中考培优竞赛专题经典讲义第29讲存在性问题之特殊四边形

1、第29讲 存在性问题之特殊四边形菱形存在性问题，抓住邻边相等(即等腰三角形)和对角线垂直；矩形存在性问题，抓住内角90°与对角线相等；正方形存在性问题，抓住等腰直角三角形的性质即可？【例题讲解】例题1做口图，在RtAABC中，/C=90° AC=6cm,BC=8cm,点P从点B出发，沿BA方向以2cm/s的速度向终点 A运动 侗时，动点Q从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度向终点 B运动，将ABPQ沿BC翻折，点P的对应点 为点P', 设Q点运动的时间t秒若四边形QPB P'为菱形,求t的值？解:若四边形QPBP为菱形,t=2秒理由如下：?C=90

2、6; AC=BC, AA ABC 是等腰直角三角形，？?/ ABC=45 ° ,?点P的速度是每秒2 cm,点Q的速度是每秒1cm,? BP= 2tcm,BQ=(6 t)cm,?四边形 QPBP为菱形，? 2t X 2 3 4 = 6 上，解得:t=2; 22即若四边形QPBP'为菱形的值为2秒.例题2珈图，已知0(0,0),A(4,0),B(4,3).动点P从0点出发,以每秒3个单位的速度,沿AOAB的边0A、AB作 匀 速运动；动直线I从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动 潜它们同时出发，运动的时 间为t秒,当直线I运动到0时，它们都停止运动？当

3、P在线段AB上运动时，设直线I分别与0A、0B交于C、D,试 问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值;若不能，请说明理由，弁说明如何改变 直线I的出发时 间，使得四边形CPBD会是菱形？一一2216 2 4 220CP =7AC2 AP2 J(6)( )6,因为CPM BP,所以四边形 CPBD不可能为菱形若要使四边形 CPBD为菱形，设直线比P点迟x秒出发贝 U AC=t -x,AP=3t 4,BP=CP=7 3t,因为四边形AC AP CPCPBD 为菱形，则 CP / OB,所以 ACPAOB,则,OA AB OB3t 4 t xt 41则 t x 3t 47 3t,34

4、 ,解得：24,0A AB 344解:四边形CPBD不可能为菱形？如图所示，根据题意可得,AC= t,AP=3t 4,BP=3 AP=7 3t,0C=4 t,因为 CD / AB,所以 A0CDsAOAB,所以 C CD ,即 CD ±，解得:CD = - (4t),因为CD=BP,所以-(4 1)=7 3t,解得:t= 一，所以BP=5,在公ACP中,由勾股定理得493435 3t 47 3t5x 35245 即直线比P点迟 11秒出发时可使四边形CPBD为菱形.243例题3珈图,直线y= -x+3与y轴交于点A,与x轴交于点B,点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BA边向终点

5、A运动，同时点Q以相同的速度从坐标原点O出发沿OB边向终点B运动，设点P运动的时间为t秒. 求点A,B的坐标； 在点P,Q运动的过程中，是否存在点N,使得以点A,P,Q,N为顶点的四边形是矩形？若存在，求t的值弁直接 写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.3解：(1)对于直线 y= -x+3，令 x=0，得到 y=3,令 y=0 得到 x=4，二 A(0,3), B(4,0); 4(2)存在以点APQN为顶点的四边形是矩形，如图 2 所示，当/ APQ=90 时，/ BPQ= / AOB=9O °BP t 4164 29由得:cos/ PBQ= BP,即t 4,解得:t= 16此时N

6、坐标为(4 ,29)BQ 4 t 595 15 如果 / PAQ=90 /OAB 为锐角，/ PAQ</OAB,?不成立，/ PAQm90°如果/ AQP=90当Q与O重合时,t=0,此时N坐标为(4,3),4当0<t W5寸如图3所示过P作PM，x轴于点M.由得：MB = t,59-QM=OB OQ BM =4 t, 5?/AOQ= /QMP = / AQP=90 ? /OAQ=/MQP , ?RtAAOQ sRtAQMP 5 综上所述：当t的值为0,孑丁时.AO/N (MQ PM ,即4 9t 3t ,解得F此时N坐标为9,打554 299 56以点APQN为顶点的四

7、边形是矩形，点N的坐标分别为(4,3) (, 29 ), ( 9 ,)5 155 15例题4珈图，抛物线y=/+bx+c与x轴交于A( 1,0),B(3,0)两点，顶点M关于x轴的对称点是 M'.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在过A,B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此 抛物线的解析式；若不存在，请说明理由？解。)根据题意，抛物线 y=x2+bx+c经过点 A( 1,0),B(3,0),则将点 A、B坐标代入抛物线解析式可得b c+3 X得：12+4c=0,解得c= 3,代入得b= 2,故原方程组的解为3b c的表达式为y= x

8、 2 1 2A、B两点的抛物线y= (x- 1)2+2或丫= (x- 1)2 2,其顶点P关于轴的对称点为 2使得四边形APBQ是正方形？【巩固训练】1则图，在Rt A ABC中，/C=90 °AC=BC=6cm,点P从点B出发，沿BA方向以每秒.2 cm的速度向终点 A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动将ABPQ沿BC翻折，点P的对应点为 点P', 设Q点运动的时间t秒,若四边形QPBP'为菱形,则t的值为 2x 3.存在饮口图所示，四边形APBQ是正方形烟为四边形APBQ是正方形，所以该抛物线顶点肯定在 AB的中垂 线 上，且AB

9、=PQ,AB与PQ相互垂直平分，则点P的坐标为P(1,2)或P(1, 2).当点P坐标为P(1,2)时,设抛物 线 解析式为y=a(x - 1)2+2?因为抛物线过 A、B两点，所以将点A坐标代入函数解析式得a( 1 1)2+2=0，解得1a= 2,1故抛物线的解析式为：y= (x- 1)2+2。2当点P坐标为P(1, 2)时，设抛物线解析式为y=a'(x - 1)2 2。因为抛物线过 A、B点，所以将点坐标代入1函数解析式得a'( 1 1)2 2=0，解得a'= ,21故抛物线的解析式为y=2(x- 1)2-2Q,综上所述：存在过BC2领口图，在平面直角坐标系中,二次

10、函数y=/+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,B点的坐标为(3,0)，与y轴交 于C(0,3),点P是直线BC下方抛物线上的动点？(1)求二次函数解析式；连接P0、PC,弁将APOC沿y轴对折，得到四边形P0P'C,那么是否存在点 P,使得四边形P0P'C为菱形？ 若存 在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；3 .如图，矩形0ABC的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，点B的坐标为(3,4), 一次函数y -x b的3图象与边OC、AB分别交于点D、E,弁且满足OD BE ?点 M是线段DE上的一个动点.(1)求b的值；(2)连结0M,若三角形ODM的面积与四边形 O

11、AEM的面积之比为1:3,求点M的坐标；(3) 设点N是x轴上方平面内的一点，以 0、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标.(3)如图2,将AQM沿AD翻折，得SD0AKM ,请问是否存在某时刻 t,使四边形AQMK为正方形？说督用国4 .如图1,已知Rt ABC中，C 90 , AC 8cm , BC 6cm .点P由B出发沿BA方向向点 A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为 2cm/s .以AQ、PQ为边作平行 四边形AQPD，连接DQ,交AB于点E .设运动的时间为t (单位：s)(0制t 4).解答下列问题：(1)用含有t的代数式表示 AE .(

12、2)当t为何值时，平行四边形 AQPD为矩形.(3)如图2,当t为何值时，平行四边形 AQPD为菱形.5项图1,在直角梯形ABCD中，AD/BC , ADC 90 , AD CD 4 , BC 3 .点M从点D出发以 每秒2个单位长度的速度向点A运动.同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点 C运 动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点N作NP AD于点P .连接AC交NP于点Q,连接MQ .设运动时间为t秒.(1)填空：AM ; AP .(用含t的代数式表示)(2) t取何值时，梯形 ABNM面积等于梯形 ABCD面积的】；明理由.6.如图，二次函数y x2 x

13、 c的图象与x轴分别交于 A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是 M(1)若A( 4,0),求二次函数的关系式；(2)在(1)的条件下，求四边形 AMBM的面积；(3) 是否存在抛物线 y x2 x c,使得四边形 AMBM为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系7.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别相交于点 A(6,0)、B(0,8).点C(0,m)是线段OB上动点，过点C作CE AB于点E,点D为x轴上一动点，连结 CD、DE,以CD、DE为边作YCDEF .(1)求CE的长(用含m的代数式表示);(2) 当m 3时，是否存在点 D,使YCDEF得顶点F恰好落在y轴上？若存

14、在，求出点 D的坐标；若不 存在，请说明理由；(3) 点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得 YCDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值.(3)如图2,将AQM沿AD翻折，得 AKM ,请问是否存在某时刻 t,使四边形AQMK为正方形？说参考答案1?答案：22?解:(1)将点B、C的坐标代入y=/+bx+c ,得9 3b c,3b c，将代入，得b= 2.3c故二次函数的解析式为 豪一2x 3.如图1所示,假设抛物线上存在点 P,使四边形POP'C为形，连接PP交CO于点E,因为四边形POP'C为菱33形，所以PC=PO,PE，CO.故OE = EC=,即点P的纵坐标为

15、2222 10十、412 G o 3 和 210 T 210 业 2 10 口丑BC 下万，由 x2 2x 3=,得 x=2 或 x=，当 x= 时，点P不在直线故舍去 做存在这样吊点，此时点P的坐标为,(2 103)3.解:(1) y中，令x 0,解得D的坐标是(0,b),ODQODBE ,BE的坐标是(3,4 b),把E 白解 得：勺坐标代 入b 3;(2)窃边形OAEDOD AEQ三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3 ,设M的横坐标是3a1?5 ,解得：a 1 ,把x a 1代入则M的坐标是7(1,3)(3)当四边形OMDN是蕤夔,如图(1),M的纵坐标是-223x 3,

16、乙，9解得：x 9则M的坐标是(9 , 3)，4则N的坐标是(-42当四边形OMND是菱形时，如图(2) OM OD 3 ,设M的横坐标是 m,则纵坐标是-m 3 ,3则m22-m 3)239,解得：m 36或0 （舍去）13则M的坐标是（竺，兰）.1313则DM的中点是（兰，空）13 ?则N的坐标是（竺,13139故N的坐标是（一，|胫口,m44.解：(1) Q Rt ABC 中， C 0 , AC 8cm , BC6cm.由勾股定理得：AB 10cm ,Q点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2 cm/ sBP 2tcm ,AP AB BP 10 2t ,Q四边形AQPD为平行四边

17、形，1AE AP 5 t - 2(2)当YAQPD是矩形时，PQ AC ,PQ/BC ,APQ s ABCQA AC AP AB即旦空10 2t 10解之t 209YAQPD是矩形;(3) 当YAQPD是菱形时，DQ AP贝 V COS BACAE ACAQ AB2t 5解之t25兀时，YAQPD是菱形.5.解：(1)如图 1. Q DM 2tAM AD DM 4 2tQ 在直角梯形 ABCD 中,AD/BC , ADC 90 , NP AD 于点 P ,四边形CNPD为矩形，DP CN BC BN 3 t ,AP AD DP 4 (3 t) 1 t ;11(2)如图1 . Q梯形ABNM的面

18、积等于梯形 ABCD面积的111 1-(t 4 2t) 4(3 4) 4,23 2解得t -.351当t时，梯形ABNM面积等于梯形 ABCD面积的-;33(3) 存在时刻t 1 ,能够使四边形 AQMK为正方形.理由如下:2Q ADC 90 , AD CDCAD 45Q将AQM沿AD翻折，得AKM ,QM KM , AQ AK , KAQ 2 CAD 90若四边形AQMK为正方形，则AQ MQQ NP MA ,MP AP ,AM 2AP ,4 2t 2(1 t),1当t时，四边形 AQMK为正方形.2故答案为：4 2t ; 1 t .图】 /即26.解：(1) Q A( 4,0)在二次函数y

19、 x x c的图象上，2 ( 4) c 0解得c 20 ,2二次函数的关系式为 y x x 20(2) Q y x2 x 20 (x ±)2 81 , 24181顶点M的坐标为(一，一)， 241Q A( 4,0),对称轴为x -, 2点B的坐标为(5,0),AB 5( 4)5 4,c181 72 S ABM 248Q顶点M关于x轴的对称点是 M ,c7272S四边形2s ABM 2;AMBM843(3)存在抛物线y x2 x ,使得四边形AMBM为正方形.4理由如下：令y 0,则x2 x c 0,设点AB的坐标分别为 A(x , 0) , B(X2, 0),所以，AB(N X2)2 4X1X21 4c点M的纵坐标为：4ac b 24aQ顶点M关于x轴的对称点是4c 1M,四边形AMBM为正方形,4c 11 4c 2 -4整理得，16c2 8c 3 0 ,解得 c1 1, c2344又抛物线与X轴有两个交点,2 2 1 b 4ac ( 1)4