广东佛山南海区2020-2021学年高一上学期学业水平测试数学试题答案

1、南海区2023届高一学业水平测试数学试题一、单选题：本题共要求的.8小题，每小题5分,2020年12月40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1.如图，已知全集U(1,2,3,4,5),集合(1,3,5,则图中阴影部分表示的集合是(A.(2,4B.(1,3,5C.(1,2,3,4,51.答案：A解析：阴影部分表示的集合是(UA(2,4.2.命题xR,2x210”的否定是A.xB.R,2x2C.xD.R,2x22.答案:解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，即“D,p(x)”的否定是xD,p(x)”yf(x)的图象的是3.下面的图象中可作为函数A3.答案：D解析：根据函数的定义，对

2、于定义域中的任意D都有唯一确定的y与之对应，故选D.4.设xR,则“x25x0”是2”A,充分而不必要条件C.充要条件4.答案：BB.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件2解析：由x5x0,解得0x5,由于x|0x2(x|0x5,所以“0x2”的必要而不充分条件.5.下列函数中是偶函数，且在(0,)上单调递增的是(4A.f(x)xB.f(x)一、1C.f(x)x一xD.f(x)5 .答案：A解析：选项B,C是奇函数，选项D是偶函数，但在(0,)上单调递减，只有选项A符合题意.6 .函数y2、与y2x的图象()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C,关于原点对称D.关于直线yx对称7 .答案：C

3、解析：因为(x,丫)与(x,y)关于原点对称，所以函数y2、与y2、的图象关于原点对称.8 .定义在R上的奇函数f(x)满足f(1)0且对任意的正数a、b(ab),有幺a也0,则不等ab式工30的解集是()xA.(1,0)U(1,)B.(1,0)U(0,1)C.(,1)U(1,)D.(,1)U(0,1)7 .答案：C解析：因为任意的正数a、b(ab)，有f(a)f(b)0成立，所以函数f(x)在(0,)上单调递减，abf(x)又f(1)0,作出函数yf(x)的图象如图所不，由0可知当x0时，f(x)0,当x0时，xf(x)f(x)0.由图可知不等式0的解集是(，1)U(1,).x8 .高斯是德

4、国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设xR,用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数.例如：3.54,2.12,已知函数f(x)xx则下列选项中，正确的是()A.f(x)的最大值为1,没有最小值B.f(x)的最小值为0,没有最大值C.f(x)没有最大值，没有最小值D.f(x)的最大值为1,最小值为08 .答案：B解析：函数f(x)xx的图象如图所示，有图可知，f(x)的最小值为0,没有最大值.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9 .已知哥函数

5、yx(R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是()A.函数yx的图象过原点B.函数yx是偶函数C.函数yx是单调减函数D.函数yx的值域为R10 答案：AD解析：将点(3,27)代入yx,得327,解得3,所以yx3(xR),该函数过原点，是奇函数，在R上单调递增，值域为R,故选AD.10.如图，某池塘里的浮萍面积y(单位:m2)与时间t(单位:)的关系式为ykat(kR，且k0;aA.0且a1).则下列说法正确的是(浮萍每月增加的面积都相等B.第6个月时，浮萍的面积会超过30mC.浮萍每月的增长率为1D.若浮萍面积蔓延到4m2,6m2,9m2所经过的时间分别为10.答案：BCD解析：将(

6、1,1),(3,4)分别代入ykat,得ka1Q,解得ka3411一，a2O2,iy12tt1、一1过点0,-,(1,1),(2,2),(3,4),(4,8)，浮河每月增加的面积不相等，当2t6时,y253230,每月浮萍的面积是上个月的2倍，增长率为1,若浮萍面积蔓延到4m2,6m2,9m2所经过的时间分别为白达心，则2t14,2t216,2t39,因为4962,1t,123(2t21)2,t11t312(t21),即t1t32t2.11.已知a0,一1A.ab<一411.答案：ABDb0,1,解析:(aabw一b)24B.2aC.log2a1,当且仅当1,_,一时取等号，故2正确;因

7、为a0,b(1,1),所以2abB正确;log2a10g2b110g2(ab)<10g2-42,所以C错误;ab1)>4,abab1一八一正确，故选4ABD12.对任意两个实数a,b,定义mina,ba,b,a<b，若f(x)2x2,g(x)x22卜列关于函数F(x)minf(x),g(x)的说法正确的是A,函数F(x)是偶函数B.方程F(x)0有两个实数根C,函数F(x)在(板,0)上单调递增，在(0,扬上单调递减D.函数F(x)有最大值为0,无最小值12.答案：ABD解析：作出函数yF(x)的图象如图所示，由图可知,函数F(x)是偶函数，方程F(x)0有两个实数根函数F(

8、x)在(72,0)上单调递减，在(0,J2)上单调递增.函数F(x)有最大值为0,无最小值.故选ABD.5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.求值:1log41616213.答案：61解析：log416162246.14.若关于x的不等式2x2axaw0的解集为，则实数a的取值范围是.14.答案：0a1解析：由题意可知,(2a)224a4a4a0,解得0a1.15.用二分法计算f(x)x3x2解析：vf(1.375)f(1.4375)0,且1.43751.3750.1,故近似解x0(1.375,1.4375)，可取x01.4.f(1)2f(1.5)0.

9、625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.4375)0.162f(1.40625)0.0542x2的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下:0.1)可取为.那么方程x3x22x20的一个近似解(精确度为15.答案：1.41,小明同学不知道为什么，请你帮他解释16.logax中的x,a要分别满足x0,a0且a16 .答案：由ayx,，得logaxy，在两式中a,x相同，在中有a0且a1,又对任意的实数y,ay0,即x0.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17 .(本题满分10分)设函数f(x)J2x3的定义域为集合M,不等式

10、x24x30的解集为N.(1)求集合M,N；(2)求集合MnN,MUN;(3)写出集合(M|N)与(MUN)的关系.17.解析：(1)丫函数f(x)J2x3的定义域为集合M,由2x3>0,333信x),Mxx>，2分22由x24x30得x3或x1,Nx1或x3,3分3一.一一.(2)，Mxx>3,Nx1或x3,MQNx|x3,6分23MUNxx1或x一.8分2(3)(MhN)(MUN).10分18.(本题满分12分)已知f(x)x.(1)求证f(x)在0,)上是增函数;(2)a,bR,猜想b-与ab的大小关系;2证明你的猜想的结论；求函数x2x1(0x1)的最值.18.(1)

11、x1，x20,)且x1x2，f(x1)f(x2)x20,x1f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在0,)是增函数(2)a1,b5.ab3,a2b2ab-,而-,知*,222.22b时,a2b2ab22'22ab、ab才22方法2:如图，点A(a2*,0),B(b2,0)，点E是AB的中点E2b2a,0,ACAB,BDAB,2EFAB,EF交CD于点G,a2b2efEG由图知22i)a_A2b22(a2b2)(ab)22(a2b2)b22aba2b22ab0,ab-2-10分2x22x12_2x2x1xT22(1x)x1xx1当且仅当1,一时等号成立，所以2x2x

12、的最小值为1,无最大值.12分解法二:x2所以x2x1，一的取小值为212分19.(本题满分12分)若函数f(x)(1)(2)写出函数f(x)的值域、单调区间;在给定的平面直角坐标系中画出函数f(x)图象;(3)(3)10分一1_一一解x2x2,得x5,由图知原不等式的解集为x|x0或x5.12分10分12分10分由2x2x,得x0,由图知原不等式的解集为x|x0.12分20.(本题满分12分)人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：yyoert,其中t表示经过的时间，y0

13、表示t0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数大约分别为5.5亿和6.7亿.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在19501959年期间的具体人口增长模型.(精确到0.0001)(2)以(1)中的模型作预测，大约在哪一年我国人口总数达到13亿？(参考数据：ln674.2047,ln554.0073,ln132.5649,ln6.71.9021,ln5.51.7047)20.解析：(1)由题意知y05.5,设19501959年期间的我国人口的年平均增长率为r,根据马尔萨斯人口增长模型，当t9时，y6.7,2分&#

14、187;9r9r6.767有6.75.5e即e一，3分5.55567两边取自然对数得9rlnln67ln554.20474.00730.1974,4分55即r0.197490.0219.5分因此，我国在19501959年间的具体人口增长模型为y5.5e0.0219t,t0,9.6分(2)将y13代入y5.5e0.0219t,得135.5e0.0219t,7分0.0219t1313即e，0.0219tln一ln13ln5.52.56491.70470.8602,5.55.5从而t0.86020.021939.28.10分从而195039.281989.28,11分故大约在1990年我国人口总数达

15、到13亿.12分注：如果答1989年扣1分.-2x121.(本题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数.2a2(1)求实数a的值；若对任意的x1,2,不等式f(x2mx)f(x24)0成立，求实数m的取值范围.一2x1口21.解析：(1)由题意得：函数f(x)一是奇函数，定义域为R.1分2a211f(0)0,-0,得a1.3分1 a2经检验，a1时，f(x)是奇函数.4分xx2x12x1111111一(2)f(x)一一1一一,任取Xi,x2R,且Xix2,2x122x122x1222x1112为2丝2x212为1(2*1)(2x21)'1)(2x21)0,f(xjf(X2)0

16、,f(xjf(x2),故f(x)在R上单调递增.6分则f(x1)f(x2)12*112x212x2,2为2x20,又(2为对任意的xR,不等式f(x2mx)f(x24)0成立，即f(x2mx)f(x24),又因为f(x)是奇函数，所以f(x2mx)f(x24),8分2 4所以2xmx40,即m2x一恒成立，10分x因为2x4>284丘(当且仅当xJ2时等号成立)，11分x所以m2x44应12分xmin22.(本题满分12分)如图，4OAB是边长为2的正三角形，记4OAB位于直线xt(t0)左侧的图xt形的面积为f(t).(1)求函数f(t)解析式;(2)画出函数yf(t)的图象;(3)当

17、函数g(t)f(t)at有且只有一个零点时，求a的值.22.解析：(1)当0t01时，f(t)t2,2t02时，f(t)芯(2t)2,22时,所以f(t)32t,2-、33(22、，3,0t<12一t),1t<2(2)画图象(3分)，如图0.5(3)当1t02时，直线yata1也逆时针旋转时与f(t)图象有两个交点，相切时有一个交点,2且与射线y忑(t2)无交点.此时-.3史2(2t)2at0,所以t22.34at20,3所以80,解得2邪褥或a2邪旗.2,3t22,2t0,解得t4在(1,2内.2,3、.6时,t22.2t0,t丘不在(1,2内,t01时,g(t)刍2at,2,、32八2a由g(t)tat0,解得t-j=,3因为0t01,所以02a彳口、3w1,即0a<,32当a'yat过点1,(2,J3)这两点都在f(t)的图象上,2当0a近时，直线2yat与射线ym(t2)有一个交点,当a00或a2恋J6时，直线yat与f(t)的图象无交点,12分所以a2.3、6.3t2at,20t<1另法：设g(t)若g(t)(ii)若g(t)(iii)若g(t)综上所述，当个零点.f(t)乌22at