二次函数与幂函数

1、第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)2.4二次函数与幂函数 知识诠释思维发散第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)二次函数解析式的三种形式一、二次函数1.一般式:y=ax2+bx+c(a0).2.顶点式:f(x)=a(x-k)2+h(其中点(k,h)为二次函数的顶点).3.零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(其中二次函数的零点为x1与x2).二、二次函数的图象与性质第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考

2、第一轮复习用书数学数学(理科理科)f(x)=ax2+bx+ca0a0,=0,0时图象都通过点(1,1),(0,0).在第一象限内,函数值随x的增大而增大.第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)在第一象限内,1与01的图象凹凸性不一样.图象在点(1,1)处发生交叉.(2)当0时,直线的斜率为正,在y轴上的截距为-0,此时幂函数y=xa在(0,+)上是增函数,故A、D图象不可能;1a1a第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)对于B,由y=xa的图象知a0,

3、不符合.通过比较知C符合.【答案】C1a第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)3.若f(x)=x2-ax+1有负值,则实数a的取值范围是( )(A)a-2. (B)-2a2或a-2. (D)1a0,即a2或a-2.【答案】C第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科) 核心突围技能聚合题型1二次函数、幂函数基础问题第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)例1 (1)已知函数f(x)=-2x

4、2+6x-m的值恒小于0,则实数m的取值范围为 .(2)若函数f(x)=x2+(a+2)x+b(xa,b)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的最大值为 .(3)若-1x0,则0.5x、5-x及5x从小到大的顺序为 .【分析】(1)二次函数的开口向下,故只需二次函数的顶点在x轴的下方即可.第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)(2)函数的图象关于直线x=1对称,则定义域关于1对称,可列出一个方程.对称轴为直线x=1,也可列出一个方程.解二元一次方程组得出a,b的值.(3)三个数的指数都有x,故把三个数的指数化成正数,再

5、分析底数即可.【解析】(1)f(x)=-2x2+6x-m=-2(x2-3x+)-m+=-2(x-)2-m+-m+, 9492329292第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)函数f(x)=-2x2+6x-m的值恒小于0,-m+.(2)函数的图象关于直线x=1对称, f(x)=x2-2x+6(-4x6),929221,22,aab4,6,ab 第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)f(x)开口向上,图象在-4,6上关于x=1对称,函数f(x)的最大值为f

6、(-4)=f(6)=30.(3)0.5x=2-x,5x=0.2-x,-1x0,0-x1,0.220)在(0,+)上是增函数,0.2-x2-x5-x(-1x0),5x0.5x5-x.第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)【答案】(1)(,+) (2)30 (3)5x0.5x5-x 【点评】(1)(2)从二次函数的开口方向与参数的结合命题,还结合了恒成立与对称轴等问题,属二次函数的性质与应用范围.(3)从比较大小入手,考查幂函数的性质.92第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用

7、书数学数学(理科理科)变式训练1 (1)若函数f(x)=x2+ax(aR),则下列结论成立的是( )(A)函数f(x)一定是偶函数.(B)函数f(x)一定存在零点.(C)函数f(x)在(0,+)上一定是增函数.(D)函数f(x)在(a,+)上一定是增函数.(2)已知函数f(x)=x2-2x,xa,b的值域为-1,3,则b-a的取值范第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)围是 .(3)当x(0,+)时,幂函数f(x)=(m2-m-1)x-m+1为减函数,则实数m= .【解析】(1)只有a=0时,函数f(x)才是偶函数,故A错

8、;函数f(x)在(-,-)上是减函数,在(-,+)上是增函数,故C、D错.(2)f(x)=(x-1)2-1-1,知1a,b,令x2-2x=3,则x=3或x=-1,2a2a第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科) 或 2b-a4.(3)由题知 m=2.【答案】(1)B (2)2,4 (3)21,13ab 11,3,ab 21 1,10,mmm 第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)例2已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)满足:f(3-x)=f(x

9、),f(1)=0,对任意实数x,f(x) - 恒成立,求f(x)的解析式.【分析】由f(3-x)=f(x),可得到f(x)的对称轴为x= ;由f(1)=0可得a、b、c的一个方程;由对任意实数x,f(x) - 恒成立,可知把f(x)表示成a的形式后转化为含参不等式恒成立问题.14a123214a12题型2与二次函数有关的问题第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)【解析】f(3-x)=f(x),可得到f(x)的对称轴为x=,-=,b=-3a,f(1)=0,a+b+c=0,c=-a-b=2a,f(x)=ax2-3ax+2a,对

10、任意实数x,f(x)-恒成立,322ba3214a12第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)ax2-3ax+2a-恒成立.ax2-3ax+2a-+0恒成立. a=1,f(x)=x2-3x+2.【点评】本题利用数形结合的思想确定函数的对称轴,并对恒成立问题进行转化分析再结合二次函数图象确定0.14a1214a1220,1194 (2)0,42aaaaa20,210,aaa 第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)变式训练2 函数f(x)=x2-2x+2在t

11、,t+1(tR)上的最小值为g(t),求g(t)的解析式.【解析】函数f(x)=x2-2x+2的对称轴为x=1,开口向上,f(x)在(-,1)上是减函数;在(1,+)上是增函数.当t0时,t+11时,函数f(x)在t,t+1上是增函数,g(t)=f(t)=t2-2t+2.g(t)= 221(0),1(01),22(1).tttttt 第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)例3已知函数f(x)=(aR).(1)若函数的单调递增区间为(-,1),求a的值;(2)若函数f(x)的值域为(0,9,求a的值.【分析】(1)利用复合函

12、数确定函数的单调区间,再利用单调区间求a的值;(2)利用函数的值域分析指数的范围,再求a的值.2213xax题型3二次函数与其他基本函数的结合第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)【解析】(1)设g(x)=-2x2-ax+1,对称轴为x=-,开口向下,则g(x)在(-,-)上是增函数,在(-,+)上是减函数.y=3x在R上是增函数,则f(x)= (aR)在(-,-)上是增函数,在(-,+)上是减函数.-=1,a=-4.4a4a4a2213xax4a4a4a第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习

13、用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)(2)函数f(x)的值域为(0,9,则g(x)=-2x2-ax+1的值域为(-,2,g(x)=-2(x+)2+1+1,+1=2,a=2 .【点评】本题需要对问题进行转化,对二次函数有关问题的探究需要数形结合,故需要运用化归与数形结合的思想,第一小题也可以用导数的方法进行解答.4a28a28a28a2第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)变式训练3 设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(1)若f(0)1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值.【解析】(1)因为

14、f(0)=-a|-a|1,所以 解得a-1.因此,a的取值范围为(-,-1.(2)记f(x)的最小值为g(a).有f(x)=2x2+(x-a)|x-a|=20,1,aa 第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科) ()当a0时,f(-a)=-2a2,由知f(x)-2a2,此时g(a)=-2a2.()当aa,则由知f(x)a2;若xa,则x+a2aa2.此时g(a)=a2.222223(),33()2,aaxxaxaaxa3a23232323综上得g(a)= 222,0,2,0.3a aaa第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数

15、二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)1.注意数形结合,密切联系图象是研究掌握二次函数性质的基本方法.二次函数f(x)=ax2+bx+c图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调区间等是处理二次函数的重要依据.2.注意二次函数与方程、不等式和导数等的结合,充分利用二次函数的性质解决问题.3.注意对二次函数的零点问题、判别式、函数区间端点值的正负等的分析.帮助学生从知识、方法、思想等方面总结归纳,反思提高.第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)例二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),又

16、f(x)在0,2上是增函数,且f(a)f(0),则实数a的取值范围是( )(A)a0. (B)a0.(C)0a4. (D)a0或a4.【错解】f(2+x)=f(2-x),f(x)是偶函数,且对称轴为y轴.又f(x)在0,2上是增函数,f(x)在0,+)上是增函数,a0时,f(a)f(0),故选A.第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)【剖析】由f(2+x)=f(2-x)的意义知,二次函数f(x)关于x=2对称,不能判定函数是偶函数.其错因是由“数”转化为“形”的能力差造成的.【正解】f(2+x)=f(2-x),二次函数f(

17、x)的对称轴为x=2.又f(x)在0,2上是增函数,抛物线开口向下,如图,由图象可知,只有在区间0,4上,才有f(x)f(0).故选C.【答案】C第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)一、选择题(本大题共5小题,每小题6分)基础角度思路1.(基础再现)若函数f(x)=4x2-mx+5在区间-2,+)上是增函数,则( )(A)f(1)25. (B)f(1)=25.(C)f(1)25. (D)f(1)25.第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)【解析】函数

18、f(x)=4x2-mx+5的对称轴x=,可知函数在,+)上单调递增,故只需-2,即m-16,f(1)=9-m25.8m8m8m【答案】A第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)2.(基础再现)“函数f(x)=kx2-kx-1与x轴有两个不同的交点”是“-4k0或k0的解集是( )(A)(-,-)(3,+).axbcxa12(B)(-,3).(C)(-,-3)(,+).(D)(-3,).121212第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)【解析】由图象可知f

19、(x)=a(x-1)(x-2)=ax2-3ax+2a(a0),b=-3a,c=2a.不等式 0等价于 0,即 0,x3或x-.故选A.【答案】Aaxbcxa32axaaxa321xx12第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)4.(视角拓展)函数f(x)=2x2-8x-5的图象上有三点A(a,y1)、B(a+1,y2)、C(a+2,y3)(其中a0),则( )(A)y1y2y3. (B)y1y3y2.(C)y3y2y1. (D)y2y1y3.【解析】函数的对称轴为x=2,开口向上,函数f(x)在(-,2)上是减函数,aa+1

20、a+22,y3y2-6.3a+b的取值范围是-6,+),故选B.【答案】B2220,4(2)0,aba第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)6.(基础再现)已知-2,-1,1,2,则使函数y=x在0,+)上单调递增的所有值的集合为 .【解析】函数y=x在0,+)上单调递增,0,=1或=2.【答案】1,2二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)7.(基础再现)已知函数f(x)=x2+x-2,x-4,6,则函数f(x)

21、的值域是 .【解析】函数f(x)的开口向上,对称轴为x=-,-4,6,f(x)f(-)=-2=-,f(-4)=16-4-2=10,f(6)=36+6-2=40,函数f(x)的值域是-,40.【答案】-,401212121412949494第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)8.(视角拓展)已知幂函数f(x)的图象过点(2,8),g(x)=x2+4,定义函数F(x)= 则函数F(x)的最小值为 .【解析】幂函数f(x)的图象过点(2,8),f(x)=x3,f(2)=8,g(2)=8,当x2时,f(x)f(2)=8,g(x)

22、g(2)=8.F(x)8;当x2时,g(x)-f(x)=x2+4-x3.( ),( )( ),( ),( )( ),f xf xg xg xf xg x第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)0 xx2+x2-x3=x2(2-x)0;xx2+40.g(x)f(x),F(x)=g(x)=x2+44.综上,函数F(x)的最小值为4.【答案】4第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)9.(高度提升)设二次函数f(x)=ax2-4x+c(xR)的值域为0,+),则 + 的最大值为 .【解析】f(x)=ax2-4x+c(xR)的值域为0,+), 16-4ac=0且a0,ac=4,且a0,c=,11c99a0,0,a4a第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(理科理科)+ = + = =1+ =1+ 1+ =.【答案】 11c99a4aa99a2218361336aaaa251336aaa53613aa513 126565第二章第二章 2.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数高考第一轮复