2.1微分方程的幂级数解法ppt课件

1、微分方程的幂级数解法微分方程的幂级数解法一、问题的提出一、问题的提出,22yxdxdy 例例如如解不能用初等函数或其积分式表达解不能用初等函数或其积分式表达.寻求近似解法寻求近似解法: 幂级数解法幂级数解法;数值解法数值解法.雅卡比逐次逼近法雅卡比逐次逼近法;二、二、 特解求法特解求法),(yxfdxdy 问题问题.),(00的的特特解解满满足足求求yyyxfdxdyxx .)()()()(),(0000101000mllmyyxxayyaxxaayxf 其中其中,0的的幂幂级级数数假假设设所所求求特特解解可可展展开开为为xx 202010)()(xxaxxayy.,21为为待待定定的的系系数

2、数其其中中naaa.0|02的的特特解解满满足足求求 xyyxdxdy解解，00 x, 00 y,33221 nnxaxaxaxay设设方程方程的幂级数展开式带入原的幂级数展开式带入原将将yy , 342321432xaxaxaa24433221)( xaxaxaxax,32123121 nnxnaxaxaay例例1 1,201, 0, 0,21, 054321 aaaaa.2012152 xxy所所求求解解为为 43122321221)2(2xaaaxaaxax比较恒等式两端比较恒等式两端x的同次幂的系数的同次幂的系数, 得得小结小结: : 无初始条件求解无初始条件求解 1nnnxaCy可设

3、可设(C是任意常数是任意常数) 如如果果方方程程0)()( yxQyxPy中中的的系系数数)(xP与与)(xQ可可在在RxR 内内展展为为x的的幂幂级级数数, ,那那么么在在RxR 内内原原方方程程必必有有形形如如 nnnxay 0 的的解解. . 定理定理三、二阶齐次线性方程幂级数求法三、二阶齐次线性方程幂级数求法作法作法,0 nnnxay设设解解为为的的幂幂级级数数，展展开开为为将将0)(),(),(xxxfxQxP 比较恒等式两端比较恒等式两端x的同次幂的系数的同次幂的系数, 确定确定y.0的的解解求求方方程程 yyxy,0nnnxay 设方程的解为设方程的解为解解例例2 2,10 nn

4、nxnay则则21)1( nnnxanny, 0, yyxyyyy带入带入将将,)1)(2(02nnnxann , 00 nnnxa10 nnnxnaxnnnxann 02)1)(2(, 0)1()1)(2(02 nnnnxanann,22 naann, 2 , 1 , 0 n,313aa ,1515aa ,!)!12(112 kaak, 3 , 2 , 1 k,202aa ,804aa ,2!02kkkaa 原方程的通解原方程的通解 0121020!)!12(!2nnnnnnxanxay),(10是是任任意意常常数数aa四、小结四、小结微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非全微分方程非全微分方程非变量可分离非变量可分离幂级数解法幂级数解法降降阶阶作作变变换换作变换作变换积分因子积分因子思考题思考题 什么情况下采用什么情况下采用“幂级数解法求解幂级数解法求解微分方程？微分方程