一元二次知识点和易错点总结

1、次 方 程 知 识 点 总 结知识结构梳理(1)含有 个未知数。(2)未知数的最高次数是1、概念(3)是 方程。(4) 一元二次方程的一般形式是 。(1) 法，适用于能化为x m)2 n n 0 的一元。二次方程(2) 法，即把方程变形为ab=0的形式，2、解法(a, b为两个因式),贝Ua=0或(3) 法(4) 法，其中求根公式是当时，方程有两个不相等的实数根。(5)J当时，方程有两个相等的实数根。当 时，方程有没有的实数根。可用于解某些求值题j (1) 珀勺应用(2) I (3) k可用于解决实际问题的步4(4) (5) (6) 知识点归类I建立一元二次方程模型知识点一 一元二次方程的定义

2、如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程。它只含有一个未知数。未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例 下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？2一23； x 6x 0 ; (3) Jx x 5 ; (4) x 0; (5) 2x(x 3) 2x 1x 5知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax2 bx c 0 (a, b, c是已知数，a 0)。其中a, b, c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意：(1)二次项、二次项系数

3、、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把 它先化为一般形式。(3)形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程，当且仅当a 0时是一元二次方 程。例1将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。27.一 一一，一一一一 2(1) 5X2_x；(2)x 2x 38;(3)3x4 x 3x 222 c例2已知关于x的方程m 1 x m 1 x 2 0是一元二次方程时，则m 知识点三一元二次方程的解2使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解， 如：当x 2时，x 3x 20所以x 2是x2

4、 3x 20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知识点四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。注意：(1)审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；(2)设未知数要带单位；(3) 建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。例 如图(1),有一个面积为150 1tf的长方形鸡场鸡场一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成，若竹篱笆的长为35m,求鸡场的长和宽各为多少？鸡场(只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。)| 因式分解法、直接开平方法知识点一因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于 0,即若pq

5、=0时，则p=0或 q=0o用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边化为0; (2)将方程左边 分解成两个一次因式的乘积。(3)令每个因式分别为 0,得两个一元一次方程。(4)解这 两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：(1)要将方程右边化为0; (2)熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有： 提公式法，公式法(平方差公式，完全平方公式)等。例 用因式分解法解下列方程：(1) 5x2 4x ；(2) (2x2 3) 25 0；(3) x2 6x 9 5 2x 2。知识点二直接开平方法解一元二次方程若x2 a a 0 ,则x叫做a的平方根，表示为x 右,这种解一元二

6、次方程的方法叫做直接开平方法。(1) x2 a a 0 的解是 x JT ； (2) x m 2 n n 0 的解是 x Jn m ；(3) mx n 2 c m 0,且 c 0 的解是 x n。m例用直接开平方法解下列一元二次方程222(1) 9x 16 0 ；(2) x 516 0 ；(3) x 5 3x 1知识点三灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程2形如ax b k 0 k 0的万程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平万法解。例运用因式分解法和直接开平方法解下列次方程。(1) 4 x 5 2360 ;2(2) 1 2x 30知识点四用提公因式法解次方程把方程左边的多项式（方

7、程右边为 0时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时,则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。如：0.01t2 2t 0 ,将原方程变形为t 0.01t 20 ,由此可得t0或 0.0t 20,即 ti0,t2200注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可 能丢失原方程的根。”的方程的解法。知识点五 形如“ x2 a b x b 0 a,b为常数对于形如“x2 a b x b 0 a,b为常数”的方程（或通过整理符合其形式的）可将左边分解因式，方程变形为x a xx1a, x2b o注意：应用这种方法解一元二次

8、方程时，要熟悉“0 a,b为常数型方程的特征。例解下列方程：（1） x2 5x 60 ;(2)12配方法知识点一配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方,再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直 接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解次方程x2 px q 0 ,当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。 例用配方法解下列方程：(1) x2 6x 50 ；(2) x27 x 202知识点用配方法解二次项系数为1的次方程用配方法解二次项系数为1的次

9、方程的步骤:(D(2)在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数;把原方程变为x m 2 n的形式。(3)若n 0,用直接开平方法求出x的值，若n<0,原方程无解。例解下列方程：x2 4x 30知识点三用配方法解二次项系数不是1的次方程当一元二次方程的形式为ax2 bx c 0 a 0,a 1时，用配方法解一元二次方程的步骤：(1)先把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2)移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为x m 2 n的形式；(3)若n 0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 例用配方法解下列方程：(1)

10、3x2 9x 2 0 ；(2)x2 4x 3 0公式法2 一b % b 4ac2 a JI知识点一 一元二次方程的求根公式一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的求根公式是：x用求根公式法解一元二次方程的步骤是:(1)把方程化为ax2 bx c 0 a 0的形式，确定的值a,b.c (注意符号)；(2)求出b2 4ac的值；(3)若b2 4ac 0,则a,b.把及b2 4ac的值代人求根公式x b *b2 4aC ,求出x,x2。2a例用公式法解下列方程(1) 2x2 3x 1 0 ；(2) 2x x V2 1 0 ；(3) x2 x 250知识点二选择适合的方法解一元二次方程|直接开平方法

11、用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知 数的平方式的方程因式分解要求方程右边必须是0,左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法 或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配 方法，因为配方法解题比较麻烦。例 用适当的方法解下列一元二次方程：,八一_2_2,、2 一一一，、一一(1) 2x39 2x3 ; (2)x 8x60 ； (3)x 2 (x1)0知识点三一元二次方程根的判别式一元二次方程ax2 bx c 0 a 0根的判别式 =b2

12、 4ac运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况:(1) A = b2 4ac >0 方程有两个不相等的实数根；(2) A = b2 4ac=0 方程有两个相等的实数根；(3) A = b2 4ac<0 方程没有实数根；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把所有一元二次方程化为一般形式；确定a,b.c的值；计算b(3) (x1 a)(x2 a) x1 x2 axi x2 a ;(4)|xx2I="x1x22= v' x1x2 24x1x2例 已知方程2x2 5x 3 0的两根为?2,不解方程，求下列各式的值。 222 4ac的值；根据b

13、2 4ac的符号判定方程根的情况。例不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：(1) 2x2 3x 50; (2) 9x230 x 25; (3) x2 6x 100知识点四根的判别式的逆用在方程ax2 bx c 0 a 。中，(1)方程有两个不相等的实数根b2 4ac >0(2)方程有两个相等的实数根b2 4ac=0(3)方程没有实数根b2 4ac < 0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不 为0这一条件。例 m为何值时，方程2m 1x2 4mx 2m 3 0的根满足下列情况：(1)有两个不相等的实数；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实

14、数根；知识点五一元二次方程的根与系数的关系若x1，x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两个根，则有x1 x2 , x1x2 aa根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：22211% 乂2(1) x1x2x1 x22x1x2(2) - x x2x x2增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：(1)若基数为a,增长率x为，则一 次增长后的值为al x ,两次增长后的值为al x2； (2)若基数为a,降低率x为,则一次降低后的值为al x ,两次降低后的值为a 1 x 20例某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为x ,列 出关于x的方

15、程为知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：(1)每件利润=销售价-成本价；(2)利润率=(销售价一进货价)+进货价X 100%;(3)销售额=售价x销售量例 某商店如果将进货价为8元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。(1)要使每天获得700元，请你帮忙确定售价。(2)当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。易错知识辨析：(1)判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行

16、判断，注意一元二次方程一般形式中 a 0.(2)用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.(3)用配方法时二次项系数要化1.(4)用直接开平方的方法时要记得取正、负.一元二次方程测试题一、选择题1、若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0有一个根为0,则m的值等于()A、1B、2C、1 或2D、02、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x,则可列方程为()22A. 45 2x 50 B. 45(1 x) 50 C. 50(1 x) 45 D, 45(1 2x) 503、已知a,

17、 b是关于x的一元二次方程x2 nx 1_222A. n 2 B. n 2 C. n 24、已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程况是()A.没有实数根C有两个相等的实数根0的两实数根，则式子上 总的值是()a b2D. n2 2(a + b)x 2 + 2cx + (a + b) =0 的根的情B.可能有且只有一个实数根D.有两个不相等的实数根5、已知m, n是方程x22x 1 0的两根，且(7m2 14m a)(3n2 6n 7) 8,贝U a 的值等A. 5B.5C.-9D.96、已知方程bx a0有一个根是a(a0）,则下列代数式的值包为常数的是（A.abB.C. a7、x22x0的

18、一较小根为Xi,下面对Xi的估计正确的是 （A.Xi1 B.1x10C. 0 x11 D. 1x128、关于x的次方程x2mx 2m1 0的两个实数根分别是x1、x2，且x2 x2 7 ,则（xi x2 ）2的值是（A. 1B.12C. 13D. 259、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念, 全班共送了 2450张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）A、x(x 1) 2450 B、x(x1) 2450 C、2x(x 1) 2450 D、Xx) 245010、若关于x的次方程k-212c1 x x k0的一个根为1,则k的值为（）A. -1B

19、. 0C. 1D.。或 111、设 a, b 是方程 x2 x 20090的两个实数根，则a2 2ab的值为（A. 2006B. 2007C. 2008D. 200912、对于次方程 ax2+bx+c=O（aw 0）,下列说法:若a+c=0,方程ax2+bx+c=O必有实数根；若b2+4ac<0,则方程ax2+bx+c=O一定有实数根；若a-b+c=0,则方程ax2+bx+c=O一定有两个不等实数根；若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根.其中正确的是（）A . B . C . D .二、填空题1、若一元二次方程x2(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b,则a+b=2、设x1、x2是一元二次方程 x2+4x 3=0的两个根，2x1(x22+5x23)+a =2，贝U a=3、方程(x-1) (x + 2 ) = 2 (x + 2 )的根是.24、已知关于x的一元二次方程" bx 1 0(a 0)有两个相等的实数根，求ab3x2 6x/ 2 C 21_ 2A(a 2)b4的值为.5、在等腰4ABC中，三边分别为a、b、c ,其中a 5,若关于x的方程2x b 2 x 6 b 0有两个相等的实数根，则4 ABC的周长为.22,6、已知关于x的一兀二次万程x 6x k 0 ( k为常数).设x1 , x2为方程的两个实