )F sip1,2,inir2022-5-328(3) 留数法留数法 针对函数的每个极点求留数针对函数的每个极点求留数例例2.4 已知函数已知函数 ，求，求 。22( )(s 3)(s 1)sF ss( )F z( )F s有一个有一个2重单极点重单极点 ，两个单极点，两个单极点 。1,21p 2r 解：解：30p 43p 3141342212203( )Re(s )Re(s )Re(s )eee12(1)(2 1)!(s 3)(s 1)e22(3)(s 3)(s 1)e(s 3)(s 1)e2es Ts Ts TsTssTsTsszzzF zs

25、 Fs Fs FzzzdszsdsszszszssszszTz22333214(z e)3112eTTTTzzezzzz 线性定理：线性定理：11221122( )( )( )( )Z a fta fta Fza Fz 位移定理：位移定理：在在t=0()( )kZf tkTzF z10()( )kkkmmZf tkTz F zfmTz 初值定理：初值定理： 0limzfF z 终值定理：终值定理： 111lim1lim 1zzfzF zzF z (1-z-1)F(z)在单位圆上及单位圆外无极点在单位圆上及单位圆外无极点滞后滞后超前超前2022-5-3292.2 Z变换变换2.2.3 Z2.2.

26、3 Z变换的基本定理变换的基本定理1(1) ( )zF z在单位圆上和圆外没有极点在单位圆上和圆外没有极点( )2zF zz111(1) ( )22zzzzF zzzz存在单位圆外极点存在单位圆外极点1111( )lim(1)lim022kzzzzzf kzzzz如果使用终值定理如果使用终值定理：实际上：实际上：( )2kf k ( )kf k是发散的是发散的2022-5-330 复位移定理：复位移定理：( )ataTZf t eFze 复域微分定理：复域微分定理：( )( )dF zZ tf tTzdz 离散卷积定理：离散卷积定理： *Z g kTfkTG z F z 复域积分定理：复域积分

27、定理： 0( )limzkFfkTf tZdtTkT2022-5-3312.2 Z变换变换2.2.3 Z2.2.3 Z变换的基本定理变换的基本定理 已知已知Z Z变换表达式变换表达式 ，求相应离散序列，求相应离散序列 或或 的过程称为的过程称为Z Z反变换，记为：反变换，记为：( )F z()f kT*( )ft1() ( )f kTZF z常用的常用的Z Z反变换方法有反变换方法有长除法长除法、部分分式法部分分式法和和留数计算法留数计算法 2022-5-3322.2 Z变换变换2.2.4 Z2.2.4 Z反变换反变换1( ) ( )ftZF z Z Z反变换结果只反映采样时刻的信息，它与连续

28、信号无反变换结果只反映采样时刻的信息，它与连续信号无一一对应关系一一对应关系，即，即：1 ( )( )ZF zf t *0122.kftftftTftTftkT因此：因此：0,1,2,.kff kTk比较可得：比较可得： 12012.kkF zff zf zf z依据依据Z Z变换定义变换定义 1202.kF zff T zfT zf kT z得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析。2022-5-333(1) 长除法长除法 展开成按照展开成按照z z-1-1升幂排列的幂级数升幂排列的幂级数2.2 Z变换变换2.2.4 Z2.2.4 Z反变换反变换例

29、例2.5 已知已知 ，求反，求反Z变换。变换。解：解：从而得到：从而得到：2022-5-334(1) 长除法长除法 展开成按照展开成按照z z-1-1升幂排列的幂级数升幂排列的幂级数222( )21zzF zzz2121221 2( )211 2zzzF zzzzz121211212123231471 2121 2448474zzzzzzzzzzzzzz12( )147F zzz *( )( )4 ()7 (2 )ftttTtT2022-5-335(2) 部分分式展开法部分分式展开法 展开成部分分式，通过查展开成部分分式，通过查Z Z变换表，求和变换表，求和 设已知设已知Z Z变换函数变换函数

30、 无重极点，且无重极点，且 ，先求出，先求出 的极点的极点 。再将。再将 展开为分式之和：展开为分式之和：)(zFmn)(zF12,.,np pp( )/F zz1( )1,2,3,niiiaF zinzzp1( )1,2,3,niiia zF zinzp然后逐项查表得到然后逐项查表得到最后写出对应的采样函数：最后写出对应的采样函数：11(),0, 1,2,kiiiiia zf kTZa pkinzp*01( )() ()nikiftf kTtkT例例2.6 已知已知 ，求反，求反Z变换变换 。解：解：2022-5-336(2) 部分分式展开法部分分式展开法 展开成部分分式，通过查展开成部分分

31、式，通过查Z Z变换表，求和变换表，求和( )(1)(2)zF zzz()f kT采用部分分式展开，得：采用部分分式展开，得：( )111=z(1)(2)12F zzzzz查查Z Z变换表，变换表，111zZz 122kzZz得到：得到：kkTf21)(即：即：*( )()3 (2 )7 (3 ) 15 (4 )fttTtTtTtT从而有：从而有：( )12zzF zzz应当注意，经反变换得到应当注意，经反变换得到 的只是在采样时刻的只是在采样时刻 与与 在该时刻在该时刻的值相等，而在其他时刻的值可以任意。的值相等，而在其他时刻的值可以任意。)(*tfkT)(tf时域函数时域函数 可以利用可以

32、利用 在在 全部极点上的留数之各求得，全部极点上的留数之各求得，即：即：2022-5-337(3) 留数法留数法 也称反演积分法，也称反演积分法，Z Z变换函数可能是超越函数，无法变换函数可能是超越函数，无法应用部分分式法或长除法求解反变换应用部分分式法或长除法求解反变换。2.2 Z变换变换2.2.4 Z2.2.4 Z反变换反变换)(kTf1( )kF z z( )F z11()Re ( )inkizpf kTs F z z例例2.7 设设Z变换函数变换函数 ，试用留数法求其，试用留数法求其Z反变换。反变换。解：解：函数有两个极点：函数有两个极点：1 1和和0.50.5，先求出，先求出 对这两

33、个极点的留数对这两个极点的留数22( )1.50.5zF zzz2022-5-338(3) 留数法留数法 也称反演积分法也称反演积分法1( )kF z z21111Re lim(1)2(1)(0.5)(1)(0.5)kkzzz zzszzzzz2110.50.5Re lim(0.5)(0.5)(1)(0.5)(1)(0.5)kkkzzz zzszzzzz 从而求得：从而求得：( )2(0.5)kf k 2022-5-3392.3 离散控制系统的数学描述离散控制系统的数学描述 计算机控制系统在本质上属于离散控制系统，计算机控制系统在本质上属于离散控制系统，离散控制系统的性能分析和控制器设计离不开

34、离散控制系统的性能分析和控制器设计离不开系统系统的数学描述（模型）的数学描述（模型）。Z Z变换是离散系统分析和描变换是离散系统分析和描述的有力工具。述的有力工具。2.3.1 2.3.1 差分方程及其求解差分方程及其求解连续系统的动态过程用连续系统的动态过程用微分方程微分方程来描述来描述离散系统的动态过程用离散系统的动态过程用差分方程差分方程来描述来描述工程中的大多数计算机控制系统，可近似认为是工程中的大多数计算机控制系统，可近似认为是线性定常离散系统线性定常离散系统2022-5-340线性定常连续系统通过常系数线性微分方程来描述线性定常连续系统通过常系数线性微分方程来描述线性定常离散系统通过

35、常系数线性差分方程来描述线性定常离散系统通过常系数线性差分方程来描述2.3 离散控制系统的数学描述离散控制系统的数学描述2.3.1 2.3.1 差分方程及其求解差分方程及其求解()( )f kTf k1、差分的定义、差分的定义一阶前向差分的定义为一阶前向差分的定义为n n阶前向差分的定义为阶前向差分的定义为 同理，一阶后向差分的定义为同理，一阶后向差分的定义为 n n阶后向差分的定义为阶后向差分的定义为 ( )(1)( )f kf kf k11( )(1)( )nnnf kf kf k( )( )(1)f kf kf k11( )( )(1)nnnf kf kf k 设单输入单输出计算机控制系

36、统某一时刻输入为设单输入单输出计算机控制系统某一时刻输入为 ，输出，输出为为 ，则，则n n阶线性定常离散系统动态过程的一般形式为：阶线性定常离散系统动态过程的一般形式为：( )u k( )y k11011( )(1)(1)()( )(1)(1)()nnmmy ka y kay kna y knb u kbu kbu kmb u km 22( )/( )/( )( )d c tdtadc tdtbc tkr t(2)(2) (1)(1) ( )( )c kac kab c kkr k222( )/( )(2)2 (1)( )d c tdtc tc kc kc k ( )/(1)( )dc td

37、tc kc k二阶、常系数、线性差分方程二阶、常系数、线性差分方程2022-5-3411、差分的定义、差分的定义后向差分：后向差分：11011()(1)(1)( )()(1)(1)( )nnmmy kna y knay ka y kb u kmbu kmbu kb u k前向差分：前向差分：包括包括Z Z变换法变换法和和递推求解法递推求解法。解：解：2022-5-3422、差分方程的求解、差分方程的求解(1) Z Z变换法变换法 用用Z Z变换求解常系数线性差分方程和用拉氏变换解微分方程很相变换求解常系数线性差分方程和用拉氏变换解微分方程很相似。先利用初始条件，将差分方程转换成为变量似。先利用

38、初始条件，将差分方程转换成为变量Z Z的代数方程，再求的代数方程，再求出出Z Z反变换反变换。例例2.8 已知连续系统微分方程为已知连续系统微分方程为 ，输，输入入 ，初始条件为，初始条件为 ，试用前向差分方，试用前向差分方法进行离散化，并对所得差分方程进行求解法进行离散化，并对所得差分方程进行求解 。6 ( )7 ( )2( )e te ter t( )1( )r tt(0)(1)0ee(1 )Ts用各阶前向差分方程代替原方程中的各阶导数用各阶前向差分方程代替原方程中的各阶导数，得：，得：26( )7( )2 ( )1( )e ke ke kk 根据前向差分定义根据前向差分定义，得：，得：6

39、 (2) 12 (1)6 ( )7 (1)( )2 ( )1( )e ke ke ke ke ke kk解：解：2022-5-343例例2.8 已知连续系统微分方程为已知连续系统微分方程为 ，输，输入入 ，初始条件为，初始条件为 ，试用前向差分方，试用前向差分方法进行离散化，并对所得差分方程进行求解法进行离散化，并对所得差分方程进行求解 。6 ( )7 ( )2( )e te ter t( )1( )r tt(0)(1)0ee(1 )Ts对以上差分方程两边分别进行对以上差分方程两边分别进行Z Z变换变换离散化后，得：离散化后，得：6 (2)5 (1)( )1( )( )0(0)e ke ke

40、kke kk216 ( )(0)(1)5 ( )(0)( )1( )1zzE zez ez E zeE zzz代入初始条件代入初始条件(0)(1)0ee( )116()()(1)32zE zzzz对其进行对其进行Z Z反变换得到反变换得到11111 1( )222 3kke k*110111 1( )() ()222 3kkke ttkT解：解：2022-5-344(2) 递推求解递推求解法法例例2.8 已知连续系统微分方程为已知连续系统微分方程为 ，输，输入入 ，初始条件为，初始条件为 ，试用前向差分方，试用前向差分方法进行离散化，并对所得差分方程进行求解法进行离散化，并对所得差分方程进行求

41、解 。6 ( )7 ( )2( )e te ter t( )1( )r tt(0)(1)0ee(1 )Ts用各阶前向差分方程代替原方程中的各阶导数用各阶前向差分方程代替原方程中的各阶导数，得：，得：26( )7( )2 ( )1( )e ke ke kk 根据前向差分定义根据前向差分定义，得：，得：6 (2) 12 (1)6 ( )7 (1)( )2 ( )1( )e ke ke ke ke ke kk511(2)(1)( )1( ),( )0(0)666e ke ke kke kk6 (2)5 (1)( )1( )e ke ke kk通过迭代可得：通过迭代可得：11(1)5 (0)( 1)1

42、( 1)0(2)5 (1)(0)1(0)1/666eeeeee1(3)5 (2)1 (1)1(1)11/36.6eee2022-5-345线性连续系统线性连续系统用传递函数来研究系统性能用传递函数来研究系统性能线性离散系统线性离散系统用脉冲传递函数来研究系统性能用脉冲传递函数来研究系统性能2.3 离散控制系统的数学描述离散控制系统的数学描述2.3.2 2.3.2 脉冲传递函数脉冲传递函数1、脉冲传递函数的定义、脉冲传递函数的定义 在零初始条件下，离散控制系统在零初始条件下，离散控制系统输出序列的输出序列的Z Z变换与输入序列变换与输入序列Z Z变变换之比换之比称为离散系统的脉冲传递函数称为离散

43、系统的脉冲传递函数。脉冲传递函数。脉冲传递函数只决定于系统本只决定于系统本身的结构参数，与输入信号无关身的结构参数，与输入信号无关。 ( )( )Y zG zU z*11( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )Y zG z U zy tZY zZG z U z2022-5-3461、脉冲传递函数的定义、脉冲传递函数的定义 离散系统既可以采用差分方程描述，也可以采用离散系统既可以采用差分方程描述，也可以采用Z Z传递函数描述，传递函数描述，两者之间可以互相转换两者之间可以互相转换。系统差分方程：系统差分方程：11011( )(1)(1)()( )(1)(1)()nnmmy ka y k

44、ay kna y knb u kbu kbu kmb u km 10111( )( )1mmnnbb zb zY zG zU za za z零初始条件下零初始条件下系统脉冲传递函数：系统脉冲传递函数：系统特性多项式系统特性多项式2022-5-3471、脉冲传递函数的定义、脉冲传递函数的定义已知采样系统的连续传递函数已知采样系统的连续传递函数G(s)G(s)，其脉冲传递函数计算步骤：，其脉冲传递函数计算步骤：对对G(s)G(s)进行拉氏反变换，求得脉冲响应：进行拉氏反变换，求得脉冲响应：对对g(t)g(t)采样，求得离散系统脉冲响应：采样，求得离散系统脉冲响应：对脉冲响应对脉冲响应g g* *(

45、t)(t)做做Z Z变换，求得变换，求得Z Z传递函数：传递函数： 1( )g tLG s 0*()kgtg kTtkT 0kkG zg kT z离散化后离散化后G(z)G(z)的极点是的极点是G(s)G(s)的极点按的极点按z z=e=esTsT的关系一一对应过来的的关系一一对应过来的；G(z)G(z)的零点的零点的的位置与采样周期有关位置与采样周期有关，一般多于一般多于G(s)G(s)的零点个数，没的零点个数，没有有极点那种极点那种对应关系对应关系；2022-5-3482.3 离散控制系统的数学描述离散控制系统的数学描述2.3.2 2.3.2 脉冲传递函数脉冲传递函数2、系统框图的脉冲传递

46、函数、系统框图的脉冲传递函数 计算机控制系统中，既有被控对象那样的计算机控制系统中，既有被控对象那样的连续环节连续环节，又有计算机这样的又有计算机这样的离散环节离散环节，而且，而且采样开关位置因系统而采样开关位置因系统而异异，因此，各环节脉冲传递函数的求法比连续系统要复杂。，因此，各环节脉冲传递函数的求法比连续系统要复杂。分析连续系统传递函数框图的方法不能直接一一照搬到离分析连续系统传递函数框图的方法不能直接一一照搬到离散控制系统散控制系统，还需要考虑到离散系统的特殊性。，还需要考虑到离散系统的特殊性。2022-5-3492、系统框图的脉冲传递函数、系统框图的脉冲传递函数(1)、开环系统脉冲传

47、递函数、开环系统脉冲传递函数1( )G s2( )G s1( )u t1*( )ut( )u t*( )ut1( )G z2( )G z1( )G s2( )G s1( )u t( )u t*( )ut( )G z1( )U z(a)(b)( )y t*( )yt( )y t*( )yt)()()()()(21zGzGzUzYzG两个环节间有采样开关：两个环节间有采样开关：串联环节串联环节 两个环节间无采样开关：两个环节间无采样开关：12( )( )( )( )nG zG z G zGz)()()()()()(2121zGGsGsGZzUzYzG)()()()()(2121zGGGsGsGsG

48、ZzGnn通常情况下：通常情况下： 1212( )( )( )G z G zGG z2022-5-3502、系统框图的脉冲传递函数、系统框图的脉冲传递函数(1)、开环系统脉冲传递函数、开环系统脉冲传递函数有采样开关：有采样开关：无采样开关：无采样开关：111(s),(s)1GGss21211(z)( )( )1(z 1)(z e)TzGG z GzZZss 121(1e)(z)( )(s 1)(z 1)(z e)TTzGGGzZs 两种情况的极点相同，但零点不同。两种情况的极点相同，但零点不同。根据环节之间有无采样开关，连续根据环节之间有无采样开关，连续元件前后有无采样开关，正确写出系统的脉冲

49、传递函数，对于研究系统的性元件前后有无采样开关，正确写出系统的脉冲传递函数，对于研究系统的性能是非常重要的能是非常重要的。2022-5-3512、系统框图的脉冲传递函数、系统框图的脉冲传递函数(1)、开环系统脉冲传递函数、开环系统脉冲传递函数并联环节并联环节 )()()()()(21zGzGzUzYzG001( )( )( )( )sTheG sC s G sG ss10000( )( )( )1( ) ( )( )(1)sTsTG seG sG seG zZ G sZG sZZzZssss带零阶保持器带零阶保持器 2022-5-3522、系统框图的脉冲传递函数、系统框图的脉冲传递函数(2)、

50、闭环系统脉冲传递函数、闭环系统脉冲传递函数典型计算机控制系统典型计算机控制系统 在求离散系统闭环脉冲传递函数时，首先应根据系统结构列出各变量之在求离散系统闭环脉冲传递函数时，首先应根据系统结构列出各变量之间的关系，然后消去中间变量，得到输出量间的关系，然后消去中间变量，得到输出量Z Z变换和输入量变换和输入量Z Z变换之间的关系。变换之间的关系。 考虑典型计算机控制系统，其等效传递函数如图所示，考虑典型计算机控制系统，其等效传递函数如图所示，反馈通道中连续反馈通道中连续环节环节H H(s)(s)为测量变送装置的传递函数。为测量变送装置的传递函数。D D(s)(s)为控制器，其输入为为控制器，其

51、输入为E E* *(s)(s)，输，输出为出为U U* *(s)(s)。则：则：( )r t( )Y s1Tses0( )G s( )H s( )D sTTT( )e t*( )E s( )U s*( )Us*( )Ys( )G s( )R s( )E s*( )e t*( )u t2022-5-353*( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )( )1( )( )Y sG s D s E sE sR sH s G s

52、D s E sE sR sHG s D s E sR sE sHG s D sG s D sYsR sHG s D sG z D zY zR zHG z D zY zG z D zW zR zHG z D z输出信号：输出信号： 偏差信号：偏差信号： 采样后的偏差信号：采样后的偏差信号： 采样后的输出信号：采样后的输出信号： 输出信号的输出信号的Z Z变换：变换： 闭环系统传递函数：闭环系统传递函数： ( )( ) ( )HG zZ H s G s*( )( )Tsz eD zD s01( )( )TseG zZG ss数字控制器数字控制器传递函数传递函数广义对象广义对象传递函数传递函数202

53、2-5-354(2)、闭环系统脉冲传递函数、闭环系统脉冲传递函数部分离散控制系统输出及脉冲传递函数部分离散控制系统输出及脉冲传递函数（见书（见书P36P36表表2.22.2）YGHUYYYUUUGG1G2GHHH(z)(z)(z)1(z)(z)YGUGH(z)(z)1(z)UGYGH(z)(z)(z)1(z)YGUGH2112( )( )( )1( )G z GU zY zGG H z2022-5-355(2)、闭环系统脉冲传递函数、闭环系统脉冲传递函数部分离散控制系统输出及脉冲传递函数部分离散控制系统输出及脉冲传递函数（见书（见书P36P36表表2.22.2）Y1GHUYYYUUUG1G1G

54、2GHHH1212(z)(z)(z)(z)1(z)(z)GGYUGG H(z)(z)(z)1(z)(z)YGUGH231213( )( )( )( )1( )( )G z G z GU zY zG z GG H z2121( )( )( )1( )( )G z GU zY zG z G H z2G2G3G2022-5-3562.4 离散控制系统离散控制系统稳定性分析稳定性分析 稳定性稳定性是控制系统的最基本要求，是保证系统是控制系统的最基本要求，是保证系统能正常工作的首要条件。在连续系统中，通常在能正常工作的首要条件。在连续系统中，通常在S域就可以判断系统稳定性。同理，域就可以判断系统稳定性。

55、同理，在离散系统中，在离散系统中，可以在可以在Z域对系统稳定性进行研究域对系统稳定性进行研究。为了研究计算。为了研究计算机控制系统的稳定性，首先需要分析机控制系统的稳定性，首先需要分析S平面与平面与Z平面平面的关系。的关系。j0ImjRe0SZ-1j-j1S平面与平面与Z平面的映射关系可由平面的映射关系可由 来确定，设来确定，设 ，则：，则：TszesjTsTjTTzeeezezT 2022-5-3572.4 离散控制系统离散控制系统稳定性分析稳定性分析2.4.1 2.4.1 S平面到平面到Z平面的变换平面的变换S平面与平面与Z平面的映射关系平面的映射关系2.4.1 2.4.1 S平面到平面到

56、Z平面的变换平面的变换当当=0，即，即s平面的虚轴，对应平面的虚轴，对应z平面的单位圆平面的单位圆当当0，即，即s右半平面对应右半平面对应z平面的单位圆外平面的单位圆外j0ImjRe0SZ-1j-j1s平面角频率平面角频率 与与z平面相角平面相角 关系关系2sT2022-5-3582.4 离散控制系统离散控制系统稳定性分析稳定性分析 在在Z平面上，当平面上，当 为某个定值时，为某个定值时， 随随 由由 变到变到 的轨迹是一个圆，的轨迹是一个圆，圆心位于原点，半径为圆心位于原点，半径为 ，圆心角随，圆心角随 线性增大。线性增大。TszeTeS S平面上的主带和旁带平面上的主带和旁带2022-5-

57、359频率混叠现象频率混叠现象 每个频带映射每个频带映射到到Z平面与之对应平面与之对应的是整个的是整个Z平面，平面，其中位于其中位于S平面虚平面虚轴左边部分都与轴左边部分都与Z平面单位圆内部区平面单位圆内部区域对应；在虚轴左域对应；在虚轴左边部分都与边部分都与Z平面平面单位圆外部区域对单位圆外部区域对应，每个频区内的应，每个频区内的一段虚轴都与一段虚轴都与Z平平面单位圆周相对应。面单位圆周相对应。2022-5-3602.4 离散控制系统离散控制系统稳定性分析稳定性分析2.4.2 2.4.2 离散控制系统的稳定性条件离散控制系统的稳定性条件连续系统稳定的充要条件连续系统稳定的充要条件： 系统极点

58、在系统极点在S平面内具有负实部，即极点都要分布于平面内具有负实部，即极点都要分布于S平面的左平面的左半部，如果有极点出现在半部，如果有极点出现在S平面右半部，则系统不稳定。所以平面右半部，则系统不稳定。所以S平面平面的虚轴是连续系统稳定与不稳定的分界线。的虚轴是连续系统稳定与不稳定的分界线。线性定常离散系统稳定的充要条件线性定常离散系统稳定的充要条件： 极点满足极点满足 ，即系统所有闭环极点均应分布于，即系统所有闭环极点均应分布于Z平面的单位平面的单位圆内。只要有极点在单位圆外，系统就不稳定；当极点位于单位圆上圆内。只要有极点在单位圆外，系统就不稳定；当极点位于单位圆上时，系统处于临界稳定状态

59、，临界稳定在工程上也认为是不稳定。时，系统处于临界稳定状态，临界稳定在工程上也认为是不稳定。1iz 2022-5-3612.4 离散控制系统离散控制系统稳定性分析稳定性分析2.4.2 2.4.2 离散控制系统的稳定性条件离散控制系统的稳定性条件已知离散系统的脉冲传递函数为：已知离散系统的脉冲传递函数为：10111011( )( )( )mmmmnnnnb zb zbzbC zzR za za zaza101110111212( )( ) ( )mmmmnnnnnnb zb zbzbC zz R za za zazaA zAzA zzpzpzp 11221( )nkkkknniiiC kA pA

60、 pA pA p1lim( )lim0nkiikkiC kA p假设该脉冲传递函数具有假设该脉冲传递函数具有n个相异的实数极点个相异的实数极点 ，则，则系统系统输出输出：,1,2,3,ipi 进行进行Z反变换得反变换得：如果所有极点位于单位圆内，即如果所有极点位于单位圆内，即 ，则，则：| 11, 2,ipin系统渐近稳定系统渐近稳定。上述结论对有重根的情况也成立上述结论对有重根的情况也成立。2022-5-3622.4.2 2.4.2 离散控制系统的稳定性条件离散控制系统的稳定性条件j0ImjRe0SZ-1j-j1稳定域不稳定域稳定域稳定边界S平面平面Z平面平面稳定性讨论稳定性讨论= 0，虚轴