多元复合函数的求导法则(12)

1、整理课件1第四节第四节一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元函数的全微分的形式不变性二、多元函数的全微分的形式不变性xxufuufyd)()(d)(d微分法则多元复合函数的求导法则 第二章 整理课件2证证),()(tttu 则则);()(tttv 一、链式法则一、链式法则tt 设设 取取增增量量，整理课件3由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数 zzzuvuv zzuzvtutvtt ,dtdutu ,dtdvtv zuzvutvtt 22uv 2

2、2uvzuzvutvtt 整理课件4.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz整理课件5 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连

3、续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .整理课件6uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vzvx yz uzyu vzvy 整理课件7 类似地再推广，设类似地再推广，设),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，复合的偏导数，复合函数函数),(),(),(yxwyxyxfz 在对应点在对应点),(yx两个偏导数存在，且可用下列公式计算两个偏导数存在，且

4、可用下列公式计算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx整理课件8特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中1,dvdx 1.dwdy 把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似整理课件9例例 1 1 设设vezusin ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzx

5、u vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 整理课件10例例 2 2 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 整理课件11为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例3. 设设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxww

6、vuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff整理课件12(当 在二、三象限时, )xyarctan例4. 设设二阶偏导数连续,求下列表达式在),(yxfu 22()()uuxy 解解: 已知sin,cosryrxuryxyx极坐标系下的形式xrruxu, 则xyyxrarctan,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxyxu2ryururusincos整理课件13yuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossi

7、nyu22222)(1)()()(urruyuxuryru2rxuuryxyx整理课件14 设设函函数数),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数，则则有有全全微微分分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时时，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不变形的实质：全微分形式不变形的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性整理课件15dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvd

8、xxvvzduuz .dvvz 整理课件16 )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例 5. 利用全微分形式不变性再解例1. 解解:) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy整理课件17解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyed

9、zexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe整理课件181. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d三、小结三、小结整理课件19设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思

10、考题整理课件20思考题解答思考题解答不不相相同同.等等式式左左端端的的z是是作作为为一一个个自自变变量量x的的函函数数，而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xvu,的的三三元元函函数数， 写写出出来来为为 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 整理课件21,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 已知求.),(22xyyxf解解: 由1),(2xxf两边对 x 求导, 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf整理课件222. ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(