理论力学 第八章 弯曲变形

1、81 概述82 梁的挠曲线近似微分方程83 计算梁的变形积分法84 计算梁的变形叠加法85 梁的刚度计算和合理刚度设计86 简单超静定梁的求解弯曲变形小结弯曲变形小结81 81 概述概述456一、挠曲线：梁变形后的轴线。一、挠曲线：梁变形后的轴线。 性质：性质：连续、光滑、弹性、 极其平坦的平面曲线。二、挠度：横截面形心沿垂直于二、挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。轴线方向的位移。 用用 “ “w w” 表示。表示。w w =w =w（x x） 挠曲线方程。挠度向上为正；向下为负。挠度向上为正；向下为负。三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“ ”

2、 ” 表示。表示。=(x)=(x)转角方程。由变形前的横截面转到变形后，逆时针为正；顺时针为负。逆时针为正；顺时针为负。四、挠度和转角的关系四、挠度和转角的关系w w =w =w（x x）上任一点处wxwdxdwtg)(wtgw w C 1xCwPABF8转角转角 ACCwB xw挠度（挠度（B82 82 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程一、曲率与弯矩的关系：一、曲率与弯矩的关系：EIMr1EIM)()(1xxr（1）二、曲率与挠曲线的关系：二、曲率与挠曲线的关系：232)(1)(1wwx rwx )(1r（2）三、挠曲线与弯矩的关系三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式

3、得wx EIM)()(xwM EIwxM00)( xw挠曲线近似微分方程的近似性挠曲线近似微分方程的近似性忽略了“Fs”、 对变形的影响。2)(w使用条件：使用条件：弹性范围内工作的细长梁。M00)( xw)(xwM EI结论：挠曲线近似微分方程结论：挠曲线近似微分方程wx)()(xMxwEI 1)()(CdxxMxwEI21)()(CxCdxdxxMxEIw 83 83 积分法计算梁的变形积分法计算梁的变形步骤步骤：（EI为常量）1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。0Aw0Bw0Dw0

4、D 右右左左CC 连续条件：连续条件：右右左左CCww 边界条件：边界条件：DPFPABCF（1 1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。（2 2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。（3 3）、在弯矩方程分段处：）、在弯矩方程分段处： 一般情况下一般情况下稍左稍右的两个截面挠度相等、转角相等。稍左稍右的两个截面挠度相等、转角相等。4、确定挠曲线方程和转角方程 。5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。EIFLLw3)(3例：例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角求图示悬臂梁自由端的挠度及

5、转角( EI=( EI=常数）。常数）。解一：解一：建立坐标系并写出弯矩方程)()(xLFxM写出微分方程并积分应用位移边界条件求积分常数)()(xLFxMwEI 12)(21CxLFwEI213)(61CxCxLFEIwFLwxx322161 ; 21FLCFLC确定挠曲线、转角方程3233)(6)(LxLxLEIFxw22)(2LxLEIFwEIFLL2)(2自由端的挠度及转角X=0, w=0 ; =0解二：解二：建立坐标系并写出弯矩方程)()(xLFxM写出微分方程并积分应用位移边界条件求积分常数)()(FxFLxMwEI 1221CFxFLxwEI213262CxCFxFLxEIwX=

6、0, w=0 ; =0确定挠曲线、转角方程3236)(xLxEIFxw222xLxEIFwEIFLLww3)(3maxEIFLL2)(2max最大挠度及转角0 ; 021CCFLwxxqLABxC解：解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程并积分应用位移边界条件求积分常数确定挠曲线和转角方程最大挠度及最大转角ql/2ql/2)(222)(22xlxqqxxqlxM21431322)126(2)32(2)(2CxCxlxqEIwCxlxqwEIxlxqwEI X=0 , w=0 ; x=L , w=0 . 例：例：求图示梁的最大挠度和最大转角 （EI=常数）)46(24)2(24323323xl

7、xlEIqwxlxlEIqxw0,24231CqlCEIqlEIqlwBALx2438453max42maxbABFaCL解：解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程并积分Fb/LFa/L例：例：求图示梁的跨中的挠度和转角 （EI=常数）x1x2)()()(22211axFxLFbxMxLFbxM左侧段（0 x1a）：右侧段（ax2L）：11131112111162DxCxLFbEIwCxLFbwEIxLFbwEI 222323222222222226)(62)(2)(DxCaxFxLFbEIwCaxFxLFbwEIaxFxLFbwEI 跨中挠度及转角确定挠曲线和转角方程应用位移边界条件和连续

8、条件求积分常数X=0 , w=0 ; x=L , w=0 . X1=X2=a ，w1=w2 ；w1=w20);(6212221DDbLLFbCC2122112122116)(66xbLLEIFbwxbLLEIFbxw)(31)(2)()(62222222222232322bLxaxbLLEIFbwxbLxaxbLLEIFbw2222424);43(4822bLLEIFbwbLEIFbwLLxxLEIaLFabLEIbLFabBA6)(;6)(两端支座处的转角两端支座处的转角讨论：讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。、此梁的最大挠度和最大转角。 LEIbLFabxwA6)(00max111max

9、1 左左侧侧段：段： 右右 侧侧 段：段：LEIaLFabLxwB6)(0max222max2 当当 ab 时时LEIaLFabB6)(max3221max1221max)(393)2(301blLEIFbwwaxbaabLxwwxx当当 ab 时时最大挠度一定在左侧段最大挠度一定在左侧段 2、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。时此梁的最大挠度和最大转角。EIFLwwEIFLLxCBA48;163max2max2ABFCLab写出下列各梁变形的写出下列各梁变形的边界条件和连续条件边界条件和连续条件.,; 02121CCCCBEBAwwLww1C截面稍左截面稍左2C截面稍右截面稍右ABFCL/

10、2L/2EABC.; 0; 0, 021CCBAAwwww84 84 叠加法计算梁的变形叠加法计算梁的变形1 1、载荷叠加：、载荷叠加：2 2、结构形式叠加（逐段刚化法）：、结构形式叠加（逐段刚化法）：)()()()(221121nnnFFFFFF )()()()(221121nnnFwFwFwFFFw 一、前提条件：弹性、小变形。一、前提条件：弹性、小变形。二、叠加原理：梁上有几个（几种）荷载共同作用的变形等于每二、叠加原理：梁上有几个（几种）荷载共同作用的变形等于每 个荷载（每种）荷载单独作用产生的变形的代数和。个荷载（每种）荷载单独作用产生的变形的代数和。三、叠加法计算的两种类型：三、叠

11、加法计算的两种类型：21例例3 3 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C 截面截面的挠度的挠度w wC C ；B B截面的转角截面的转角 B B1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解321CCCCwwww321BBBBwC1wC2wC32 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的截面的挠度和挠度和B B截面的转角截面的转角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlwC384541EIqlwC4842EIqlwC1643解解22wC1wC2wC33 3） 应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用

12、时的结果求和作用时的结果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlwwiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB23例例4 4 已知：悬臂梁受力如图已知：悬臂梁受力如图示，示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C截面的挠度截面的挠度w wC C和转角和转角 C C1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效

13、了不改变原来载荷作用的效果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均布载荷。荷。 Cw24Cw2Cw1Cw2Bw,841EIqlwC,248128234222lEIqlEIqllwwBBCEIqlC631EIqlC4832 EIqlwwiCiC384414213 3）将结果叠加）将结果叠加 EIqliCiC4873212 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截面的挠度和转角。面的挠度和转角。 aaFaaq=+例例：叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.解解、载荷分解如图

14、、由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。EIFaEIFLwFC64833EIFaEIFLFA41622EIqaEIqLwqC245384544EIqaEIqLqA32433aaqFA AC CA)6245(34EIFaEIqawwwqAFACqAFAA)43(122qaFEIa、叠加q q 0 00 0. .5 5L L0 0. .5 5L LA AB BC C例：例：叠加法求C点挠度.解解、载荷无限分解如图载荷无限分解如图、查梁的简单载荷变形表，查梁的简单载荷变形表，dbLbqdbbqdF02)(EIbLbdFwdFC48)43()(32dbEIbLqb24)43(322、叠加叠加d

15、FCqCwwEIqLdbEILbLqbL24024)43(45.00322d bdFb=+L/2qFL/2ABC例例：确定图示梁C截面的挠度和转角。解解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表EIqLEIqLwCqCq6;834L/2qL/2L/2FL/2EIFLEILFEIFLEILFwBFBF82)2(;243)2(2233EIFLLEIFLEIFLLwwBFBFCF48528242323EIFLBFCF82 DCxEIwCwEIxMwEI0)(2LBFBFw3、叠加EIFLEIqLEIFLEIqLwwwCFCqCCFCqC86;48582334L/2L/2qA AC CA=+例例：求图

16、示梁C截面的挠度。解解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表EIqLEILqwwwwCaCbCaC7685384)2(50443、叠加0;384)2(54CbCawEILqwL/2A AC CAq/2L/2(a)L/2L/2A AC CAq/2q/2(b)例例: :结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明+1w2w21www=P PA AB BL L 1 1L L 2 2C CFP PA AB BL L 1 1L L 2 2C C刚刚化化A A C C 段段FP PA AB BL L 1 1L L 2 2C C刚刚化化B B C C 段段FP PB BL L 2 2C C等价等价FP PA A

17、B BL L 1 1L L 2 2C CM等价等价Fw例例：求图示梁C截面的挠度。解解：1、结构分解如图2、查梁的简单载荷变形表L/2FL/2ABC2EIEIL/2FL/2ABC（a）=+L/2FL/2ABC（b）M=FL/2EIFLLEILFLEILFEILFLEILFLwwEIFLEILFwBbBbCbCa48322)2(2)2(2)2()2(22)2(2)2(33)2(2243)2(32333、叠加EIFLEIFLEIFLwwwCbCaC48348724333=+A AB BL La aC Cq qqaqaA AB BL L C CM=qa2/2（b）例例：求图示梁B截面的挠度（EI已知

18、）。已知）。解解：1、结构分解如图2、查梁的简单载荷变形表3、叠加B B C Cq q（a）EILqaaEILqaawEIqawCbBbBa63)21(;8324EILaqaEILqaEIqawwwBbBaB24)43(68334例：例：拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求 B 截面的垂直位移。分析分析：B点的垂直位移由两部分组成，即：BA弯曲和CA杆扭转由A截面转角而引起。 F FBwB1FBAC CMA=FLABwB2ABAcABBBBLEIFLwww3321PACABABABGILFLLEIFL3333310105210

19、3123 . 0603410202104 . 0325 . 03 . 0603 . 0mm22. 8500300P=60NBAC C20510F331.1.刚度条件刚度条件,maxmax ww建筑钢梁的许可挠度：建筑钢梁的许可挠度：1000250ll机械传动轴的许可转角：机械传动轴的许可转角：30001精密机床的许可转角：精密机床的许可转角：500017-5其中称为许用转角；w w称为许用挠跨比。85 梁的刚度计算和合理刚度设计梁的刚度计算和合理刚度设计34、校核刚度：、设计截面尺寸；（对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外。）刚度计算刚度计算、确定外载荷。例：例：

20、下图为一空心圆杆，内外径分别为：下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mmd=40mm、D=80mmD=80mm，杆的，杆的E=210GPaE=210GPa，工程规定，工程规定C C点的点的w=0.00001w=0.00001l,B,B点的点的 =0.001=0.001弧度弧度, ,试校试校核此杆的刚度核此杆的刚度. .F F1 1A AB BC CD DF F1 1A AB BC CD DF F1 1B B C CA AB BL L 1 1 C CMF F1 1A AB BC CF F2 2D D=+=F F1 1=2KN=2KNA AB BL=0.4mL=0.4ma a=0.2=0.2C

21、 CF F2 2=1KN=1KND D0.20.2m m222216CBF L awaEI 22216BF LEI 2322111633CF L aFaFa LwEIEIEI 1133BLaFMLEIEI221163BF LFLaEIEI 解解：结构变换，查表求简单 载荷变形。3113CFawEI叠加求复杂载荷下的变形=A AB BC CP P1 1D D图图1 1F F1 1=2KN=2KNA AB BL=0.4mL=0.4ma a=0.2m=0.2mC CF F2 2=1KN=1KND D0.20.2 m m2322110.03531633CF L aFaFa LwmmEIEIEI 232

22、10.1094 10 ()163BF LFLaEIEI 弧度481244441018810)4080(6414. 3)(64mdDI 0.0010.00010.00014000.04wlm m校核刚度0.0353 Cwmmw30.1094 10 () B弧度符合刚度条件三、提高梁的刚度的措施三、提高梁的刚度的措施由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载梁的支座和荷载有关外还取决于下面三个因素：材料材料梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比成反比；截面截面梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比成反比；跨长跨长梁的位移与跨长 L 的的 n 次幂成正比次幂成正比

23、。 （转角为（转角为 n 的的 2 次幂，挠度为次幂，挠度为 n 的的 3 次幂）次幂）1、增大梁的抗弯刚度（、增大梁的抗弯刚度（EI）2、调整跨长和改变结构、调整跨长和改变结构方法方法同提高梁的强度的措施相同同提高梁的强度的措施相同注意：注意： 同类的同类的材料材料，“E”E”值相差不多值相差不多，“ j xj x”相差较大相差较大，故换故换用同类材料只能提高强度，用同类材料只能提高强度，不能提高刚度不能提高刚度。 不同类的材料不同类的材料，“E”E”和和“G”G”都相差很多（钢都相差很多（钢E=200GPa , E=200GPa , 铜铜E=100GPaE=100GPa），故可选用不同类的

24、材料以达到），故可选用不同类的材料以达到提高刚度提高刚度的目的目的。但是，改换材料，其的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变原料费用也会随之发生很大的改变！40(1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同(E210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。41选择合理的截面形状选择合理的截面形状42 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为22m

25、ax125. 08qlqlMEIqlEIqlw44max0130. 03845(2) 调整跨长和改变结构的体系43 如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为而且跨中挠度减小为22max0214. 02qlqaMMMMBACEIqlEIalqaEIalqwwC4224max616000. 01622238425(a)44而此时外伸端D和E的挠度也仅为)(207000. 02)2(224)2(84234EIqlaEIalqaaEIalqEIqawwED45 所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如

26、在悬臂梁的自由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰支座。464786 86 简单超静定梁的求解简单超静定梁的求解48C C=ABq2l2lC CAB2l2lC CABqARBRARBRCRCR. 02, 02qllRmBA,2, 0qlRmAB由平衡方程可以解出全部未知数由平衡方程可以解出全部未知数静定问题静定问题二个平衡方程，三个未知数。二个平衡方程，三个未知数。平衡方程数平衡方程数 未知数。未知数。超静定问题超静定问题.5 . 0 qlRB平衡方程数平衡方程数 = = 未知数。未知数。0cy去掉多余约束而成为去掉多余约束而成为形式上形式上的静定结构的静定结构 基本静定基基本静定

27、基。491 1、用多余约束反力代替多余约束（取、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，静定基，原则：便于计算）原则：便于计算）2 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程3 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力 计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。C C=L/2A AC CAqL/2BRc分析0CcRcqcyyy048384534EIlREIqlCqLRC85ABq2l2lC CBRABq解超静定的步骤解超静定的步骤 ( (静力

28、、几何、物理条件静力、几何、物理条件) )0Byq q 0 0L LA AB BF FBYBY=q q 0 0L LA AB BEI、几何方程解解：、建立静定基00BYBFBqBwww、由物理关系确定力的 补充方程求出多余反力EILFwEILqwBYBFBqBY3;83400038340EILFEILqBY830LqFBY00AAMAqAq q 0 0L LA AB BM A=A AB BR R B Bq q 0 0A AB B+F FBYBYq q 0 0L LA AB BC CEI、几何方程 解解：、建立静定基BCBFBqBLwwwBY0例例：结构如图，求B点反力。L LBCBCEA、补充

29、方程求出支反力EILFwEILqwBYBFBqBY3; 83400EALFLBCBYBC)3(8340EILALILqFBCBYEALFEILFEILqBCBYBY38340=q q 0 0L LA AB BR R B BEIFBYq q 0 0A AB B+=A AB BR RB BFBYq q 0 0L LA AB BC CEIL LB BC CEA例：结构如上图例：结构如上图，E=210GPa，s=240MPa，LBC=1m，ABC=1cm2, AB为矩形截面梁,b=10cm,h=30cm,L=2m，q0=20 kN/m, 求结构的安全系数。 解解：由上题可知q q0 0A AB BNB

30、C)(14.8)3(8340kNEILALILqFFBCBYNBCMx-23.72k N m1.64k N m maxmaxzABWM)(6237202MPa 弯矩如图. )(4.81108140 4MPaAFBCNBCBC94.24.81240max snFNBC确定挠曲线大致形状确定挠曲线大致形状原则：原则：1、由弯矩的正负判断挠曲线弯曲的大致形状（画弯矩图）； 2、由梁的支座处的边界条件及梁变形的连续条件判断。mm分析分析1、画M图，2、据M图、支座和变形的连续条件画挠曲线的大致形状。mxM3FFaaaMxFaFa拐点拐点xMM/32M/3 A AB BMa2aM/3aM/3aaaaF2F1R2R1xMF2aR1a设：设： F1产生变形的效果大于产生变形的效果大于F2。弯曲变形小结弯曲变形小结一、挠曲线：梁变形后的轴线。一、挠曲线：梁变形后的轴线。 性质：性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。二、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。二、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。挠度向上为正；向下为负。挠度向上为正；向下为负。三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“ ” ” 表示。表示