第1章 离散散时间信号与系统

1、第第1章章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统u连续时间信号的采样及采样定理（连续时间信号的采样及采样定理（1.21.2）u离散时间信号的频域分析（离散时间信号的频域分析（1.31.3）u线性时不变离散时间系统与差分方程（线性时不变离散时间系统与差分方程（1.41.4）u离散时间系统的频率响应与系统函数（离散时间系统的频率响应与系统函数（1.51.5） 1.2 连续时间信号的取样及采样定理连续时间信号的取样及采样定理研究内容研究内容n信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）n信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始 信号

2、、如何不失真地还原信号）信号、如何不失真地还原信号）n由离散信号恢复连续信号的条件由离散信号恢复连续信号的条件采样过程采样过程n采样器一般由电子开关组成，开关每隔采样器一般由电子开关组成，开关每隔秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。实现一次采样。)(txa)(txpP(t)TTfs1采样过程采样过程信号的采样信号的采样设：设： 表示连续信号及其频谱表示连续信号及其频谱 ：采样间隔：采样间隔 表示采样信号及其频谱表示采样信号及其频谱则：则：T aaxtXj x tXj aannx txttnTxnTtnT1asmXjXjmT 2:sT 取样频率信号的

3、采样信号的采样采样信号频谱采样信号频谱 的推导？的推导？ 方法1：由傅里叶变换的定义出发。 由于： 其中： 表示采样脉 冲信号 则：Xj ( )( )aanx tx t M txttnT21( )jmtTnmM ttnTeT( )( )( )1 =( )1 = ()sj tj tajmtj tamasmXjx t edtx t M t edtx t eedtTXjmT 信号的采样信号的采样方法2：由傅里叶变换的卷积性质出发。s1( )jmtmM teT2smmT aaxtXj ( )aM t xt1221 ()samasmmXjTXjmT 信号的采样信号的采样结论：时域采样，频域内频谱做周期延

4、拓，周期为2sT 采样过程及频谱分析如下采样过程及频谱分析如下：采样定理采样定理 频带有限，最高截止角频率为频带有限，最高截止角频率为 ，当以，当以 对对 进行采样时，进行采样时，可由采样信号可由采样信号 不失真的恢复原信号不失真的恢复原信号 ，否则，否则会发生频谱混叠。会发生频谱混叠。 通常取：通常取： aaxtXjh221/2shshshffTf 或 axt x t2.5 3sh axt奈奎斯特频率：奈奎斯特频率：hshsff2 2或奈奎斯特采样率：奈奎斯特采样率：h折叠频率：折叠频率：系统所能允许的最高频率系统所能允许的最高频率s)2/1 (0（不一定等于信号的最高截止频率）（不一定等于

5、信号的最高截止频率）采样定理采样定理 采样信号的恢复采样信号的恢复频域分析频域分析将采样信号送入低通滤波器恢复原信号将采样信号送入低通滤波器恢复原信号Xj低通滤波器H jaXj aaXjXjHjxtx th t 其中：低通滤波器的截止频率hcsh 采样信号的恢复采样信号的恢复频域分析频域分析图解分析：图解分析：ch 令：0ss)(jXhh)(H)(X)(Xjjja0)( jXahh-1T令：其中： y tx th t 22122sinsin22ssj tj tssh tHjedTedttTSattTtT 采样信号的恢复采样信号的恢复时域分析时域分析且有且有：则则： anx txttnT ana

6、ny txnT h tdxnT h tnT axt ：内插函数内插函数h tnT 采样信号的恢复采样信号的恢复时域分析时域分析内插公式内插公式内插函数：内插函数： 采样信号的恢复采样信号的恢复时域分析时域分析特点：在采样点 上，函数值为1，其余采样点上 函数值都为零。nT 采样信号的恢复采样信号的恢复时域分析时域分析采样内插公式的内涵： sin()()aaanntnTTxtxnT h tnTxnTtnTT axtaxnTsin()()tnTTtnTT只要满足采样定理只要满足采样定理, ,连续时间函数连续时间函数 就可以由它的采样值就可以由它的采样值 来表达而不损失任何信息，这时只要用每个采样值

7、来表达而不损失任何信息，这时只要用每个采样值 乘上其对应的内插函数乘上其对应的内插函数 并求其总和，即可得出并求其总和，即可得出 。axnT axt 采样信号的恢复采样信号的恢复时域分析时域分析补充知识补充知识“FTFTDTFTsT 1.3 离散时间信号的频域分析离散时间信号的频域分析离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） ( )x n()( )jj nnX ex n e1( )()2jj nx nX eed（DTFT）（IDTFT）1.3 离散时间信号的频域分析离散时间信号的频域分析n 序列的傅氏变换是序列的傅氏变换是的周期函数，周期为的周期函数，周期为 2n离散傅氏

8、变换是一个线性变换离散傅氏变换是一个线性变换n时域内的卷积关系映射为频域内相乘时域内的卷积关系映射为频域内相乘n时域内的相乘关系映射为频域内的卷积时域内的相乘关系映射为频域内的卷积n帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理n时移时移/频移性质频移性质傅立叶变换的对称性质傅立叶变换的对称性质一、几个术语一、几个术语u序列的共轭对称与反对称序列的共轭对称与反对称 若：若： 则：则： 称为共轭对称序列称为共轭对称序列 若：若： 则：则： 称为共轭反对称序列称为共轭反对称序列 任意序列：任意序列： 其中：其中： eexnxn exn ooxnxn oxn eox nxnxn 2exnx nxn 2oxnx nxnu奇

9、序列与偶序列奇序列与偶序列 若若 ， 为为实序列实序列，且，且 exn oxn eexnxn ooxnxn exn称为偶序列称为偶序列 oxn称为奇序列称为奇序列任意任意实序列实序列 eox nxnxn 2exnx nxn 2oxnx nxn其中：傅立叶变换的对称性质傅立叶变换的对称性质u傅立叶变换的共轭对称与反对称傅立叶变换的共轭对称与反对称 设：设： 则：则： 其中：其中： jx nX ejjjeoX eXeXe2jjjeXeX eXe2jjjoXeX eXe共轭对称共轭对称函数函数共轭反对称共轭反对称函数函数即：即：jjeeXeXejjooXeXe 傅立叶变换的对称性质傅立叶变换的对称性

10、质二、傅立叶变换的对称性二、傅立叶变换的对称性 1.若若复序列复序列： 则：则： ， 证明：证明： jx nX e jxnXejxnXe j nnj nnjF xnxn ex n eXe j nnj nnj nnjF xnxn exn ex n eXe傅立叶变换的对称性质傅立叶变换的对称性质2.2.若若复序列复序列： 则：则： , , 证明：证明： jx nX e Rejex nXe Imjojx nXe Re2x nx nxn Im2x nx nxnj Re2jjjex nX eXeXe同理同理： Im2jjjojx nX eXeXe傅立叶变换的对称性质傅立叶变换的对称性质3. 若若实序列实

11、序列： 则：则： 是共轭对称函数是共轭对称函数 证明：证明： jx nX ejjX eXe x nxnjjX eXe傅立叶变换的对称性质傅立叶变换的对称性质4.4.对于对于实序列实序列，如果：，如果： 则：则： ，ReImjjjX eX ejX eRejX e是是偶函数偶函数ImjX e是是奇函数奇函数证明：证明：Re2jjjX eX eXeRe2jjjX eX eXejXejX eReRejjX eX e是偶函数是偶函数同理可证：同理可证：ImjX e是奇函数。是奇函数。傅立叶变换的对称性质傅立叶变换的对称性质故：故：5.对于对于实序列实序列: : 可得：可得： eox nxnxn Reje

12、xnX e ImjoxnjX e证明略证明略傅立叶变换的对称性质傅立叶变换的对称性质1 1.4.4线性时不变离散时间系统与差分方程线性时不变离散时间系统与差分方程p 数学模型数学模型 设：输入设：输入 ，输出，输出 则：一个则：一个 阶线性时不变离散时间系统：阶线性时不变离散时间系统： x n y n00NMkrkra y nkb x nr 阶差分方程阶差分方程NNp系统的零状态响应系统的零状态响应 zsmynx nh nx m h nm1.4线性时不变离散时间系统线性时不变离散时间系统 x n h n zsyn1.4线性时不变离散时间系统线性时不变离散时间系统pMatlab 实现实现ncon

13、v(x,h)conv(x,h)n若任意序列的长度是无限的，就不能直接用若任意序列的长度是无限的，就不能直接用 Matlab 来计算卷积。来计算卷积。nMatlab 提供了一个内部函数提供了一个内部函数 conv 计算两个计算两个有限长度序列的离散卷级有限长度序列的离散卷级，conv 函数假定两函数假定两个序列都从个序列都从 n=0 开始。开始。n调用如下：调用如下： y = conv(x,h)n函数函数 conv 可以得到可以得到 y 的正确值，但没有包含的正确值，但没有包含任何的时间信息，如何在仿真中得到？，如何在仿真中得到？1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数本节主要内

14、容：本节主要内容：l频率响应频率响应l系统函数系统函数的定义的定义l系统函数系统函数和和系统频响系统频响的关系的关系l系统频响的系统频响的几何确定法几何确定法l最小相移系统，最大相移系统最小相移系统，最大相移系统l全通系统全通系统及其特点及其特点一、系统的频率响应一、系统的频率响应 系统在系统在正弦正弦/复指数序列复指数序列作用下，随着激励信号的作用下，随着激励信号的频率频率变化而变化的响应，称为变化而变化的响应，称为系统的频率响应系统的频率响应。它反。它反映了系统对不同频率的复指数序列的不同传输能力。映了系统对不同频率的复指数序列的不同传输能力。设：设：当：当： xjj nx nAee线性时

15、不变线性时不变 yjj ny nBee j rx nrex n j ry nrey n1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数 jH e代入：代入：100NMkrkra y nkb x nr得：得： 100NMj kj rkrkra ey nb ex n 010Mj rrrNj kkkb ey nx na e系统的频率响应（由系统参数决定）系统的频率响应（由系统参数决定）表明：当输入为某一频率的函数时，输出也为同一频率的函表明：当输入为某一频率的函数时，输出也为同一频率的函 数，只是对输入信号的不同频率进行了加权。数，只是

16、对输入信号的不同频率进行了加权。故有：故有： x n1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数二、对 的小结1. 是 的复函数，故2. 是以 为周期的连续函数。3. 与 构成傅立叶变换对，即jH e离散序列的傅立叶离散序列的傅立叶变换对（变换对（DTFT）jH e：幅频特性（偶函数）jH e jjjH eH ee jH e2jH e h n ：相频特性（奇函数）（1-1）（1-2） jj nnH eh n e 12jj nh nH eed1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数(1-1)式证明：式证明：由于：由于：当当 时，有：时，有：即：即： esmynx nh

17、 nh m x nm j nx ne j mj njj nesmjynh m eeH eeH ex n jj nnH eh n e1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数(1-2)式证明：式证明： 方法方法1：因为：因为 是以是以 为周期的周期函数为周期的周期函数 则可将则可将 展为付氏级数展为付氏级数 其中：其中： 又因为：又因为： 故：故：jj nnnH eC e12jj nnCH eed jj nnH eh n e 12jj nnh nCH eedjH e2jH e(1-2)式证明：式证明： 方法方法2：将：将（1-1）式代入式式代入式12jj nH eed1.5 系统的

18、频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数 1212sinj mj nmjm nmmmh m eedh m ednmh mnmh mnmh n三、频域内系统输入输出之间的关系三、频域内系统输入输出之间的关系jX ejH ejesYejjjesYeX eH e（1-3）其中：其中： jj nnX ex n e jj nnY ey n e注：注：DTFTDTFT存在的充分条件：存在的充分条件： nh n 1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数（1-3）式证明：）式证明： 由由DTFT的定义：的定义： 的付氏变换为的付氏变换为 nyes jjmnjnmjmnjnmnjnmnjnes

19、jeseHeXemnhemxemnhmxemnhmxenyeY 1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数四、系统函数的定义四、系统函数的定义五、五、 esYzH zX z称为系统函数称为系统函数 H z与 ,jh nH e的关系的关系 nnH zh n z jj nnH eh n e jjz eH eH z 单位圆单位圆1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数六、六、 与与差分方程差分方程的关系的关系 设设 阶差分方程阶差分方程: : 零状态下得：零状态下得： H z00NMkrkra y nkb x nr

20、 00NMkrkrkra z Y zb zX z 10110111MMrrrrrNNkkkkkc zb zY zH zAX za zd z这里：这里：rc 是零点，是零点，kd 是极点是极点N七、系统频域响应七、系统频域响应 的几何确定方法的几何确定方法 若：若：jH eMN 11111111MNrrrrNNkkkkc zzcH zAAd zzd即：即：11NjrjrNjkkecH eAed1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数令：令：则：则：其中其中：rjjrrrC AeCC A e kjjkkkD AedD A e jjjH eH ee 11NrjrNkkC AH eAD

21、 A 11NNrkrk 1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数零矢量零矢量极矢量极矢量若：若：MN 11MrMNrNkkzcH zAzzdMNz表明在表明在z0处有（处有（M-N）阶极点）阶极点(MN)或零点或零点(MN)，它不影响，它不影响jH e ，但产生相位移，但产生相位移MN ，时域内延时（时域内延时（M-N）个）个单元，此时的相位特性：单元，此时的相位特性： 11MNrkrkMN 1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数则：则：1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数 1. 1.零极点位置零极点位置与幅频特性与幅频特性 的关系的关系

22、在单位圆上变化时，零极点与 的距离发生变 化，从而幅频特性发生变化。l极点靠近单位圆时， 出现明显的峰值峰值；l极点落在单位圆上时， ；l极点落在单位圆外时，系统不稳定。l零点靠近单位圆时， 出现明显的谷值谷值；l零点落在单位圆上时， ；l零点落在单位圆外时，系统稳定性不会受到影响。jH ejH ejH e jH e0jH eje例：已知一横向结构网格例：已知一横向结构网格 1010nanMh n其它101a（）试分析其频率响应特性。试分析其频率响应特性。解：解： 1101110MnnnMMMH zZ h na zzazzza则：零点：则：零点：210121jkMkza ekM， ， ， ，极

23、点：极点：1101papM，阶1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数 1za在在处，零极点互相抵消，故该网络有处，零极点互相抵消，故该网络有（M-1）个零点个零点211,2,1jkMkza ekM01pM阶设：设：181Ma则：则：1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数 同时该网络有同时该网络有（M-1）个极点，而个极点，而 1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数(a)(b)(c)(d)1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数2.零极点位置零极点位置与相频特性与相频特性 的关系的关系 考虑当考虑当 从从 时，零极点位置与时，

24、零极点位置与 的关系：的关系：l若极点或零点在若极点或零点在单位圆外单位圆外，则相应的幅角变化量为，则相应的幅角变化量为 l若零点或极点在若零点或极点在单位圆内单位圆内，则相应的幅角变化量为，则相应的幅角变化量为 如图：如图：圆外情况圆外情况圆内情况圆内情况 02 201.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数设：设： 表示零点在单位圆内、外的个数表示零点在单位圆内、外的个数。,iom m,iop p 表示极点在单位圆内、外的个数。表示极点在单位圆内、外的个数。则：系统总的零、极点数目为则：系统总的零、极点数目为,ioMmmioNpp对于稳定系统：0,oippN由（2 21181

25、18）式得： 22222iiiompMNmMm 当 02 , 202从l因果最小相移系统:当 时 相位变化最小，称为因果最小相移系统因果最小相移系统。l因果最大相移系统：当 时0om 0imM 因果最小相移系统是指 所有零极点零极点都在单位圆内。 H z0im 2omMM 相位变化最大，称为因果最大相移系统。因果最大相移系统。因果最大相移系统是指 所有有零点零点都在单位圆外（对稳定因果系统，极点在单位圆内）。 zH1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数l全通系统全通系统 若系统函数具有如下形式，则称为全通系统。 (a)对一阶系统： 零极点都是实数，且互为倒数，关于单位圆对 称

26、。 (b)对二阶系统： 零极点互为共轭倒数，关于单位圆对称。 111apzaHzaz 111111apzazaHzaza z1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数(c)(c)对对N N 阶系统阶系统： 2kredeMMNMNr：实数极点：复数极点系统的阶数：对全统系统通常： 11111111111erMMkrrapkrkrrzdzezeHzd ze ze zl全通系统的特点全通系统的特点1.1.全通系统的频率响应全通系统的频率响应2. 的每个极点都有一个与之配对的共轭倒数的每个极点都有一个与之配对的共轭倒数零点，如图：零

27、点，如图： 1 argjjjapHeH ee ，纯相位网络纯相位网络 apHz1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数3.3.分子分母分子分母系数相同、排序相反，即系数相同、排序相反，即 001212121211111NN kkkapNkkkNNNNNNNkkNkNkkkNja zHza zza za zaa za za za zza zD zzH eD z1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数4.4.全通系统的相位特性全通系统的相位特性 以一阶系统为例 群延迟： 111apzaHza razj令 = e得： sinarg2arctan1cosjrH er a

28、rg0jH e 0dd 相位为负相位为负1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数5. 由最小相移系统和全通系统可得以下结论： 任意一个非最小相移系统都可分解成全通系统 和最小相移系统的级联，即： minapH zHz Hz1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数举例：举例：111 2( )113zH zz111111111 21 22( )111111332zzzH zzzzm in( )Hz( )apH zl 全通系统的应用全通系统的应用 1、频率响应的补偿（幅度补偿） 通常 经系统后幅度发生失真，要求设计一 个补偿系统 ，如下图所示： x n 通信系统 dH

29、z dxn x n cHz x n通信系统 dxn dHz补偿系统 cHz cxn使得使得 dxn cHz cxnx n1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数应用：移动通信中对付码间串扰（应用：移动通信中对付码间串扰（ISI）。）。设 已知，得:选取则 dHz mindddapHzHz Hz min1cdHzHz dcdapG zHz HzHz cdapXzG z X zHz X z故故： jjjjjjcdapXeG eX eHeX eX e因因此此： cXz的相位特性由的相位特性由 的相位决定。的相位决定。 dapHz1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数

30、 2、相位补偿 10japHe ： ，由由于于 x n apHz y n ()jjjapjjjjapjjY eX eHeX eeHeeX ee 输入输出之间的相位发生了变化，可以实现相位补偿。输入输出之间的相位发生了变化，可以实现相位补偿。1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数应用：设计线性相位滤波器时，可以先设计一个幅度上满足要应用：设计线性相位滤波器时，可以先设计一个幅度上满足要 求的求的IIR滤波器，再级联一全通系统进行相位校正。滤波器，再级联一全通系统进行相位校正。八、IIR系统与FIR系统1.1.无限长单位脉冲响应系统无限长单位脉冲响应系统(Infinite Imp

31、ulse Response(IIR)(Infinite Impulse Response(IIR) 时域：时域：h(n)h(n)为无限长序列为无限长序列 z z域：域：H(z)H(z)为一有理分式为一有理分式2.2.有限长单位脉冲响应系统有限长单位脉冲响应系统(Finite Impulse Response(FIR)(Finite Impulse Response(FIR) 时域：时域：h(n)h(n)为有限长序列为有限长序列 z z域：域：H(z)H(z)为一有理多项式为一有理多项式 0101MrrrNkkkb zH za z 0MrrrH zb z1.5 系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数九、递归系统与非递归系统九、递归系统与非递归系统 线性时不变系统可分为：线性时不变系统可分为：1.1.递归实现：递归实现： 中至少有一个中至少有一个 ，例如，例如