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文档简介

1、第六讲立体几何新题型的解题技巧考点1点到平面的距离ABC 一 Ai Bi Ci 的所有棱长都例1 (2007年福建卷理)如图,正三棱柱 为2,d为cg中点.(I)求证: AB丄平面A BD ;(H)求二面角 A _A D -B 的大小;(山)求点C到平面ABD的距离.例2.( 2006 年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥 P-ABCD与 Q-ABCD的高分别为 1和 2,AB=4.(I )证明PC丄平面ABCD(II )求异面直线AQ与PB所成的角;(m)求点P到平面QAD的距离.考点2异面直线的距离例3已知三棱锥S - ABC,底面是边长为4 2的 正三角形,棱SC的长为2,且垂直于底面.E、

2、D 分别为BC、AB的中点,求CD与 SE间的距离.考点3直线到平面的距离例4.如图,在棱长为2的正方体ACi中,G是AA的中点,求 BD到平面GBiDi的距离.1DB考点4异面直线所成的角例5 (2007年北京卷文) 如图,在RtA AOB中,OABJ,斜边AB=4 . Rt AOC可以通6过Rt AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B AOC的直二面角.D是AB的中点.(I )求证:平面COD _平面AOB ;(II )求异面直线AO与CD所成角的大小.例6. (2006年广东卷)如图所示,AF、DE分别 是O O O 01的直径.AD与两圆所在的平面均垂直,AD= 8,BC 是OO的直

3、径,AB= AO 6,OE/AD. (I )求二面角B- AD F的大小;(II)求直线BD与EF所成的角.侧面SBC_底面ABCD .已考点5直线和平面所成的角 例7. (2007年全国卷I理) 四棱锥S 一ABCD中,底面ABCD为平行四边形, 知/ ABC =45:',AB =2, BC =2. 2, SA=SB 二 3 .(I)证明 SA_BC ;(H)求直线SD与平面SAB所成角的大小.考点6二面角 例8. (2007年湖南卷文) 如图,已知直二面角-PQ-1 , A PQ , B -,BAP =45,直线CA和平面所成的角为30 .(I )证明BC丄PQ ;(II )求二面

4、角BAC P的大小.例9. ( 2006年重庆卷)如图,在四棱锥P- ABCD*=中,PA丄底面 ABCD/ DAB为直角,AB| CDAD=CD=2AB, E F分别为 PC CD的中点.'"(I) 试证:CD平面BEF(H)设PA= k AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30 ,求k的取值范围.考点7利用空间向量求空间距离和角例10. (2007年江苏卷)如图,已知ABCDABGDi是棱长为3的正方体,点E在AAi上,点F在CCi上,且AE二FCi =1 .(1) 求证:E, B, F, Di四点共面;(2) 若点 G 在 BC 上, BG =2,点 M 在 BBi上

5、,3GM丄BF ,垂足为H,求证:EM丄平面BCCiBi ;(3)用二表示截面EBFDi和侧面BCCiBi所成的锐二面角的大小,例11. (2006年全国I卷)如图,11、12是互相垂直的两条异面直线, MN是它们 aMi的公垂线段,点 A B在11上,C在12上,AM=MB=MN b(I )证明 AC_NB(II )若 ACB =60,求NB与平面ABC所成角的余弦值考点8简单多面体的有关概念及应用,主要考查多面体的概念、 性质,主要以填空、选择题为主,通常结合多面体的定义、性质 进行判断.例12 .如图(1),将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去 一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个

6、无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最DBG所成角的度数为(GDFE例13 .如图左,在正三角形ABC中,D E、F分别为各边的中点,G H I、J 分别为 AF、AD BE DE的中点,将aABC沿 DE EF、ACDF折成三棱锥后,A 90B、60°、45DiCiCA例 14.长方体 ABCD- A1B1C1D中, 设对角线D1B与自D1出发的三条棱分别成求证:C0S2 a + C0S2 B + cos2 = 1 设DIB与自D1出发的三个面成 a、B、cos2 a + cos2 B + cos2 = 2考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算例 15.如图

7、,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB= 2a, BC= CA= AA1a,A1在底面 ABC上的射影O在AC上 求AB与侧面AC1所成角; 若O恰好是AC的中点,求此三棱柱的侧面积.例16.等边三角形ABC的边长为4, M N 分别为AB AC的中点,沿AMN折起, 使得面AMh与面MNC所成的二面角为30°, 则四棱锥A MNCB勺体积为 ()A、3B、三 C 、.32 2例17.如图,四棱锥 ABCD中,底面是一个矩形,AB= 3, AD=1,又 PAI AB PA= 4,Z PAD= 60 求四棱锥的体积; 求二面角P- BC- D的大小.Ar0R01例18 .(2006

8、年全国卷H)已知圆 01是半径为R的球O的一个小圆,且圆01的面积与 球O的表面积的比值为2,则线段001与R9的比值为A.C.2.直线a与平面:成二角,内与a异面的任意直线,则B.a与b所成的角()BiDBA. 最小值二,最大值二-二B.最小值二,最大值C.最小值二,无最大值D.无最小值,最【专题训练与高考预测】一、选择题1. 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C中,已知 AB=1, D在BB1上,且BD=1若AD与侧面AA1CC所成的角为,贝的值为3丄v10 arcta n4大值丄43 .在一个45的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成45角,则此直线与二面角的另一平面所成的角为()A

9、. 30B. 45C. 60D. 904.如图,直平行六面体iAB BAD = 60,则对角线 A1C与侧面DCC1D所成的角的正弦值为()A. -B.22C.2D.- 3245 .已知在 MBC中,AB=9 AC=15 Z BAC=120。,它所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都是14,那么点P到平面ABC的距 离为()A. 13B. 11C. 9D. 76 .如图,在棱长为3的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M N分别是棱 A1B1、A1D1的中点,贝V点B到平面AMN勺距离是()A. 9B.32C.D. 27. 将.QMN =60 ,边长MN=菱形MNP(沿对角线NC折成60的

10、二面角,则MP与NQ间的距离等于()336A.aB.aC.a244D=a48. 二面角 一I - 1的平面角为120,在内,AB_l于B, AB=2,在1内,CD_l于D, CD=3,BD=1, M是棱I上的一个动点,则 AM+C啲最小值为()B. 2 2C. , 26A. 2 5D. 2 69. 空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于 a,动 点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则P与Q的最短距离为()A.laB.2 a3C.222D. a10.在一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为a,现有一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为()A

11、. (、2.6)a B.6a C.(1. 3)a D.213a211. 已知长方体 ABCD-A1B1C1D中,A1A=AB=2若棱 AB上存在点P,使Df 一 PC,贝U棱AD的长的取值范围是()A. 0,11 B.0, 2】 C.0,2】 D.1,2 112. 将正方形ABCC沿对角线AC折起,使点D在平面ABC外,则B. 45DB与平面ABC所成的角一定不等于()A. 30C1C二、填空题1.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D的棱长为1, E是A1B1的中点,则下列四个命题: E到平面ABC1D的距离是1 ;2 直线BC与平面ABC1D1所成角等于45 ; 空间四边形ABCD1在正方

12、体六个面内的射影围成 面积最小值为-;2 BE与CD1所成的角为10CiC你认为正确的一个答案即可)2. 如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, P是 AD1C1 上的动点,E为CD上的动点,四边形 ABCD满. 足时,体积Vpeb恒为定值(写上 J AB3 .边长为1的等边三角形ABC中 ,沿BC边高线AD折起,使得折后二面角B-AD-C为60° ,则点A到BC的距离为,点D到平面ABC的距离为.4. 在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm 的细绳,AM BN AB的长度为60cm 在MN处挂 长为60cm的木条,MN平行于横梁,木条的中点为 O若木条绕过0的铅垂线旋转6

13、0°,则木条比原来升高了5. 多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体 的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧,正方体上与 顶点A相邻的三个顶点到:的距离分别是1、2和4. P是正方体其余四个顶点中的一个,则 P到平面的距离可能是:3;4;5;6:7.以上结论正确的为(写出所有正确结论的编号)6. 如图,棱长为1m的正方体密封容器的三个面 上有三个锈蚀的小孔(不计小孔直径)01、02、03它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器,容器存水的最大容积是m3.三、解答题1.在正三棱柱 AB( A1B1C1中,底面边长为a,D为BC为中点,M在 BB1上,且 BMB1M 又

14、CML AC1;3(1) 求证:CML C1D;(2) 求AA1的长.2.如图,在四棱锥 P-ABCD中,底面是矩形且 AD=2 AB=PA=2, P从底面 ABCD E 是AD的中点,F在PC上.(1)求F在何处时,EF丄平面PBC 在(1)的条件下,EF是不是PC与AD的公垂线段.若是,求出公垂线段的长度;若不是,说明理由; 在(1)的条件下,求直线 BD与平面BEF所成的角.3. 如图,四棱锥S ABCD勺底面是边长为1的正方形,SD垂直 于底面ABCD SB=3 .(1)求证 BC_SC;(2) 求面ASD与面BSC所成二面角的大小;(3) 设棱SA的中点为M求异面直线DM与 SB所成角的 大小.4. 在直角梯形 ABC中, D D=D BAD=90 ,AD二DC=.AB=a,(如图一)2将厶ADC沿AC折起,使D到d .记面ACd

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