电路第五版课件第七章 一阶电路的时域分析

1、 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件7.1一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应7.2一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应7.3一一阶电路的全响应阶电路的全响应7.4二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应7.5二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应7.6一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应7.7一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应7.8 卷积积分卷积积分7.9 状态方程状态方程7.10 动态电路时域分析中的几个问题动态电路时域分析中的几个问题7.11第七章第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析一阶电路和二阶电路的

2、时域分析 一一. . 动态电路的方程动态电路的方程1 1. . 动态元件：电感、电容元件动态元件：电感、电容元件2 2. . 动态电路动态电路: :含动态元件的电路（一阶、二阶、高阶）含动态元件的电路（一阶、二阶、高阶）3 3. . 动态电路的特点：动态电路的特点：7-1 7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 电路的稳定状态：电路的稳定状态：在指定条件下电路中电压、在指定条件下电路中电压、 电流已电流已 达到稳定值。达到稳定值。 电路的电路的暂态过程：暂态过程：电路从一种稳态变化到另一种稳电路从一种稳态变化到另一种稳 态的过渡过程。态的过渡过程。 当动态电路状态发生改变

3、时（换路）当动态电路状态发生改变时（换路）, ,需需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡这个变化过程称为电路的过渡( (暂态暂态) )过程。过程。uCiUS+ +- -+ +- -RSC开关闭合前，电容电压为开关闭合前，电容电压为0 0（原稳态），开关闭（原稳态），开关闭合很长时间后，电容电压充电为合很长时间后，电容电压充电为US（新稳态）。（新稳态）。特点：特点：4. 4. 过渡过程产生的原因：过渡过程产生的原因： 电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都

4、需要一定的能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。时间来完成。wptp 0t 2022年5月3日星期二55. 暂态过程的产生的条件暂态过程的产生的条件00321RRRuuui(a)S+-R3R22+-R1i电阻电路电阻电路2022年5月3日星期二6电容电路电容电路uCiUS+ +- -+ +- -RS(t 0)CuCiUS+ +- -+ +- -RC(t) S 接通电源后很长接通电源后很长时间时间，电容充电完毕，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：电路达到新的稳定状态： S未动作前未动作前，电路，电路处于稳定状态：处于稳定状态：i 0 , uC US。i 0 , uC 0。?有

5、一个有一个过渡期过渡期0tuCRUS前一个稳前一个稳定状态定状态US新的稳新的稳定状态定状态t1i新稳定新稳定状态等状态等效电路效电路2022年5月3日星期二7电感电路电感电路uLiUS+ +- -+ +- -RL(t) S 接通电源后很长时接通电源后很长时间间，电路达到新的稳定，电路达到新的稳定状态，状态，电感视为短路：电感视为短路： S未动作前未动作前，电路处于，电路处于稳定状态：稳定状态：uL 0 , i 0 , uL 0。有一个有一个过渡期过渡期0tiRUS前一个稳前一个稳定状态定状态US新的稳新的稳定状态定状态t1uLuLiUS+ +- -+ +- -RS(t 0)LUSR新稳定新稳

6、定状态等状态等效电路效电路i L储能：储能：221LLLiW 不能突变不能突变Cu C 储能：储能：221CCCuW 不能突变不能突变L i换路换路: : 利用电路暂态过程产生特定波形的电信号利用电路暂态过程产生特定波形的电信号 如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。6. 6. 研究暂态过程的实际意义研究暂态过程的实际意义 控制、预防可能产生的危害暂态过程开始的瞬间控制、预防可能产生的危害暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设备或元件损坏。可能产生过电压、过电流使电气设备或元件损坏。2022年5月3日星期二107. 动态电路的方程：动

7、态电路的方程：若以电流为变量：若以电流为变量：以电压为变量，应用以电压为变量，应用KVL和电容元件的和电容元件的VCR得：得：Ri + + uC uSi CduCdtRCduCdt+ + uC uSRi + + uC uSuC 1Cidt Rdidt+ +iC duSdtRC串联电路。串联电路。SuS+ +- -(t0+ +)+ +- -uCRC+ +- -uRi其方程是线性常系其方程是线性常系数一阶微分方程。数一阶微分方程。LS( )Riuu t+Sd( )diRiLu tt+应用应用KVL和电感的和电感的VCR得：得：LddiuLt (t 0)+uLUsRi+- -RL串联串联电路电路其方

8、程也是线性常其方程也是线性常系数一阶微分方程。系数一阶微分方程。有源有源 电阻电阻 电路电路 一个动一个动态元件态元件一阶一阶电路电路结论结论 含有一个动态元件电容或电感的线性电含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。一阶电路。2CCCS2dd( )dduuLCRCuu ttt+CS( )LRiuuu t+二阶电路二阶电路CdduiCt2C2ddddLuiuLLCtt (t 0)+uLUsRi+- -CuCRLC电路电路应用应用KVL和元件的和元件的VCR得：得： 含有二个动态元件的线性电路，其电路方程含有二个动态

9、元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。为二阶线性常微分方程，称二阶电路。一阶电路一阶电路一阶电路中只有一个动态元件一阶电路中只有一个动态元件, ,描述描述电路的方程是一阶线性微分方程。电路的方程是一阶线性微分方程。 描述动态电路的电路方程为微分方程；描述动态电路的电路方程为微分方程； 动态电路方程的阶数通常等于电路中动动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。态元件的个数。二阶电路二阶电路二阶电路中有二个动态元件二阶电路中有二个动态元件, ,描述描述电路的方程是二阶线性微分方程。电路的方程是二阶线性微分方程。结论结论高阶电路高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路中有

10、多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。电路的方程是高阶微分方程。二二. .换路及换路定则换路及换路定则电路结构、状态、电路结构、状态、参数等发生变化。参数等发生变化。1.1.换路：换路：换路在换路在t=0时刻发生时刻发生t=0 换路前一瞬间换路前一瞬间 t=0 换路后一瞬间换路后一瞬间0 0- - ：换路前一瞬间。：换路前一瞬间。f(0- -) lim f(t) t0t0 0+ + ：换路后一瞬间。：换路后一瞬间。f(0+ +) lim f(t) t0t02.2.初始条件：为初始条件：为 t = 0时时u ，i 及其各阶导数的值。及其各阶导数的值。 在动态电路分析中，初始条件是得到确定在

11、动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。解答的必需条件。2022年5月3日星期二16(1)电容的初始条件电容的初始条件当当 i( )为有限值，为有限值，此项为此项为0。 结论：结论：换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则则电容电压在换路前后保持不变。电容电压在换路前后保持不变。q(t) t- -i( ) d 0- - -i( ) d + +t0- -i( ) d q(0- -) + +t0- -i( ) d 当当 t 0+ + 时时q(0+ + ) q(0- -) + +0+0- -i( ) d 所以，在换路瞬间有：所以，在换路瞬间有：q(0+ +

12、) q(0- -)q C u ，C不变时有：不变时有： uC(0+ + ) uC(0- -)电荷守恒电荷守恒+ +- -uiC2022年5月3日星期二17(2)电感的初始条件电感的初始条件用同样的方法可得：用同样的方法可得： 结论：换路瞬间，若电感电压保持为有限值，结论：换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则则电感电流（磁链）换路前后保持不变。电感电流（磁链）换路前后保持不变。在换路瞬间有在换路瞬间有：Y Y (0+ + ) Y Y (0- -)Y Y Li ，L不变时有不变时有： iL(0+ + ) iL(0- -)磁链守恒磁链守恒3.换路定律：换路定律：uC(0+ + ) uC(0- -)

13、iL(0+ + ) iL(0- -)注意：注意：电容电流和电感电压为有限值电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。是换路定律成立的条件。换路定律反映了能量不能跃变。换路定律反映了能量不能跃变。Li+ +- -u三三. 初始值的确定初始值的确定R+- -sU021+ 0 t+ +- -CuRuC例例1：已知：换路前电路处稳态，：已知：换路前电路处稳态， L 、 C均未储能。均未储能。试求试求uC( 0+)、iL ( 0+) 、 uL( 0+)、iC ( 0+) 。(a)SR2R1- -+ + UCL解：解： (1) 求求uC( 0+)、iL ( 0+) 因换路前因换路前L 、 C均未储能

14、，则均未储能，则0)0(, 0)0( - - -LCiu)0(+ +Li)0(+ +CuC可视为可视为短路短路;L可视为可视为开路开路。(2) 其它电量其它电量初始值初始值t=0+时时iC(0+ +) U/R1 ， uL(0+ +) U画画t=0+电路时电路时注意：注意：(1)电感、电容的等效电感、电容的等效(2)换路后电路结构的变化换路后电路结构的变化R2R1- -+ + UiC (0+ )uL(0+)_ _+t = 0+等效电路等效电路20解：解：例例2：求电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。：求电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。 R1+ +- -U0SR2iLiCCL+ +-

15、-uL+ +- -uCR33W W2W W2W W48ViC(0+) C视为视为开路开路,L视为视为短路短路t = 0- -t 0- -时刻等效时刻等效的电路的电路R1+ +- -U0R2iLiCCL+ +- -uL+ +- -uCR33W W2W W2W W48Vi210)0(RRUiL+ + - -A122248 + + )0(+ +Li2102C)0(RRURu+ + - -V2422482 + + )0(C+ +uC(0+) 、L(0+)C视为视为电压源电压源，24VL视为视为电流源电流源，12At = 0+ +t=0+时刻的等效电路时刻的等效电路R1+ +- -U0SR2iLiC12

16、A+ +- -uL+ +- -R33W W2W W2W W48V24ViR1+ +- -U0SR2iLiCCL+ +- -uL+ +- -uCR33W W2W W2W W48Vi30)0(RuUC+ +- - A832448 - - )0(+ +Ci)0(L+ +u20)0(RiUL + +- - V2412248 - - )0()0()0(+ + + + + CLiiiA20812 + + 2022年5月3日星期二22 注意注意t 0- -时刻时刻的的等效等效电路电路t00+ +时刻的时刻的等效电路等效电路iL(0+ +) iL(0- -) 12AuC(0+ +) uC(0- -) 24Vi

17、C(0+) = 8A iC(0-) uL(0+) = 24V uL(0-) i(0+) = 20A i(0-) R1+ +- -U0SR2iLiCCL+ +- -uL+ +- -uCR33W W2W W2W W48ViR1+ +- -U0SR2iLiC12A+ +- -uL+ +- -R33W W2W W2W W48V24Vi(1)若换路前电容或电感上若换路前电容或电感上没有储能没有储能 ，则在则在t=0+的等效电路中，的等效电路中，C视为视为短路短路，L视为视为开路开路；(2)若换路前电容或电感上若换路前电容或电感上有储能有储能且已达稳态，且已达稳态，在在t=0_的等效电路中，的等效电路中，

18、电容电容视为视为开路开路，其电压为，其电压为uC(0_) ；电感电感视为视为短路短路，其电流为其电流为iL(0_) 。在在t=0+的等效电路中，的等效电路中， 电容电容视为一个视为一个电压源电压源，电压为，电压为 uC(0+) ；电感电感视为视为一个一个电流源电流源，电流为，电流为 iL(0+) 。2022年5月3日星期二24例例2：求：求 iC(0+) , uL(0+)iSiLs(t 0)L+ +- -uLRC+ +- -uCiCiSiLs(t 0)L+ +- -uLRC+ +- -uCiC解：解：iL(0+) iL(0) iSuC(0+) uC(0) RiSuL(0+) - - RiSiC

19、(0+) iS - -RiSRiSiSs(t 0)+ +- -uLRC+ +- -iCLRiS 0 0t=0+时时L短路短路，则则t=0时时L视为电流源视为电流源C视为电压源视为电压源例例3：求：求S闭合瞬间流过它的电流值。闭合瞬间流过它的电流值。(t 0)+ +- -10W W10W WiLLC+ +- -uC10W W20VS解：解：(1)t=0L+ +- -10W W10W WiLC+ +- -uC10W W20Vt 00- -时刻时刻(2)t=0iL(0+ +) iL(0- -) 2020=1AuC(0+ +) uC(0- -) 20 - -10 1 10Vi (0+ +) 20/10

20、 2AiC(0+ +) - -10uC(0+ +) -1A -1AiS(0+ +) 2010+ +1010-1-1=2A+ +- -10W W10W WiL+ +- -10W W20V1A+ +- -uL10ViSiCt 00+ +时刻时刻i 激励：激励：也称为输入，电路从电源输入的信号。也称为输入，电路从电源输入的信号。 响应：响应：也称为输出，电路在也称为输出，电路在外部激励外部激励或或内部储能内部储能的作用下的作用下产生的电压和电流称为响应。按照产生响应原因的不同，产生的电压和电流称为响应。按照产生响应原因的不同，可分为：可分为：7- -2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应零输入

21、响应：零输入响应：是无电源激励，输入为零时，由是无电源激励，输入为零时，由初始状态初始状态产生的产生的响应，仅与初始状态有关，而与激励无关。响应，仅与初始状态有关，而与激励无关。零状态响应：零状态响应：是初始状态为零时，由是初始状态为零时，由激励激励产生的响应，仅与激产生的响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。励有关，而与初始状态无关。全响应：全响应：在换路时储能元件初始储能不为零的情况下，再加上在换路时储能元件初始储能不为零的情况下，再加上外部激励所引起的响应。外部激励所引起的响应。2022年5月3日星期二27一一. RC 电路的零输入响应电路的零输入响应i CduCdt所以所以duCdtR

22、C+ + uC 0由由VCR得：得：uR RiC ，由由KVL得：得： uR+ +uC 0uC(0+ +) U0p - -RC1特征根特征根特征方程：特征方程：RCp+ +1 0通解为通解为 换路后外加激励为零，响应换路后外加激励为零，响应仅由动态元件初始储能所引起，仅由动态元件初始储能所引起，故为故为零输入响应零输入响应。1.电流及电流及电压的变化规律电压的变化规律R+- -sU021+ 0 t+ +- -CuRuCicR+ + +- -CuRuCictpCAeu RCtAe - - uC A e1RC- -tuC U0 et0代入初始值：代入初始值：uC(0+ +) uC(0- -) U0

23、1RC- -t或者由：或者由： iC CduCdt求出。求出。表明：表明：电压、电流是随时电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的间按同一指数规律衰减的函数。函数。t0uC , iC t t2t2t3t3t4t4t uC(0+) e1RC- -t得：得：曲线形状曲线形状R+ + +- -CuRuCict ttCCeRURui- - - - - 0U0连续函数连续函数跃变跃变RU0- -2022年5月3日星期二29令令t t RC，一阶，一阶RC电路的时间常数。电路的时间常数。2.时间常数时间常数反映电路过渡过程时间的长短。反映电路过渡过程时间的长短。即：即：t t 大大过渡过程时间长，过渡过程时

24、间长，t t 的的物理含义：物理含义：t t 大大t t 小小电压初值一定：电压初值一定：R大大(C一定一定)i=u/R放电电流小放电电流小放电时间长。放电时间长。C大大(R一定一定)W Cu2/2 储能大储能大U0t0uC t t 小小过渡过程时间短。过渡过程时间短。单位单位:秒秒( s)即电容充放电的快慢，取决于即电容充放电的快慢，取决于，越大越慢。越大越慢。2022年5月3日星期二30注意：注意：t0 0t t2 2t t3 3t t5 5t tU0U0e- -1U0e- -2U0e- -3U0e- -5U00.368U00.135U00.05U00.007U0uC U0et t- -t

25、t t ： 是电容电压衰减到是电容电压衰减到原来电压原来电压36.8%所需所需的时间。工程上认为，的时间。工程上认为，经过经过 3t t 5t t 时间，过时间，过渡过程结束。渡过程结束。U0t0uC 0.20.40.60.81.0t t2t t3t t4t t5t t2022年5月3日星期二313.能量关系能量关系电容不断释放能量被电阻吸收电容不断释放能量被电阻吸收, ,直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。uC(0+) U0则电容放出能量：则电容放出能量： 电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：21CU02WR 0 Ri2 dt 0 R dt 21CU02R+ + +- -CuRuCi

26、Ct ttCeRUi- - - 020)(t tteRU- - - R + - E C RC电路的应用电路的应用-闪光灯电路闪光灯电路内部是一个振荡电路内部是一个振荡电路, ,通过变压器输出一个很高通过变压器输出一个很高的电压存储到电容上的电压存储到电容上, ,按下快门的同时按下快门的同时, ,电容放电电容放电到闪光灯到闪光灯. .闪光灯工作后消耗了电容存储的电闪光灯工作后消耗了电容存储的电, ,振振荡电路又继续给电容充电荡电路又继续给电容充电, ,不断循环不断循环. .例例1：求：求uC(t)、 i(t)5V- -+ +100kW W25kW W100kW W- -+ +uC10m mFSi

27、解：换路后为零输入响应解：换路后为零输入响应t tuC(0+) uC (0)V4100251005 + + C开路，则开路，则t=0时时RC t ts5 . 0101010)100/100(63 - -(3) uC(t)、 i(t)t ttCCeutu- -+ + )0()(te24- - ktutiC100)()( mA 04. 02te- - t ttCCeutu- -+ + )0()(2022年5月3日星期二34例例2 求：求：(1)图示电路图示电路 S 闭合后各元件的电压和电流闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，随时间变化的规律，(2)电容的初始储能和最终时刻电容的初始储能和最终

28、时刻的储能及电阻的耗能。的储能及电阻的耗能。u1(0- -)=4V，u2(0- -)=24V。i- -+ + +- -250kW W+ +- -uC1 5m mFC2 20m mFSu1u2分析：分析：因此先求因此先求uC uC(0+) e1RC- -t仍是一阶仍是一阶 RC零输入响应问题零输入响应问题2501032022年5月3日星期二35i- -+ + +- -250kW W+ +- -uC1 5m mFC2 20m mFSu1u2t0+ +- -iuC250kW W+ +- -u解：换路后为零输入响应解：换路后为零输入响应(1) u (t) 、i 、u1(t) 、 u2(t)C1+ +C

29、2C1C2C 5+ +20 520 4m 4mF uC(0+ +) - -u1(0- -) + + u2(0- -) 20Vt t RC 20 e- -t V t0 0所以：所以：uC uC(0+) e1RC- -t= 250103410-6 = 1si uC 80 e- -t m mA先求先求uC、 iC2022年5月3日星期二36各元件的电压随时间变化的规律：各元件的电压随时间变化的规律：u1(t) u1(0) + +t0i( ) d C11u1(0- -) 4V，u2(0- -)224V。i 80 e- -t m mA 4 + +t080 e- -tdt51 (20 - -16e- -t

30、 ) Vu2(t) 24 - -t080 e- -tdt201 (20 + + 4e- -t ) Vu 20 e- -t V t0 0i- -+ + +- -250kW W+ +- -uC1 5m mFC2 20m mFSu1u2+ +- -uC再求再求u1(t) 、 u2(t) u1() 20Vu2() 20VuC() u2()- -u1() 0t0i( ) d C21- -u2(0)t2022年5月3日星期二37(2)电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。i- -+ + +- -250kW W+ +- -uC1 5m mFC2 20m mF

31、Su1u2+ +- -uC初始储能初始储能W1 21510- -642 = 40 m mJWC 21Cu2(t) W2 212010-6242 = 5760 m mJ最终储能最终储能共共 5800 m mJW1 21510- -6202 1000 m mJ电阻耗能电阻耗能WR 0 Ri2 dt 800 m mJu1(0- -) 4V，u2(0- -)224V。u1() 20V，u2() 20V。W2 212010- -6202 4000 m mJ共共 5000 m mJ38二二. RL电路的零输入响应电路的零输入响应1. 1.电压电流的变化规律电压电流的变化规律LRiRu dtdiLuLL 因

32、因0ddLL + +iLRti则则RLtLeRUi/0- - RLtLLeUtiLu/0dd- - - RLtLei/)0(- -+ + 由由KVL得：得： uR+ +uL 0R(t0)LuL+ +- -iLS+ +- -uRiL(0+ +) U0R0得：得：t0i， uL I0连续函数连续函数跃变跃变- -I0R曲线形状曲线形状表明：电压、电流是随时间按表明：电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；同一指数规律衰减的函数；SR+ +- -(t 0)R0L12uL+ +- -iLU0初始值初始值2022年5月3日星期二39令令t t L/R，称为一阶，称为一阶RL电路时间常数。电路时间常数

33、。2.时间常数时间常数t t 的大小反映了电路过渡过程时间的长短：的大小反映了电路过渡过程时间的长短：L大大 放电慢，放电慢，t t 大。大。t t 大大过渡过程时间长，过渡过程时间长，t t 小小过渡过程时间短。过渡过程时间短。物理含义物理含义电流初值电流初值iL(0)一定：一定：R小小P Ri2 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小W 21LiL2起始能量大起始能量大单位单位:秒秒( s)2022年5月3日星期二403.能量关系能量关系电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收, ,直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。因因i(0+) U0/R =I0则电感放出能量：则电感放出能量

34、： 电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：21LI02WR 0 Ri2 dt 0 R (I0 eRL- -t )2dt 21LI02RLtLeRUi/0- - R(t0)LuL+ +- -iLS+ +- -uR41小结小结 一阶电路的零输入响应是由一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值储能元件的初值引起的引起的响应响应, , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数；都是由初始值衰减为零的指数衰减函数； 衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数t t ；RC电路：电路： t t RC， RL电路：电路：t t RL 同一电路中所有响应具有相同的时间常数；同一电路中所有响应具有相同的时间常数

35、；R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。t ttCCeuu- -+ + )0(t ttLLeii- -+ + )0(2022年5月3日星期二42例题分析例题分析 P144 例例7- -2求：求：t t ；iL(0+ +) ；iL(t)和和uV (t) ；uV (0+ +)。解：解：S+ +- -RL+ +- -URVuViL0.189W W0.398H5kW W35VVt0+t t R+ +RVL 0.189+ +51030.398 79.6 (m (ms)RU 0.18935 185.2 AiL(0+ +) iL(0- -) 造成电压表损坏。造成电

36、压表损坏。iL(t) 185.2 e- -12560t AuV(t) ) - -RV i(t) ) - -926 e- -12560t kVuV(0+ +) 926 kV ! 实践中要实践中要切断切断 L 的电流，的电流，必须考虑磁场必须考虑磁场能量的释放问能量的释放问题。题。437- -3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应电路换路后的初始储能电路换路后的初始储能为零，响应仅由外加为零，响应仅由外加电源所引起，故为电源所引起，故为零零状态响应状态响应。一一. RC电路的零状态响应电路的零状态响应uC( (0- -) ) 0则则duCdtRC+ + uC US其通解为：其通解为：uC=

37、uC+ uC 其中其中 uC为其为其特解特解；uC为其为其对应的对应的齐次微分方程通解齐次微分方程通解。 换路后换路后KVL方程方程UuuCR + +SSCUu )(sUS+ +- -(t=0)+ +- -uCRC+ +- -uRi1. 1.电压、电流的变化规律电压、电流的变化规律先求先求uC：再求再求uC：）（t ttCCeuu- - - 1)(SUS+ +- -(t0+ +)+ +- -uCRC+ +- -uRiuC =USuC A e1RC- -t全解：全解：uC US + + A Ae1RC- -t由初始条件由初始条件 uC (0+)=0得：得： A A - - USuC US - -

38、 US e1RC- -t US (1- - e )1RC- -t(t0)i CduCdt USRe1RC- -t 表明：表明：电压、电流是电压、电流是随时间按同一指数规随时间按同一指数规律变化的函数；律变化的函数；45US+ +- -(t0+)+ +- -uCRC+ +- -uRiuC US (1- - e )1RC- -t(t0)i USRe1RC- -tuC 连续函数连续函数uC tuC 0USuC跃变跃变t0iR- -USRUS曲线形状曲线形状46 uC + + uC 其中其中uC US这是电路的稳态解，称这是电路的稳态解，称稳态分量。稳态分量。由于该分量与输入激励由于该分量与输入激励的

39、变化规律有关，故又的变化规律有关，故又称称强制分量。强制分量。US+ +- -(t0+)+ +- -uCRC+ +- -uRiuC US - - US e1RC- -tuC A e1RC- -t随着时间的推移，将消随着时间的推移，将消失，故称失，故称暂态分量暂态分量。由于其变化规律由电路由于其变化规律由电路结构和参数决定，故又结构和参数决定，故又称称自由分量自由分量。电容电压电容电压=稳态分量稳态分量( (强制分量强制分量) ) + + 暂态分量暂态分量( (自由分量自由分量) ) 47电源提供的能量：电源提供的能量：电阻吸收的能量：电阻吸收的能量：W 0US i(t) dt USq CUS2

40、WR 0i2(t)R dt 21CUS2t t RC结果表明：电源提供的结果表明：电源提供的能量一半转换为电场能能量一半转换为电场能量存储于量存储于C 中，另一半中，另一半在充电过程中消耗在在充电过程中消耗在 R上。不论上。不论RC的值是多少，的值是多少，充电效率总是充电效率总是50%。US+ +- -(t0+ +)+ +- -uCRC+ +- -uRi2.能量关系能量关系电容存储的能量：电容存储的能量：WC 21CUS2方法方法1 1：例例: 电路如图所示，已知电容电压电路如图所示，已知电容电压uC(0- -)=0。t=0打开打开开关，求开关，求t 0的的uC(t)、iC(t) 、i1(t)

41、。uC() t tRC t t=25010-6 = 2.510-4 s)1)(CCt tteuu- - - 解：解：RC电路零状电路零状态响应态响应uC(t)1)(CCt tteuu- - - (t0)V)1(1003104te - - - iC(t) 、i1(t)150)1(100CCCuii- - - )0( Ae4 . 0)(3104 C - -ttitC11ii- - )0( A)e4 . 01(3104 - - - -tt方法方法2：UOC+ +- -+ +- -uCRC+ +- -uRi解：解：UOCRUOC=1100=100VR=250)e1()( ocCtUtu- - - )0

42、(V )e1(1003104 - - - -tt2022年5月3日星期二50二二. RL电路的零状态响应电路的零状态响应1. 激励是恒定直流激励是恒定直流换路前：换路前：iL(0+ +) iL(0- -) 0 换路后：换路后：iR + + iL ISSRL+ +- -ISuL(t 0)iRiL(t0+ +)iR uLR LRdiLdtLRdiLdt+ + iL ISLRt t 解得：解得：iL IS (1- - e )t t- -t式中：式中：uL LdiLdt RIS et t- -t(t0)tuL ,0iL ISRIS）（t ttLei- - - - 1)(例：例：t 0开关打开，求开关打

43、开，求t 0后后iL、uL及及u。解：解：RL电路零状态响应电路零状态响应5W W+ +- -u10W W+ +- -uL10W W2HiLS2A）（t ttLLeii- - - - 1)(t tiL( ) 1ARL t ts1 . 0202 (3) iL、 uL、u）（t ttLLeii- - - - 1)(te101- - - 分流公式分流公式 20 20e- -10t Vu = 52 +10(2- -iL)= (20+10e- -10t ) VuL = - -10iL + 10(2- -iL)52小结小结 一阶电路的零状态响应是由一阶电路的零状态响应是由外加电源外加电源引起的响应引起的响

44、应, , 都是由零增加为稳态值的指数函数；都是由零增加为稳态值的指数函数； 变化变化快慢取决于时间常数快慢取决于时间常数t t ；RC电路：电路： t t RC， RL电路：电路：t t RL 同一电路中所有响应具有相同的时间常数；同一电路中所有响应具有相同的时间常数；R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。)1)(CCt tteuu- - - )1)(LLt tteii- - - 稳态值的确定稳态值的确定 稳态值稳态值：换路后：换路后t时时u、i 的大小。的大小。（1）若）若t时电感或电容无储能，时电感或电容无储能， 则则 uC()=0、 iL()=

45、0 。（2）若）若t时电感或电容有储能时电感或电容有储能 因已达稳态，则因已达稳态，则uL()=0、 iC()=0 ,所以在所以在t的的等效电路中，等效电路中，电容视为开路电容视为开路，其电压为，其电压为uC() ；电电感视为短路感视为短路，其电流为，其电流为iL() 。再利用电容开路或电。再利用电容开路或电感短路求其它电量的稳态值。感短路求其它电量的稳态值。dt2.激励是正弦电压激励是正弦电压l 设设 us Umcos(w wt+ + u)LdiLdt+ + RiL Umcos(w wt+ + u)LRt t t0+ +us+ +- -+ +- -uLRLi+ +- -uR其通解为：其通解为

46、： iL= iL+ iL其中其中 iL 为其特解，为其特解， iL为其为其对应的齐次微分方程通解。对应的齐次微分方程通解。l先求先求iL 特解的形式：特解的形式：iL Imcos(w wt + +q q )+RImcos(w wt+ +q q )- -w wLImsin(w wt+ +q q ) Umcos(w wt+ + u)则则 LdiL+ + RiL Umcos(w wt+ + u)cos()sin()cos(um w wq qw ww wq qw w+ + + +- -+ +tUtLtRIm则由则由KVL得得整理得整理得)cos()sin()cos(um w wq qw ww wq q

47、w w+ + + +- -+ +tUtLtRIm)cos()sin()()cos()()(u222222m w wq qw ww ww wq qw ww ww w+ + + + +- -+ + + + tUtLRLtLRRLRIm)cos()sin(sin)cos(cos)(u22m w wq qw w q qw w w w+ + + +- -+ + + tUttLRImcos(w wt+ +q q + + )2222)(sin ,)(cosLRLLRRw ww w w w + + + + 其中其中22)( LRZw w+ + 令令)cos()cos(um w w q qw w+ + + +

48、+ tUtZIm则则um q q + + ，mUZI|Z|Um因此特解：因此特解：iL Imcos(w wt + +q q ) cos(w wt + + u- - )|Z|Um特解：特解：iL Imcos(w wt + +q q ) cos(w wt + + u- - )|Z|UmiL cos(w wt+ + u- - )+ + A e- -t tt由由iL(0+ +) 0定出：定出：A - -|Z|Umcos( ( u- - ) )|Z|UmiL cos(w wt+ + u- - )- - cos( u- - ) e|Z|Um- -t tt稳态分量稳态分量iL是与外施是与外施激励激励同频率同

49、频率的正弦量的正弦量暂态分量暂态分量iL随时随时间的增长间的增长衰减为零衰减为零。l再求再求iL iL+ iL = A e- -t ttLRt t us+ +- -+ +- -uLRLi+ +- -uRuR R iLuL LdiLdt则则讨论讨论(1)若若 u- - 90o， toi i i(2)若若 u ，则：，则：iL |Z|Umcosw wt e- -t tt|Z|Um- -则则 iL 0。 说明电路不发生说明电路不发生过渡过程而立即进入稳态。过渡过程而立即进入稳态。|Z|UmiL cos(w wt+ + u- - )- - cos( u- - ) e|Z|Um- -t ttLRt t

50、t0+ +us+ +- -+ +- -uLRLi+ +- -uRiLiLtoiL |Z|Um|Z|Um- -当当t t 很大时，很大时， iL衰减衰减极其缓慢。极其缓慢。稳态振幅稳态振幅过渡中的最大瞬时值过渡中的最大瞬时值iL |Z|Umcosw wt e- -t tt|Z|Um- -此时闭合此时闭合 S，约过半个周期，约过半个周期， iL的最大瞬时值的最大瞬时值(绝对值绝对值) 将将接近稳态振幅的两倍。接近稳态振幅的两倍。RL 串联电路与正弦电压接通串联电路与正弦电压接通后，在一定初值条件下，电路后，在一定初值条件下，电路的过渡过程与的过渡过程与S动作时刻有关。动作时刻有关。LRt t t0

51、+ +us+ +- -+ +- -uLRLi+ +- -uR7- -4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 换路后电路的换路后电路的初始状初始状态不为零态不为零，同时，同时又有外又有外加激励源加激励源所引起的响应所引起的响应，故为全响应。，故为全响应。duCdtRC+ + uC US0)0(UuC + +SCUu )(uC(0+ +) uC(0- -) U0uC US + (+ (U0 - - US) ) et t- -t解得：解得：初始值初始值:稳态值稳态值:1.RC电路的全响应电路的全响应t ttCCCeuuu- -+ +- -+ + )()0()(RUiL0)0( + +初始值初始值:稳态

52、值稳态值:iLRUiSL )(SLUtiLRi + +ddLiL(0+ +) iL(0- -) U0 /RtSSL)eRURU(RUi- - -+ + 0t0uCUSU0U0US曲线形状曲线形状t ttSSCeUUUu- - -+ + )(0t ttLLLeiii- -+ +- -+ + )()0()(2022年5月3日星期二61全响应全响应稳态值稳态值暂态值暂态值uC US + ( + (U0 - - US) ) e1.着眼于两种工作状态着眼于两种工作状态 + +二二.全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式强制分量强制分量自由分量自由分量t t- -t零状态响应零状态响应零输入响零输入响应

53、应2.着眼于因果关系着眼于因果关系全全响响应应 + + uC US ( (1 - - e ) )t t- -t+ + U0 et t- -t看成是稳态分量看成是稳态分量( (强制强制分量分量) ) 与暂态分量与暂态分量( (自由自由分量分量) ) 之和。之和。此种分解方式此种分解方式便于叠加便于叠加计算计算，体现了线性电，体现了线性电路的叠加性质。路的叠加性质。2022年5月3日星期二62可见：一阶电路的响应由可见：一阶电路的响应由初始值初始值、稳态值稳态值和和时间时间常数常数三个要素决定。三个要素决定。uC t ttCCCeuuu- -+ +- -+ + )()0()(三三.一阶电路分析方法

54、一阶电路分析方法-三要素法三要素法t ttLLLeiii- -+ +- -+ + )()0()(iL 在恒定激励下在恒定激励下f(t) f( ) + + f(0+ +) - - f( )et t- -tf(t) f( ) + + f(0+ +) - - f( )el f(0+ +)是初始值，用是初始值，用t 0+ 的等效电路求解。的等效电路求解。l f( )是是稳态值，稳态值，用用t的稳态的稳态电路求解。电路求解。t t- -tl t t 是时间常数，是时间常数，t t = R Ct t = L/R2022年5月3日星期二 经典法经典法 列写电路的微分方列写电路的微分方程，求解电流和电压。程，

55、求解电流和电压。是一种在是一种在时时间间域域中进行中进行的分析方法。的分析方法。 典型电路分析法典型电路分析法 记住一些典型电路记住一些典型电路(RC串联、串联、RL串联、串联、 RC并联、并联、 RL并联等并联等) 的分的分析结果，在分析非典型析结果，在分析非典型电路时可以设法套用。电路时可以设法套用。 一阶电路的分析方法一阶电路的分析方法 三要素法三要素法 只要知道一阶电路的三只要知道一阶电路的三个要素，代入一个公式就可个要素，代入一个公式就可以直接得到结果，这是分析以直接得到结果，这是分析一阶电路一阶电路的最有效方法。的最有效方法。任意任意NSuCC+ +- -iS(t 0)SUS+ +

56、- -(t 0)+ +- -uCRCi典型电路典型电路则其零状态响应为则其零状态响应为 tCetu- - - 510)(teA- - -1010 .teB- -+ +1010 .te- -5 .Cte- -5- .Dl已知已知RC电路全响应为电路全响应为 电路如图，电路如图，t=0时合上开关时合上开关S，合，合S前电路已处于前电路已处于 稳态。试求电容电压稳态。试求电容电压uC和电流和电流i2、iC。解：解：(1)uC2m mFS9mA6kW W3kW Wt=0C R- -+ + uCiCi29mA6kW W R- -+ + uC(0- -)求初始值求初始值求稳态值求稳态值求时间常数求时间常数

57、uC(0+) uC (0)V5469 RC t ts363104102103636- - - + + (33 + + - -CuVe3618e )1854(182503104ttCu- - - - -+ + - -+ + t ttCCCeuuu- - - -+ + + )()0()(tuCiCCdd Ae018. 0t250- - - (3) iCVe3618250tCu- -+ + 2m mFS9mA6kW W3kW Wt=0C R- -+ + uCiCi2(2) i2mAe126250t- -+ + 32103 Cuit250e )250(361026- - -

58、- -369CCCuui- - - 或或2022年5月3日星期二68例例2：电路如图，求：电路如图，求t0 时的时的uL。SiL+ +- -2AuL4W W2W W4W W12- -+ +8Vi1+ +- -2i10.1H解：解：(1)求初始值求初始值L短路短路iL(0- -) - - 4ASiL+ +- -2AuL4W W2W W4W W12- -+ +8Vi1+ +- -2i10.1H(t0)t=0- - iL(0+ +)t=0+ +uL(0+)=- -4iL(0+)+4 i1(0+) +2 i1(0+)而而i1(0+) + iL(0+) =2求得求得uL(0+0+) =52V(2)求稳态

59、值求稳态值(3)求时间常数求时间常数L短路短路uL() =0V方法方法1：三要素法：三要素法2022年5月3日星期二69SiL+ +- -2AuL4W W2W W4W W12- -+ +V8i1+ +- -2i10.1Hui(3)求时间常数求时间常数Req ui=10Requ =4 i + 4i+2i(4)求求uLt t ReqL 0.01s100.1uL 52e- -100t V代入公式代入公式得得uL(t) uL ()+ + uL (0+ +)- -uL () e- -t ttSiL+ +- -2AuL4W W2W W4W W12- -+ +8Vi1+ +- -2i10.1H2022年5月

60、3日星期二70方法方法2：戴维宁等效：戴维宁等效Uoc 4i1+ + 2i1Req 10W Wui解：解：iL(0- -) - - 4A iL(0+ +)求换路后的戴维宁电路求换路后的戴维宁电路=62=12Vui (4+ +4)i1+ + 2i1i1iLUoc+ +- -(t0+ +)ReqL+ +- -uL0.1HUocuL(0+ +) Uoc- - Req iL(0+ +) 12 - -10(- -4) 52VuL() 0t t ReqL 0.01s100.1uL 52e- -100t V代入三要素公式得代入三要素公式得2022年5月3日星期二71例例3：图示电路原本处于稳定状态，图示电路