第三节 格林公式

1、1第三节一、格林公式一、格林公式 三、平面上曲线积分与路径无关的三、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 第十章 二、简单应用二、简单应用2LD区域区域 D 分类分类单单连通区域连通区域 ( 无无“洞洞”区区域域 )多多连通区域连通区域 ( 有有“洞洞”区区域域 )域域 D 边界边界L 的的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成,则有则有, ),(yxP),(yxQ LDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数, LD

2、yxyQxPyxQPdddd或或一、一、 格林公式格林公式3证明证明: 1) 若若D 既是既是 X - 型区域型区域 , 又是又是 Y - 型区域型区域 , 且且 bxaxyxD)()(:21 dycyxyD)()(:21 则则yxxQDdd dcyyyQd),(2 )()(21dyyxxQ CBEyyxQd),( CAEyyxQd),( CBEyyxQd),( EACyyxQd),( dcyyyQd),(1 dcyddcyxoECBAbaD4即即yxxQDdd LyyxQd),(同理可证同理可证yxyPDdd LxyxPd),(、两式相加得两式相加得: LDyQxPyxyPxQdddd5yx

3、oL2) 若若D不满足以上条件不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割则可通过加辅助线将其分割1DnD2D nkDyxyPxQk1dd yxyPxQDdd nkDkyQxP1dd LyQxPdd为有限个上述形式的区域为有限个上述形式的区域 , 如图如图)(的正向边界的正向边界表示表示kkDD 证毕证毕6推论推论: 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的面积的面积 LxyyxAdd21格林公式格林公式 LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 椭圆椭圆 20,sincos: byaxL所围面积所围面积 LxyyxAdd21 2022d)sincos(21ababab 7xyoL例

4、例 1 1 计算计算 ABxdy,其中曲其中曲线线AB是半径为是半径为 r的圆的圆在第一象限部分在第一象限部分. 解解 引引入入辅辅助助曲曲线线L,1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分二、简单应用二、简单应用ABDBOABOAL 应应用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有8 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB 9,2 Lyxxdyydx分分计算下列第二型曲线积计算下列第二型曲线积例例, )0 , 1(为以为以L.)1, 0( , )0 , 1( , )1 , 0(取逆时针方向取逆时针方向为顶点的正方

5、形闭路，为顶点的正方形闭路， 积积分分为为故故所所计计算算的的第第二二型型曲曲线线的的方方程程为为解解,1: yxLLxdyydxI,xQyP 是时是时有有于是于是,2 yPxQxy0L.内的区域内的区域为为又又LD则所求的曲线积分为则所求的曲线积分为 DdI )2(2)2(2 4 10例例3. . 设设 L 是一条分段光滑的闭曲线是一条分段光滑的闭曲线, 证明证明0dd22 yxxyxL证证: 令令,22xQyxP 则则yPxQ 利用格林公式利用格林公式 , 得得yxxyxLdd22 022 xx Dyxdd00 11 .sin0,0的的正正向向边边界界是是域域其其中中xyxDL Lxdyy

6、ydxye.)sin()cos1(4例例)cos(),(yeyxPx 1解)sin(),(yyeyxQx )sin(yyexQx yeyPxsin DdxdyyPxQ 原式原式dxdyyeDx xxydydxesin00 02sin21dxxex 01241dxxex)(cos 0)2sin22(cos5141xxexxe 151 e12D1 Dx2cosxexexex2sin2 x24cos )sin(cosxxex222 )sin(cos)(cosxxedxexxx222512 dxexx)(cos2 dxexx)(cos24 01241dxxex)(cos 02225141 xxexxe

7、)sin(cos 151 e 13例例5. 计算计算,dd22 Lyxxyyx其中其中L为一无重点且不过原点为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线的分段光滑正向闭曲线.解解: 令令,022时时则当则当 yx22222)(yxxyxQ 设设 L 所围区域为所围区域为D,)0 , 0(时时当当D 由格林公式知由格林公式知0dd22 Lyxxyyx,22yxyP 22yxxQ yP yxoL14 dsincos2022222 rrr 2 ,)0 , 0(时时当当D 在在D 内作圆周内作圆周,:222ryxl 取逆时取逆时针方向针方向,1D, 对区域对区域1D应用格应用格 Lyxxyyx22dd l

8、yxxyyx22dd lLyxxyyx22dd0dd01 yxD lLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx记记 L 和和 l 所围的区域为所围的区域为林公式林公式 , 得得15例例6. 计算计算,dd2 Dyyxe其中其中D 是以是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域为顶点的三角形闭域 . 解解: 令令, 则则2, 0yexQP yPxQ利用格林公式利用格林公式 , 有有 Dyyxedd2 Dyyexd2yexOAyd2 yeyyd102 )1(211 exy oyx)1 , 1(A)1 , 0(BD2ye 2. 2. 简化二重积分简化二重

9、积分16格林公式格林公式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2闭闭区区域域D的的面面积积 LydxxdyA21.取取, 0 xQP 得得 LxdyA 取取, 0, QyP 得得 LdxyA）（ 3. 3. 计算平面图形的面积计算平面图形的面积17曲线曲线AMO由函数由函数, 0,axxaxy 表示表示,例例 7 7 计计算算抛抛物物线线)0()(2 aaxyx与与 x轴轴所所围围成成的的面面积积. . 解解ONA为为直直线线0 y. LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM AMOydxxdy21dx

10、xaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa 18.sincos8Abyax的面积的面积求椭圆求椭圆例例 20dbaxdyADcoscos解 dab 202cos dab 2024cos44 ab.ba ydxxdyAD 21或 2021dabba)sin(sincoscos 202dab.ba 12222 byax于是，于是， 椭圆椭圆 的面积为：的面积为：ab 19二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,),(),(yxQyxP在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿

11、D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有.0dd LyQxP(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分yQxPyxudd),(d (4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyP LyQxPdd与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:即即 (3)yQxPdd 在在 D 内是内是某一函数某一函数的全微分的全微分,),(yxu20说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设设21, LL 21ddddLLyQxPyQxP 1ddL

12、yQxP 2ddLyQxP 21ddLLyQxP0AB1L2L 2ddLyQxP 1ddLyQxP为为D 内内任意任意两条由两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线, 则则(根据条件根据条件(1) BAyQxPdd AByQxPdd21证明证明 (2) (3)在在D内取定点内取定点),(00yxA因曲线积分因曲线积分 ),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux 则则),(yxP xuxuxx 0lim),(lim0yxxPx ),(),(ddyxxyxyQxP ),(),(dyxxyxxPxyxxP ),( 同理可证同理可证yu ),(yxQ

13、因此有因此有yQxPuddd 和任一点和任一点B( x, y ),与路径无关与路径无关,),(yxxC ),(yxB),(00yxA有函数有函数 22证明证明 (3) (4)设存在函数设存在函数 u ( x , y ) 使得使得yQxPuddd 则则),(),(yxQyuyxPxu P, Q 在在 D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,xyuyxu 22所以所以从而在从而在D内每一点都有内每一点都有xQyP xyuxQyxuyP 22,23证明证明 (4) (1)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,DD (如图如图) ,上上因此在因此在D xQyP 利用利用格林公式格林公

14、式 , 得得yxxQxQyQxPLDdd)(dd DD L0 所围区域为所围区域为证毕证毕24yx说明说明: 根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内,xQyP 则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求可用积分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 内的原函数内的原函数:Dyx ),(00及动点及动点,),(Dyx yyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或或 yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为则原函数为 yyyyxQ0d),( xxxy

15、xP0d),(若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;25yA xoL例例9. 计算计算,d)(d)3(22yxyxyxL 其中其中L 为上半为上半24xxy 从从 O (0, 0) 到到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段,AOD它与它与L 所围所围原式原式yxyxyxAOLd)(d)3(22 Dyxdd4 OAyxyxyxd)(d)3(22 402dxx圆周圆周区域为区域为D , 则则3648 26例例10. 验证验证

16、yyxxyxdd22 是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求出这个函数出这个函数. 证证: 设设,22yxQyxP 则则xQyxyP 2由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使使yyxxyxuddd22 ),()0,0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(x xxx0d0yyxyd02 yyxyd02 2221yx 27例例11. 验证验证22ddyxxyyx 在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函内存在原函数数 , 并求出它并求出它. 证证: 令令2222,yxxQyxyP 则则)0()(22222 xyQ

17、yxxyxP由由定理定理 2 可知存在原函数可知存在原函数 ),()0, 1(22dd),(yxyxxyyxyxu xx1d0)0(arctan xxyoxy yyxyx022d)0 ,( x)0 , 1(),(yx28oxy)0 ,( x)0 , 1(),(yx ),()0, 1(22dd),(yxyxxyyxyxu yyy021dyxyyarctan1arctanarctan yxarctan2 xyxxy122d或或), 1(y)0(arctan xxy29例例12. 设质点在力场设质点在力场作用下沿曲线作用下沿曲线 L :xycos2 由由)2, 0( A移动到移动到, )0,2( B

18、求力场所作的功求力场所作的功W解解:)dd(2 Lyxxyrk令令,22rxkQrykP 则有则有)0()(22422 yxryxkyPxQ 可见可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. )(22yxr 其中其中LBAyox),(2xyrkF sFWLd 30:AB)dd(2yxxyrkWAB d)cos(sin2022 k)02:(sin2,cos2 yxk2 思考思考: 积分路径是否可以取积分路径是否可以取?OBAO取圆弧取圆弧LBAyox为什么？为什么？注意注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径本题只在不含原点的单连通区域内积分与路

19、径无关无关 !31内容小结内容小结1. 格林公式格林公式 LyQxPdd2. 等价条件等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.yPxQ 在在 D 内有内有yQxPuddd yxyPxQDdd LyQxPdd对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有0dd LyQxP在在 D 内有内有设设 P, Q 在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则有则有32思考与练习思考与练习1. 设设,4:,1:222412 yxlyxL且都取正向且都取正向, 问下列计算是否正确问下列计算是否正确 ? Lyxxyyx22d4d)1( lyxxyyx22d4d lxyyxd4d41Do2y1x2L

20、l D d541 5 Lyxxyyx22dd)2( lyxxyyx22dd lxyyxdd41 D d241 2 提示提示:时时022 yxyPxQ )1(yPxQ )2(332. 设设, )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu ).,(yxu求求提示提示: ),(dyxuxxyxd)4(34 yyyxd)56(422 ),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04 yyyxyd)56(0422 C 551x 322yx Cy 5xxyxd)4(34 yyyxd)56(422 ),()0,0(yxC 34 CCCDyxoaa C 备用题备用题 1. 设设 C 为沿为沿 y

21、xaxyxaxxayCd)ln(2d22222 222ayx 从点从点), 0(a依逆时针依逆时针), 0(a 的半圆的半圆, 计算计算解解: 添加辅助线如图添加辅助线如图 ,利用格林公式利用格林公式 .原式原式 =321a aayayd)ln2( D222xaya 222xay yxdd C 到点到点35D2. 质点质点M 沿着以沿着以AB为直径的半圆为直径的半圆, , 从从 A(1,2) 运动到运动到 Dyxdd2点点B(3, 4),到原点的距离到原点的距离,解解: 由图知由图知 故所求功为故所求功为AByxxydd AB BA AB xxxd)1(31 22 锐角锐角,其方向垂直于其方向

22、垂直于OM, 且与且与y 轴正向夹角为轴正向夹角为AB )dd(yxxy )1(21334 xyAB的的方方程程F求变力求变力 F 对质点对质点M 所作的功所作的功. ( 90考研考研 ) , ),(xyF F 的大小等于点的大小等于点 M 在此过程中受力在此过程中受力 F 作用作用,sFWd ),(yxMBAyxo36练练 习习 题题37二、二、 计算计算 Ldyyxdxxxy)()2(22其中其中L是由抛物线是由抛物线2xy 和和xy 2所围成的区域的正向边界曲线所围成的区域的正向边界曲线, ,并并验证格林公式的正确性验证格林公式的正确性 . .三、三、 利用曲线积分利用曲线积分, ,求星形线求星形线taytax33sin,cos 所所围成的图形的面积围成的图形的面积 . .四、证明曲线积分四、证明曲线积分 )4,3()2, 1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy在整个在整个xoy面面内与路径无