历年高中数学联赛真题分类汇编37不等式

1/2历年高中数学联赛真题分类汇编专题37不等式第六缉1．【2017高中数学联赛B卷（第02试）】设实数a、b、c满足a+b+c=0.令d=maxa,【答案】证明见解析【解析】当d≥1时，不等式显然成立以下设0≤d<1.不妨设a、b不异号，即ab≥0，那么有(1+a)(1+b)=1+a+b+ab⩾1+a+b=1−c⩾1−d>0.因此|(1+a)(1+b)(1+c)|⩾|(1−c)(1+c)|=1−c2．【2017年天津预赛】如果整数n≥2,证明:【答案】证明见解析【解析】解法一在熟知的不等式1+x≤e注意到1k2<1k2−因此,待证式左端<e注意e<2.8<8,就得到e解法二我们对n用数学归纳法证明加强的结论:k=当n=2时,假设当n=k=可见当n=因此,加强后的不等式对任意n≥3．【2017年辽宁预赛】已知x+y=1,问:当实数【答案】x=【解析】设u由已知x+y=令t=xy,则t由于u'=3t2−3,则当t因此,u在t=−1时取得最大值.即解得x=4．【2017年山东预赛】实数x,y∈1,+∞【答案】15【解析】因为xy−2x−y令fx=3令g(x)=3x3−3即y=g(x)在(1,+∞)上单调递增,又g(1)=6,所以g(x)>0在(1,+∞)上恒成立.所以y=f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以[f(x)]5．【2017年福建预赛】设a1,a2、【答案】证明见解析【解析】不妨设a1≤a2≤把区间(0,1]分成两个区间：0,12和1将①中的5个数依次围成一个圆圈,则(1)中任意三个数中都有两个数是相邻的(a1a2与即a、假设a与b相邻,则a−另一方面,由①中5个分数的分子、分母的下标特征知,围成的圆圈中,任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同.于是,a,6．【2017年四川预赛】设α,β为实数,若对任意的实数x,y,z,有αxy【答案】α的最大值是3,【解析】取x=y=z=1，有3α⩽9⩽3β，则α⩽3,β⩾3.(1)解法一先证M≥3xy因为x2=[⩾|(x+y⩾(x+y=xz+1所以M⩾∑(xz+=2≥2=3解法二注意到x2M≥≥3=3≥3=3(2)解法一再证M≤3x因为M=2≤3解法二注意到x2故M≤4=3结合(1)、(2)可知,α的最大值是3,7．【2017年陕西预赛】设a、b、c【答案】略【解析】由柯西不等式,得a故只需证明：a+b先证明:a+事实上,由均值不等式及已知,得a再证明:ab事实上,由赫尔德不等式、均值不等式及已知,得ab所以ab+于是,a+即①式成立.故原不等式成立.8．【2017年安徽预赛】设x,y∈【答案】1【解析】当x⩾y时,由于1+xy1+x当x≤y时,显然有fx由此1≤上述最后一个不等式利用了结论：当0≤t最后由f1,1=19．【2017年江苏预赛】已知x,y∈R,且【答案】1【解析】因为x2+y所以1(x+y)当x=2,y=0时，所以1(x+y)10．【2017年新疆预赛】已知正数x、y、z满足x+【答案】证明见解析【解析】由n维均值不等式,可得xnynzn三式相加得xnxn11．【2017年新疆预赛】(1)对于任意的a,b>(2)设x1,x2,【答案】证明见解析【解析】(1)由于a,b>(2)将原式变形,并运用(1)可得原式==1=1=1≤1=112．【2017年内蒙古预赛】已知：a,b,【答案】证明见解析【解析】因为a,b,c均为正实数,所以有a+因此9b所以8又因为a+b故2bc13．【2016年陕西预赛】记“∑”表示轮换对称和.设a、b、c为正实数，且满足abc=1.对任意整数n≥2，证明：∑a【答案】见解析【解析】不妨设a≤b≤c.则nb+c由切比雪夫不等式得∑a=∑(n又由幂平均不等式得13故∑a≤由已知及均值不等式得∑a≥33故∑a14．【2016年山东预赛】证明：sin1【答案】见解析【解析】原不等式等价于证明：2sin定义函数fx只需证明fx显然，f0f'=2定义函数gxg0则g'⇒gx于是，f'x故fx15．【2016年安徽预赛】证明：对任意实数a、b、c，均有a2【答案】见解析【解析】设α=则α+α+β==3据三角不等式知α+β即得所要证的不等式.式①等号成立的充分必要条件为α与注意到，α⇔ab−c当a=0时，式①等号成立⇔bc≥0.当b=c时，式①等号恒成立.综上，式①等号成立的充分必要条件为b=c或16．【2016年新疆预赛】已知i=1naixi【答案】p【解析】设xii=1na而i=1n于是取λ=pq代入式①得i=1当且仅当y1=y故i=1nai17．【2016年天津预赛】设fx=xx+1,令a【答案】见解析【解析】先用数学归纳法证明:对任何正整数n,有a当n=1时,a1当n=2时,a2设n=1,2则n=k+1时,由归纳假设知ak−1由fx=xan即n=k+1时命题成立.由数学归纳法,对任何正整数n,有an因此,对任何正整数n,有an+2接下来再用数学归纳法证明:对任何正整数n,有a2n当n=1时,a2设n=k时命题成立.则n=k+1时,注意到,2ff18．【2016年山西预赛】已知在正整数n的各位数字中，共含有a1个1，a2个2，⋯，an【答案】见解析【解析】对正整数n的位数使用数学归纳法．当n是一位数，即1≤这是因为，此时n的十进制表达式中只有一位数字n，即an=1，其余aj假设当正整数n不超过k位，即n<10现考虑n为k+1位数，即设n的首位数字为r．则n=r10k若n1=0，则在数n的各位数字中，ar显然，r+1a若1≤n1≤10k−1，记n1的各位数字中含有a则n的各位数字中，含有ar+1个r、aj注意到，正整数n1由归纳法假设，对n12a≤r10k则当n为故由数学归纳法，知对一切正整数n，结论皆成立．欲使等号成立，由证明过程，知要么n为一位数；要么在n的位数大于或等于2时，由式②，必须n1+1=10k，此时，由式即n可表示为r99⋯9上述条件也是充分的，当n能够表成以上形式时，有ar=1,a故219．【2016年全国】设实数a1,a2,⋯,【答案】1【解析】令P=i=1由已知得对i=1,2ai若a2016−a以下考虑a2016由均值不等式得P1=1≤1当a19ai>11综上，所求最大值为1420．【2016年吉林预赛】一次竞赛共有n道判断题，统计八名考生的答题后发现：对于任意两道题，恰有两名考生答“T，T”；恰有两名考生答“F，F”；恰有两名考生答“T，F”；恰有两名考生答“F，T”.求n的最大值.【答案】7【解析】记“T”为1，“F”为0，从而，得到一个8行n列的数表.显然，交换同一列的0和1，此表的性质不改变.因此，不妨设数表第一行全为0.设第i行共有ai则a1下面考虑同一行中的“00”的对数，则i=18由柯西不等式i=18知17表1为n取最大值的情形.表100000000111100011001100011111010101101101011001101101001从而，n的最大值为7.21．【2016年上海预赛】正实数x、y、z满足15≤z≤min【答案】13【解析】由251又由xz≥415则1=类似地，由1y1故1当x=2所以，1x22．【2016年浙江预赛】设函数fx=x2−k2−5ak+3x+7（a【答案】2【解析】依题意，函数fx的对称轴为x=k2−5ak+32又k2−2k+3k+1=k+1+623．【2016年四川预赛】已知a、b、c为正实数.证明：abc≥a+b+c【答案】见解析【解析】先证明：abc≥a+b+cab2令x=ab，由不等式x2再证明：a+b+c≥∏a+b−c∑1a2，注意到，不等式是轮换对称的.不妨设a=max则a+b−c>0，（1）当b+c−a≤0时，结论显然成立.（2）当b+c−a>0时，令a=y+z，则x=1于是，x、y、z>0.不等式①变为2x+y+z注意到，y+z2≥4yz.则类似地，4z+x从而，原不等式成立.24．【2016年辽宁预赛】若1ga+lgb+lgc=0,证明:1<a【答案】见解析【解析】由于1ga+1gb+lgc=0,故a、b、c>0,且abc=1.不妨设c≤a≤b.当a=b=c=1时,有a当a、b、c不全相等时,则0<c<1将c看作常数,令f注意到,f'于是fa在区间0,故1+c令gb注意到,g'又b>1,于是gb为增函数.由gb<25．【2016年河南预赛】已知实数x、y满足2x【答案】1,2【解析】令a=2则已知条件化为a+b=a⇒a−由平面aOb中的图像知：t=a+b∈1,2又ab=a+bU=8记ft则当t∈1,2f't于是，ft在区间1,2易得，当t∈1,2时，f综上，U=8x+26．【2015年全国】如实数a、b、c满足【答案】log2【解析】将2a、2则x、故x+⇒z⇒z=y≥1当2y2=1y此时，相应的xmin由于c=log2z，故c27．【2015年全国】设a1,a2,⋅⋅⋅,【答案】见解析【解析】首先，由a1,a此外，若将a1,a2,⋅⋅⋅,an中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的(i=1n先证明一个引理.引理设a1≥a证明注意到，ai于是，当n=2m(m∈Zi=1ni=1=a当n=2m+1(m∈Zi=1ni=1n回到原题.由柯西不等式及引理知(≤n(i=128．【2015年天津预赛】设fx=x+1x−【答案】见解析【解析】证明：因为当x ∈0,1所以fx在区间0,1于是，对任意的x∈22,1对任意的x∈⇒⇔22令g对任意的x∈2g'故gx29．【2015年安徽预赛】设正实数a、b满足a+b=1，证明：【答案】见解析【解析】对任意a∈0,1a≥a类似地，对于任意b∈0,1，有b故a230．【2015年北京预赛】满足系数p、q为整数，且根为无理数α1【答案】5【解析】设x2+px+q为无理二次三项式，注意到，α=−p+D由无理二次三项式的定义，知D为非负整数，但不为完全平方数.特别地，D≠，=又p2−4q≡p于是，D≥5.由式①得α1事实上，最小值5是可以达到的.如p=1，q=−1时，x2α131．【2015年辽宁预赛】设实数a、b、λ满足0<a<b,(1)lna+1≤aIna−bInb(2)λa+1−λ【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)设fx由f'x=1−b且fb=0,知对于f因此,对于任意的0<a<b,均有lna+1<类似地,aln(2)对于0≤x≤1,设gx则g'=a−bg'x因此,g'x在区间0,1由于g0=g1则由函数图像知gx32．【2015年江苏预赛】设多项式fx=x【答案】a≥【解析】对任意的x、y≥0由取x=y=0，代入上式得c≤0.不妨设x>0，y>0.则当且仅当x0故−3x当a≥3233x即f综上，a、b、c满足的条件为a≥333．【2015年江苏预赛】求所有的正整数n，使得对于任意正实数a、b、c满足a+b+c=1，有