4.08晚4.09招聘笔试数学系统班理论精讲--统计与概率1.2.81

1、教师招聘理论精讲统计与概率主讲：薄梓暄粉笔教师招考粉笔教师6.（2017年解答）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PD底面ABCD，点E在棱PA的中点，PD=DA=1,（1） 求证：PC平面BDE；（2） 求三棱锥B-PDE的体积。7.（2017年山东菏泽解答）在三棱锥P-ABC中，PAAC，PCBC，M为PB的中点，D为AB的中点，且 𝐴𝑀𝐵 为正三角形，BC=4，PB=20。(1) 求证：DM平面PAC；(2) 求证：平面PAC平面PBC ；(3) 求三棱锥M-BDC的体积；球面：(xx0)2(yy0)2(zz0)R2柱面：x2y2

2、R2圆锥面：z±𝑥2𝑦2𝑐𝑜𝑡𝛼，或z2a2(x2y2)，其中acot。椭球面： 𝑥2 𝑦2 𝑧2 1(a,b,c>0)𝑎2𝑏2𝑐2双曲面：单叶双曲面：𝑥2 𝑦2 𝑧2 1(a,b,c>0)𝑎2𝑏2𝑐2双叶双曲面：𝑥2 𝑦2 𝑧2 1(a,b

3、,c>0)𝑎2𝑏2𝑐2抛物面：椭圆抛物面𝑥2 𝑦2 2𝑧(p,q>0)𝑝𝑞双曲抛物线𝑥2 𝑦2 2𝑧(p,q>0)𝑝𝑞1. （ 2016 年湖南 单选） 在空间直角坐标系中， 方程𝑥2 𝑦2 𝑧2 1表示的图像是（ ）𝑎2𝑏2𝑐2A.单叶双曲面B. 双叶双曲面C. 锥面D.抛物

4、面u 内容导视与考情分析考点分布计数原理：选择题、填空题统计名词：选择题第一节计数原理一、分类与分步思想（一）分类思想（加法原理）重在分类,不重不漏技巧：事情做完，一步到位用加法第一节计数原理一、分类与分步思想（二）分步思想（乘法原理）重在分步，步骤完整m · n技巧：事情做完，几步到位用乘法1.（2016年江西·单选）把一张100元的换成零钱，现）种换法。有足够的10元、20元、50元，共有（A. 40B. 30C. 20D. 103. （2017年江西·单选）有5张卡片，上面的数字分别为0，4，5，6，7，从中抽出了3张组成三位数，其中是4的倍数的有（）个。A

5、. 11B. 12C. 13D. 15第一节计数原理二、排列从n个不同的元素中，取m个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取m个元素的一个排列。排列数：𝑨𝒎𝒏𝒏!公式：𝑨𝒎n(n1)(nm1)(m,nN,mn)𝒏𝒏𝒎 !规定：0!1第一节计数原理三、组合从n个不同元素中取m个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取m个元素的无重组合。组合数：𝑪𝒎𝒏公式：𝑨w

6、950;𝐧(𝐧𝟏)(𝐧𝐦𝟏)𝒏!𝑪𝒎 𝒏 (m,nN,mn)𝒏𝑨𝒎𝒎 𝒎𝟏 𝟐𝟏𝒏𝒎 !𝒎!𝒎𝑪𝟎𝑪𝒏1；𝑪𝒎𝑪𝒏

7、19950;𝒏𝒏𝒏𝒏技巧：排组分清，加乘明确应用组合，组合数公式排列，排列数公式两个计数原理2. （2017年·单选）从4名男生和3名女生中任选3人组成一个志愿队，要求男、女生都有，不同的组队方案数为（ ）A30B. 35C. 60D. 210法/插空法4.（2015年·单选）若6位同学站成一排，其中甲、乙两位同学相邻站立，则不同的站法有（）A. 120B. 240C. 360D. 720元素优先法5.（2017年河北·单选）从10种不同的作物中选出6种放入6个不同不能放入第1号瓶内，那么不同的瓶子中

8、展出，如果甲、乙两种的放法共有（）A. 𝐶2 𝐴4种B. 𝐶1𝐴5种C. 𝐶1𝐴5种D. 𝐶1 𝐴5种1089989886. （2017年江西·单选）现有12本不同的书籍，其中数学、语文、英语、物理各3本，从中任取3本，要求3本书不能是同一学科的书籍，且数学书至多1本，则不同的取法种数是（）种。A. 135B. 172C. 189D. 169第一节四、二项式定理计数原理(ab)n𝑪𝟎an𝑪𝟏an

9、1b1𝑪𝒓 anrbr𝑪𝒏bn(n，rN*)𝒏𝒏𝒏𝒏特征：（1）组合数𝑪𝒓 为第r1项的二项式系数𝒏（2）项数：二项展开式共有n1项（3）二项式展开式第r1项的通项：T𝑪𝒓 anrbr(r0,1,2,n)𝒏r1如在(axb)n的展开式中，第r1项的二项式系数为𝑪𝒓 ，第r1项的x𝒏系数为𝑪𝒓 a

10、nrbr；𝒏而(x𝟏)n的展开式中的系数就是二项式系数𝒙二项式系数的和：C0C1×××nn7. （2017年福建·单选）（3x+𝑥）4的展开式中x3的系数是（）A12B. 27C. 36D54·单选）设(𝑥 1 )𝑛的二项式展开式中第四项为常8.（2016年𝑥2数项，则n的值为（）A.6B. 8C.9D.12第二节统计名词一、统计量10,23,11,2,5,7,3,2平均数：𝒙 𝟏(x x x )12n

11、𝒏众数: 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。中位数: 将一组数据按大小（小大）依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。2.（2015年·单选）某市5月某一周每天的最高气温（：）统计如下：30, 32, 28, 30, 24, 29, 27，则这组数据的中位数与众数分别是（A30,29）。B. 29,30C. 30,30D. 30,323. （2017年江西·单选）样本a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7 , a8 , a9，a10的平均数为3. 5，那么a1，a2，a3，a4，a5，a6，a

12、7 , a8 , a9，a10，10，15的平均数为（）D. 9.5A. 3.5B. 5C. 8第二节统计名词一、统计量方差与标准差：在一组数据x1,x2,xn中，各数据与它们的平均数𝒙的差 的平方的平均数叫做这组数据的方差，通常用“s2”表示。方差反映了这组数据的波动情况。标准差的平方是方差。𝟏𝒙) (x 𝒙(x 𝒙)2s (x22) 212n𝒏1.（2016年于。·单选）一组数据4，1,0,2,8的方差等第二节统计名词一、统计量频数：落在各个小组内的数据的个数频率：每一小组的频数与数据

13、总数（样本容量n）的比值叫做这一小组 的频率。极差:一组数据中最大值与最小值的差。可以表征数据的离散程度。5. （2015年浙江·单选）一个容量为100的样本分成若干组，已知某组的频率为0.3，则该组的频数是（）A3B. 30C. 10D. 300第二节二、抽样方式（一）基本概念统计名词1.总体：所有对象的全体叫做总体。2.：总体中每一个对象叫做。叫做总体的一个样本。3.样本：从总体中所抽取的一部分4. 样本平均数：样本中所有5. 总体平均数：总体中所有的平均数叫做样本平均数。的平均数叫做总体平均数。第二节二、抽样方式（二）三种抽样方式统计名词方式简单随机抽样系统抽样分层抽样特点（1

14、） 总体个数有限；（2） 逐个抽取；（3） 不放回抽样；（4） 等可能抽样。数量较多（1）总体由差异明显的几部分组成；步骤（1） 抽签法；（2） 随机数表。（1） 编号；（2） 分段；（3） 等距抽取。各层抽取的比例等于样本量在总体中的比例，即 𝒏𝑵6.（2017年河北·单选）某高级中学有高一、二、三，三个年级的学生共1600名，其中高三学生400名，通过分层抽样的方法从全体 高中学生中抽取一个容量为80人的样本，应从高三年级学生中抽取的人数是（）。A10B. 20C. 30D. 407.（2016年山西·单选）某班有学生56人，王建将所有同

15、学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本还有一个学生的编号为（）。A13B. 17C. 19D. 218. （2017年江西·单选）从编号为1 60的高一某班60名学生中随机选3名同学参加体育测试，采用系统抽样的方法，则所选3名学生的学号可能是（）A. 1, 3, 5B. 5 , 25, 45C. 2, 6，10D. 4, 22, 44第二节三、统计表与统计图统计名词4.（2016年江西·单选）甲和乙人选学校的定点投篮大赛，他们每天训练后投10个球测试，命中的个数，五天后的数据绘制成折线统计图，则下列对甲、乙数据的描

16、述正确的是（）。A. 甲的方差比乙的方差小B. 甲的方差比乙的方差大C. 甲的平均数比乙的平均数小D. 甲的平均数比乙的平均数大第二节三、统计表与统计图统计名词第二节三、统计表与统计图统计名词9.（2016年江西·单选）要统计情况，应选用（ ）比较合理。A条形统计图B.折线统计图C. 扇形统计图D. 柱形统计图公园各种树木所占百分比的10.（2016年浙江·填空）某校教导处为了统计各年级学生人数，选用统计图比较合适。11. （2017年江西·单选）某校为了统计高一年级学生期终情况，特从高一年级600名学生中随机抽取部分学生，将他们的物理测试成绩分为 6 组：40,

17、 50)，50, 60)，60, 70)，70, 80)，80, 90)，90, 100）加以统计得到如图所示的频率分布直方图，据此统计，该次物理成绩及格的学生人数为（ ）A. 588B.480C. 450D. 12011. （2017年江西·解答）某为了解本地区电视的收视情(每人只填况，对部分观众开展了“你最喜爱的电视写一项)，根据收集的数据绘制下面两幅求回答下列问题：”的问卷整的统计图。请你按要(1)本次问卷共了（）名观众。(2)图2中最喜爱的“”的人数占总人数百分比为（），“综艺”在扇形统计图中所相应的圆心角度数为（）。(3) 最喜欢“体育”(4) 现有最喜爱“的人数为多少？”

18、 (记为A)，“体育”(记为B)，“综”(记为C)，“科普”(记为D)的观众各一名，艺要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用“列表法”或“画树状图”的方法，求列出抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率。u 内容导视与考情分析考点分布与概率：选择题、填空题期望与方差：选择题算法与框图：选择题第一节与概率一、概率及意义概率的意义A发生的频率𝑛 会一般地，在大量重复试验中，如果𝑚A的概率。稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做记为P（A）1. （2017年山东菏泽·填空）在抛一枚质地均匀的硬币的试验中，统计出正面向上的次数占试验总次数的50.36%，这

19、里的50.36%叫作发生的，在大量的重复试验中发现它在“正面向上”这个0.5左右摆动，这个0.5叫作“正面向上”这个发生的。第一节与概率二、随机确定必然确定和不可能的概率都称为确定当A是必然发生的当A是不可能发生的时，P（A）1时，P（A）03. （2017年江西·单选）给出下列四个命题：“三本书全部放入两个盒子，其中必有一个盒子内有一本及以上的书”是必然；“存在实数x,使(x-1)20是不可能；“明天南昌会下雨”是必然；“从男40人，女30人的70名学生中选出5人，5人都是女学生”是随机事件。其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3第一节与概率等可能1. 古典概型（

20、等可能概型）特点：所有基本性都相等有限个；每个基本发生的可能P（A）𝒎𝑨包含的基本的个数基本的总数𝒏第一节与概率等可能2. 几何概率构成𝐀的区域的几何度量（长度、面积或体积）P（A）试验所有可能结果构成的区域的几何度量（长度、面积或体积）古典概型与几何模型的主要区别：几何模型是另一种等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个。2. （2017年江西·单选）用8个球设计一个摸球，使摸到白球与摸不到白球的可能性一样大，摸到红球的可能性比摸到黄球可能性大，则可设计满足上述条件的白、红、黄的个数可能是（）。A. 4，

21、2，2B. 3，2，3C. 5，2，1D. 4，3，14. （2017年为。·填空）掷一枚，向上点数不大于4的概率5. （2017年概率是。·填空）掷两枚，向上点数之和等于5的6. （2017年江西·单选）从装有7个白球，5个黄球，3个红球的袋中任取1球，则取到的不是白球的概率为（）A. 1B. 1715D. 8C.53157. （2017年江苏扬州·填空）从2名男同学，2名女同学中选两人参加体能测试，则选到的两名同学至少有一名男生的概率。8. （2016年杭州·单选）不妨设各位数字之和为7的自然数为“幸运数”，如115,1312，等就是“幸运

22、数”，那么随手写出一个三位数，恰好是“幸运数”的可能性（）。3777A.B.C.D.2252262257509.（2016年江西·单选）同时抛掷两枚1元的硬币，正面都朝上的概率是（）。13A. 1C. 1D. 1B.245第一节间的关系与概率三、（一）相互A的发生对B的发生没有影响，同样B的发生A的发生也没有影响，则称这两个对为相互事件。记作AB或AB。A和B，则P（AB）P（A）P（B）如果第一节间的关系与概率三、（二）互斥不能同时发生的两个称为互斥。A和B互斥，则P（AB）P（A）P（B）如果（加法公式）。（三）对立中必有一个发生,则称这两个A和B对立，则P（A）1P（B）两个互

23、斥为对立如果说明：对立一定是互斥，互斥不一定对立；10. （2017年福建·单选）甲射击命中目标的概率是1，乙射击命中2目标的概率是1，丙射击命中目标的概率是1，现三人同时射击目32标，则目标被的概率是（）A12B.5C.D 143612第一节的概率与概率四、重复n次A发生的次数记为（A恰好发生k次的概率为：P（k）重复试验中，0,1,2，n），则𝐶𝑘pk(1p)nk（0kn）。𝑛一名射击运动员打靶打中的概率为 0.8，连续打靶 8 次，命中 2 次的C2 (0.8)2 (0.2)6概率为（）8一名射击运动员打靶打中的概率为 0.8，连

24、续打靶 8 次，至少命中 1 次的概率为（）1- C0 (0.8)0 (0.2)8811. （2017年山东菏泽·解答）箱子里有大小相同、质地均匀的10个球，其中白球4个和红球6个，从这十个球中连续拿五 次，每次都放回去，求其中恰有一次摸到白球的概率。12. （2017年江西·单选）A，B两人进行象棋比赛，根据A，B两人以往的比赛情况，知A取胜的概率是3，没有平局，比赛时均能发挥正常水平，则在5局3胜制中，A5打完4局才胜出的概率是（）2× 23× 23× 23× 235353535A. 𝐶2B. 𝐶2

25、C. 𝐶3D. 𝐶333455555第二节期望与方差一、随量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随量、随量常用希腊字母、等表示。理解：（1） 随（2） 随量是将随机的结果数量化。量分为离散型随量和连续型随量。（3）若是随量，则ab（其中a、b是常数）也是随量。第二节期望与方差二、离散型随量分布列离散型随量的分布列：分布列具有如下性质：（1）0pi1，i1,2,；（2）p1p11。x1x2xnPp1p2pn第二节期望与方差三、离散型随量的期望（均值）E()p1x1p2x2pnxn数学期望反映了离散型随量取值的平均水平；随量ab（其中a、b是常

26、数）的期望为E(ab)aE()b。例如：投掷一枚变量X的分布列，用X表示向上一面的点数，写出随机XP第二节量的方差期望与方差四、离散型随D()p1(x1E()2 p2(x2E()2 pn(xnE()2差反映了离散型随量取值的波动水平；随量ab（其中a、b是常数）的方差为D(ab)a2D()。第二节期望与方差(1)二项分布：n次0,1,2，n），则A发生的次数记为（重复试验中，A恰好发生k次的概率为：P（k）𝐶𝑘pk(1p)nk（0kn）。𝑛量服从二项分布，记作B(n, p)。此时称随二项分布有：E()=np；D()=np(1-p)。例如：进行射击，共射击3次，目标的概率为0.8，则其射中次数的分布列如下：XP1. （2017年江西·单选）设是服从二项分布B(60, p)的随量，若E()=15，则D(2+1)=（）452A.B. 472C. 45D. 46第二节超几何分布：在含有M件次品的N件k发生的概率为期望与方差中，任取n件，其中含有次品数记为，则𝑪𝒌 𝑪𝒏𝒌 𝑴 𝑵𝑴