第一节中心投影

1、花花 香香 蝶蝶 舞舞射射 影影 平平 面面1 中心投影与无穷远元素中心投影与无穷远元素研究对象：物体在灯光照射下的变化规律。研究对象：物体在灯光照射下的变化规律。第二章第二章llPPO投影中心投影中心投射线投射线P的投影的投影P0影消点影消点Q0影消点影消点PllOP0P 问题问题：中心投影是数学意义下的对应吗：中心投影是数学意义下的对应吗? 原因分析原因分析：如图所示，如图所示，P0无象点无象点(因此称为因此称为影消点影消点)，其原因是，其原因是 OP0/ l ，从而，从而OP0与与l 无交点，故中心投影不是数学意义下的对应。无交点，故中心投影不是数学意义下的对应。 处理方法处理方法：取消

2、：取消“平行线无交点平行线无交点”的约定。的约定。POP0Po o 如图，当时如图，当时 ， ，以，以P()的的“极限点极限点”作作为平行直线的为平行直线的“交点交点”，记作，记作P（称为无穷远点），其几（称为无穷远点），其几何表示如图所示。何表示如图所示。2 |0PP问题问题：平行直线的交点能引进几个？：平行直线的交点能引进几个？ （一个。原因是两不同的直线只能有一个交点。）（一个。原因是两不同的直线只能有一个交点。） 评注评注：上述无穷远点的引入过程是在深入研究以：上述无穷远点的引入过程是在深入研究以O点为点为中心的线束中的直线与非线束中的直线的交点的基础上，来中心的线束中的直线与非线束中

3、的直线的交点的基础上，来探索如何引入平行直线的交点比较合适这一问题的。这充分探索如何引入平行直线的交点比较合适这一问题的。这充分地反映了继承传统与发扬广大的关系。地反映了继承传统与发扬广大的关系。 无穷远点的引进是一个创新的过程，需要大胆的想象力。无穷远点的引进是一个创新的过程，需要大胆的想象力。而直线上的无穷远点只能引进一个则是原来的原则而直线上的无穷远点只能引进一个则是原来的原则“两直线只两直线只有一个交点有一个交点”的要求所至。无穷远点根据研究需要而引入，又的要求所至。无穷远点根据研究需要而引入，又是原系统的规则的延伸，从而是原系统的规则的延伸，从而“无穷远点无穷远点”又受到原系统的规又

4、受到原系统的规则的则的“约束约束”，这充分体现了继承与发展的关系。，这充分体现了继承与发展的关系。请自行考虑请自行考虑二维中心投影二维中心投影的相应问题。的相应问题。 OPP1 2 无穷远元素无穷远元素 规定一规定一 在平面内对任何一组平行线引入唯一一点叫做在平面内对任何一组平行线引入唯一一点叫做无无穷远点穷远点(记作记作P)与之对应，此点在组中每一直线上而不在组外与之对应，此点在组中每一直线上而不在组外的任何直线上。的任何直线上。 规定二规定二 平面内无穷远点的集合是一条直线，叫做平面内无穷远点的集合是一条直线，叫做无穷远无穷远直线直线，记作，记作l。 规定三规定三 空间里所有无穷远点的集合

5、是一个平面，叫做空间里所有无穷远点的集合是一个平面，叫做无无穷远平面穷远平面，记作，记作 。 在这些规定下可以证明：在这些规定下可以证明： (1)空间里任一组平行线有且只有一个公共点空间里任一组平行线有且只有一个公共点无穷远点。无穷远点。 (2)一直线与它的平行平面交于一个无穷远点。一直线与它的平行平面交于一个无穷远点。 (3)一组平行平面相交于一条无穷远直线。一组平行平面相交于一条无穷远直线。3. 一维与二维射影空间的概念与模型一维与二维射影空间的概念与模型欧氏直线欧氏直线仿射直线仿射直线射影直线射影直线几何解释：几何解释：添加无穷远点添加无穷远点取消新旧点的差别取消新旧点的差别（1）射影直

6、线模型）射影直线模型PlP0MP命题：射影直线是命题：射影直线是封闭封闭的。的。 注注：射影直线模型的重要性：射影直线模型的重要性 （i）模型建立了直线和圆之间的点的一一对应，根据数学思想，）模型建立了直线和圆之间的点的一一对应，根据数学思想，可以将直线和圆看成等同而互相表示，从而直线上某些性质可以可以将直线和圆看成等同而互相表示，从而直线上某些性质可以通过中心投影通过中心投影“搬搬”到圆上，进而搬到二次曲线上，这一点将会在到圆上，进而搬到二次曲线上，这一点将会在二次曲线的射影理论一章中得到充分的体现。二次曲线的射影理论一章中得到充分的体现。 （ii）模型建立了射影几何与欧氏几何的关系，射影几

7、何可以在）模型建立了射影几何与欧氏几何的关系，射影几何可以在欧氏几何中欧氏几何中“引入引入”无穷远元素而得到，那么，反其道而行之，即无穷远元素而得到，那么，反其道而行之，即知欧氏几何也可以从射影几何中知欧氏几何也可以从射影几何中“去掉去掉”一部分元素而得到，从而一部分元素而得到，从而为研究欧氏几何提供了全新的方法。作为应用，使得解析几何中为研究欧氏几何提供了全新的方法。作为应用，使得解析几何中许多问题象平面几何一样可以通过综合法加以证明。许多问题象平面几何一样可以通过综合法加以证明。 （2）射影平面模型）射影平面模型PQPQOPPoooooooo 如图，建立半球面如图，建立半球面O与平面间的中

8、心投影，把半球面与平面间的中心投影，把半球面上的点上的点P投射为平面上的点投射为平面上的点P。规定对径点（直径的两个。规定对径点（直径的两个端点）表示同一个无穷远点。由此知端点）表示同一个无穷远点。由此知射影平面是射影平面是封闭封闭的的。 评注评注：由于无穷远元素的引入，使得欧几里德几何：由于无穷远元素的引入，使得欧几里德几何中的某些命题在射影几何中的叙述大为简化，如中的某些命题在射影几何中的叙述大为简化，如 命题命题1 若三圆两两相交，则三弦所在的直线共点若三圆两两相交，则三弦所在的直线共点或平行。或平行。 命题命题2 若三平面两两相交，则三交线共点或平行。若三平面两两相交，则三交线共点或平

9、行。 在射影几何中的叙述为在射影几何中的叙述为 命题命题1 若三圆两两相交，则三弦所在的直线共点。若三圆两两相交，则三弦所在的直线共点。 命题命题2 三平面两两相交而成的三条交线共点。三平面两两相交而成的三条交线共点。 5. 图形的射影性质图形的射影性质 透视对应透视对应：射影直线（平面）间的中心投影叫做透：射影直线（平面）间的中心投影叫做透视对应。视对应。 图形的图形的射影性质射影性质：图形经过（任何）透视对应后保：图形经过（任何）透视对应后保持不变的性质（量）叫做图形的射影性质（不变量）。持不变的性质（量）叫做图形的射影性质（不变量）。 显然，在透视对应下，有显然，在透视对应下，有 (1)

10、 点变为点，直线变为直线；点变为点，直线变为直线； （同素性同素性） (2) 点在直线上变为点在直线上。点在直线上变为点在直线上。 （结合性结合性） 例例 如图，设三直线如图，设三直线P1P2, Q1Q2, R1R2交于一点交于一点S，P1P2, Q1Q2, R1R2分别交两直线分别交两直线Ox1, Ox2于于P1, Q1, R1和和P2, Q2, R2。求证：直线求证：直线P1Q2与与P2Q1的交点，的交点，P1R2与与P2R1的交点，的交点，Q1R2与与Q2R1的交点在一直线上，且所在的直线通过的交点在一直线上，且所在的直线通过O。x1x2OR2SP2Q2P1Q1R1 证明：适当选择中心投

11、影将证明：适当选择中心投影将O、S变为变为无穷远点，如下图（仍用原字母记之）。无穷远点，如下图（仍用原字母记之）。 易知易知X、Y、Z是相应的平行是相应的平行四边形的中心，所以它们共线且所在直四边形的中心，所以它们共线且所在直线平行于直线，从而过线平行于直线，从而过O点。点。OSP2Q2R2P1Q1R1XYZ因为同素性，结合性射影不变，所以原命题成立。因为同素性，结合性射影不变，所以原命题成立。 总结总结：当命题的叙述形式在透视对应下不变时，可适：当命题的叙述形式在透视对应下不变时，可适当选择中心投影将命题变为特殊情形（如三角形变为正三当选择中心投影将命题变为特殊情形（如三角形变为正三角形，四

12、边形变为正方形等）证之。然后根据不变性返回角形，四边形变为正方形等）证之。然后根据不变性返回原命题。原命题。 注注：透视对应的重要性透视对应的重要性，透视对应是射影几何中的重，透视对应是射影几何中的重中之重，射影几何是在透视对应的基础上建立起来的。射中之重，射影几何是在透视对应的基础上建立起来的。射影几何中大部分重要定理如笛沙格透视定理、完全四点形影几何中大部分重要定理如笛沙格透视定理、完全四点形的调和性、巴斯加定理、布利安桑定理等都可以通过透视的调和性、巴斯加定理、布利安桑定理等都可以通过透视对应得到证明。通过透视对应可以将欧氏几何中很多命题对应得到证明。通过透视对应可以将欧氏几何中很多命题进行推广，得到更为一般的命题。进行推广，得到更为一般的命题。lABXQPYZ 例例 设设A、B是定直线是定直线 l 外的二定点，外的二定点，P、Q是是m上的任二点，上的任二点，AP与与BQ交交于点于点X、AQ与与BP交于点交于点Y。证明：。证明：XY过一个定点。过一个定点。 证一：选择中心投影，将证一：选择中心投影，将AB与与l 的交点变为无穷远点，仍用原字的交点变为无穷远点，仍用原字母表示新图形。母表示新图形。 如图，因为如图，因为AB/PQ，故由梯形，故由梯形ABQP的性质知的性质知XY与与AB的交点为线段的交点为线段AB的中点的中点Z，由，由Z是是AB上的定点。上的定点