系统对任意激励的响应卷积积分学习教案

1、会计学1第一页，共38页。38系统对任意激励的响应卷积积分 37节讨论(toln)了周期激励作用下系统的响应。在不考虑初始阶段的瞬态振动时，它是稳态的周期振动。但在许多实际问题中，激励并非是周期函数，而是任意的时间函数，或者是在极短时间间隔内的冲击作用。例如，列车在启动时各车厢挂钩之间的冲击力；火炮在发射时作用于支承结构的反作用力；地震波以及强烈爆炸形成的冲击波对房屋建筑的作用；精密仪表在运输过程中包装箱速度(大小与方向)的突变等。第1页/共37页第二页，共38页。在这种激励情况下，系统通常没有稳态振动，而只有(zhyu)瞬态振动。在激励停止作用后，振动系统将按固有频率进行自由振动。但只要激励

2、持续，即使存在阻尼，由激励产生的响应也将会无限地持续下去。系统在任意激励作用下的振动状态，包括激励作用停止后的自由振动，称为任意激励的响应，周期激励是任意激励的一种特例。第2页/共37页第三页，共38页。 有多种方法可以确定系统对任意激励的响应，这取决于描述激励函数的方式。一种方法是用傅里叶积分来表示激励，它是由傅里叶级数通过令周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。所以，实质上激励不再是周期的。另一种方法是将激励视为持续时间非常短的脉冲的叠加，引用卷积积分的方法，对具有任何非齐次项的微分方程，都用统一的数学(shxu)形式把解表示出来，而且所得到的解除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振动。第

3、3页/共37页第四页，共38页。 1脉冲响应 一单位脉冲输入，具有零初始条件的系统响应，称为(chn wi)系统的脉冲响应。 宽度T0、高度lT0的矩形脉冲，如图所示。这个矩形脉冲的面积为1，为了得到单位脉冲，使脉冲宽度T0接近于零，而保持面积为1，在极限情况下，单位脉冲的数学定义为第4页/共37页第五页，共38页。这个脉冲发生在t=O处，如图所示。如果单位(dnwi)脉冲发生在t=a处，则它可由下式定义注意(zh y)，(t-a)是一个沿着时间轴正向移动了a时间的单位脉冲。第5页/共37页第六页，共38页。 具有上述特性的任何函数(并不一定是矩形脉冲)，都可用来作为一个脉冲，称为函数。数学上

4、，单位脉冲必须具有零脉冲宽度、单位面积和无限的高度。这样的脉冲模型不可能在现实应用中实现，然而在具体系统的脉冲试验中，若激励的持续时间同系统的固有周期(T=1f)相比非常的短，则激励就可以(ky)考虑为一个脉冲。函数的单位为s-1，在其他方面的情况，函数将有不同的量纲。第6页/共37页第七页，共38页。 如果在t=0与t=a处分别作用有瞬时冲量 ，则对应的脉冲力可方便地写成式中 的单位为Ns。 现在来研究单自由度阻尼系统对脉冲力 的响应，系统振动微分方程为假定系统在脉冲力 作用之前处于静止，即第7页/共37页第八页，共38页。由于 作用在t=0处，对于t0+，系统不再受脉冲力的作用，但其影响依

5、然存在。另外，系统对于零初始条件的响应，将变成t=O+时的初始条件引起的自由振动。为了(wi le)找出t=0+时的初始条件，对方程在区间(q jin)0-tO+上积分两次，有因为(yn wi)第8页/共37页第九页，共38页。则方程(fngchng)的右端积分两次为无限小量，可以略去不计。又因为位移(wiy)x为有限值，所以方程左端第二项和第三项的积分值是无限小量或高一阶的无限小量，同样近似取为零。考虑到x(O-)=0，则有也就是说，在脉冲力 作用的极短时间内，质量m还来不及发生位移。第9页/共37页第十页，共38页。在区间(q jin)0-tO+上积分一次，有现在(xinzi)，只对方程

6、同理，上面方程的右端为 ，左端的第二项为零，而第三项可以忽略不计，得 可见，若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力使速度产生瞬时变化，则可以认为在t=0时作用的脉冲力等效于初始位移x(0)=0和初始速度 的初始干扰作用，第10页/共37页第十一页，共38页。所以(suy)方程等价于初始条件引起(ynq)的自由振动，即其解为令 ，则系统受单位脉冲力F(t)=(t)作用，其响应称为脉冲响应，即第11页/共37页第十二页，共38页。第12页/共37页第十三页，共38页。2卷积积分 利用脉冲响应，可以计算振动系统对任意激励函数F(t)的响应，把F(t)视为一系列幅值不等的脉冲，用脉冲序列近似地代替激励F(

7、t)，如图所示，脉冲的强度由脉冲的面积确定(qudng)，在任意时刻t=处，相应的时间增量为，有一个大小为F()的脉冲，相应的力的数学表达为F()(t-)。因为在t=处对脉冲的响应为h(t-)，所以脉冲F()(t-)的响应为其单位脉冲响应和脉冲强度的乘积，即F()h(t-)。通过叠加，求出序列中每一脉冲引起的响应的总和为第13页/共37页第十四页，共38页。第14页/共37页第十五页，共38页。令0，并取极限(jxin)，上式表示为积分形式上式称为卷积积分，又称为杜哈梅(Duhamel)积分，它将响应(xingyng)表示成脉冲响应(xingyng)的叠加。这里h(t-)是将方程中h（t）的t

8、用t-代替后得到的。因而，将方程中h（t）的t换成t-后代入上面方程，得到第15页/共37页第十六页，共38页。上式表示单自由度有阻尼的质量弹簧系统对任意激励F(t)的响应。要注意的是，上面方程是在零初始(ch sh)条件下，对于输入F(t)得到的系统输出x(t)。若在t=0时，任意激励F(t)作用的瞬时，系统的初始(ch sh)位移和初始(ch sh)速度为则系统(xtng)的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加，即第16页/共37页第十七页，共38页。积分式中的脉冲响应被推迟或移动了时间(shjin)t-，也可以移动激励函数F(t)来代替脉冲响应的移动而导出一个相似的式子。令t-=u则-

9、dr=du，此外考虑式中的积分限界，当=0时，u=t，当=t时，u=0，将其代入式中，得到式上式为卷积积分的另一种表达形式。式中的和式中的u只是积分变量，可见卷积积分对于激励(jl)F(t)和脉冲响应h(t)是对称的，即第17页/共37页第十八页，共38页。 卷积积分在线性系统研究中是一个有力的工具(gngj)。虽然式不便于笔算，但是(dnsh)用计算机可以容易地进行计算。第18页/共37页第十九页，共38页。例38-1设一单自由度无阻尼系统受到的简谐激励(jl)如下：试用卷积积分(jfn)计算其响应。解：在方程(fngchng)中，令=0，d=n，则第19页/共37页第二十页，共38页。为当

10、tO时没有激励，所以其响应(xingyng)应该写成下面的形式上式右端第一项代表强迫振动，它是按激励频率进行的稳态运动，即使振动系统有阻尼也并不衰减；第二项是按固有频率n进行的自由振动，只要振动有极微小的阻尼就会迅速衰减，所以是瞬态振动。应用卷积积分(jfn)，则稳态振动与瞬态振动可同时得出。第20页/共37页第二十一页，共38页。例3.82 试确定单自由度无阻尼系统(xtng)在零初始条件下对图中激励函数的响应。 解：由图可得激励函数为 由方程(fngchng) 得到(d do)第21页/共37页第二十二页，共38页。第22页/共37页第二十三页，共38页。例3.83 如图所示为一质量弹簧系

11、统，箱子由高h处静止自由下落，当箱子触到地面时，试求传递到质量m上的最大力是多少?假定(jidng)质量m和箱子之间有足够的间隙，不会碰撞。 解：设x与y分别代表质量m与箱子的绝对位移，在自由下落(xilu)过程中，质量m的运动微分方程为以z=x-y代表质量m相对于箱子(xing zi)的相对位移，有第23页/共37页第二十四页，共38页。式中 假定箱子的质量远大于质量m，因而可以认为质量m的运动不影响箱子的自由(zyu)下落。由于箱子是由高h处自由(zyu)下落，故有由卷积积分(jfn)有第24页/共37页第二十五页，共38页。因而(yn r)这就是(jish)在箱子着地前质量m相对于箱子的

12、位移与速度。设箱子(xing zi)着地的瞬时为t1，由自由落体知就在瞬时t1之前，质量m的相对位移和相对速度为第25页/共37页第二十六页，共38页。同时箱子(xing zi)的速度为由于箱子着地后即静止在地面(dmin)上，不回跳。在箱子着地的瞬间，质量m相对箱子的位移与速度分别为第26页/共37页第二十七页，共38页。改取瞬时t1为初始瞬时，则箱子(xing zi)着地后质量m相对箱子(xing zi)作自由振动，其相对运动方程为式中第27页/共37页第二十八页，共38页。通过弹簧传递到质量(zhling)m上的最大力等于kA，即3单位阶跃响应 作为卷积积分的一种应用(yngyng)，现

13、在来计算单自由度阻尼系统对单位阶跃函数的响应。如图所示的单位阶跃函数在数学(shxu)上可以定义为第28页/共37页第二十九页，共38页。显然，函数在t=a处有一突变，其值从O跳到1。如果突变发生于t=0处，那么这一函数可以简单地写成u(t)。单位(dnwi)阶跃函数是无量纲的函数。于是当一个任意函数F(t)与单位(dnwi)阶跃函数u(t-a)相乘时，F(t)u(t-a)相对于ta的部分则不受影响，即 单位阶跃函数(hnsh)u(t-a)与脉冲函数(hnsh)(t-a)之间存在着密切的关系，即第29页/共37页第三十页，共38页。反过来，则(t-a)可以(ky)视为u(t-a)对时间的导数，

14、即当初始条件为零时(ln sh)，系统对在t=0处所作用的单位阶跃函数u(t)的响应，称为系统的单位阶跃响应，用g(t)表示。将F()=u()代入卷积积分(jfn)，可得单位阶跃响应考虑到第30页/共37页第三十一页，共38页。因而积分可以(ky)改写成令t-=a，d=-da，并互换积分(jfn)的限界后，积分(jfn)成为作一些(yxi)代数运算后，并注意到方程简化为第31页/共37页第三十二页，共38页。式中单位阶跃函数u(t)表明t0时g(t)=0。g(t)对t的曲线如图所示。上式也可以(ky)变换为式中第32页/共37页第三十三页，共38页。这说明突加单位力不仅使弹簧产生静变形1/k，

15、同时使系统发生振幅为的 衰减运动。若忽略阻尼不计，即=0，d=n，则单位阶跃响应为第33页/共37页第三十四页，共38页。可见(kjin)弹簧最大变形为2/k，等于静变形的两倍。例3.84 试用单位阶跃函数的概念计算(j sun)单自由度无阻尼系统对图所示的矩形脉冲的响应x(t)。 解：图所描述(mio sh)的函数F(t)可以方便地用单位阶跃函数来表示：第34页/共37页第三十五页，共38页。根据(gnj)单自由度无阻尼系统对在t=O处所作用的单位阶跃函数的响应式可以把u(t+T)的响应表示为g(t+T)，这只要在方程中用t+T代替(dit)t后就可得到。同样，对u(t-T)的响应表示为g(t-T)。因而系统对F(t)的响应就成为x(t)对t的曲线(qxin)如图所示。第35页/共37页第三十六页，共38页。第36页/共37页第三十七页，共38页。NoImage内容(nirng)总结会计学。有多种方法可以确