山东青岛2015届高三上学期期末考试数学理试题版含答案

1、山东省青岛市2015届高三上学期期末考试数学试题第I卷(选择题共50分)一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的.1 门、x1 .已知集合A=yy=log2x,xl,B=(yy=lI,x>1'>,则AcB=，则AcB=lJA.10,1B.0,1C.I1,1D.aT2 .若复数是纯虚数，则实数a的值为1 2iA.2B.-C.-2D.-122 2223 .圆(x-1)+y=1和圆x+y+2x+4y4=0的位置关系为A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能4 .已知函数f(x尸e1nx,则函数y=f(x+1)的大致图象为A

2、BCD5.下列命题：22k>4是万程x+y+2kx+4y+3k+8=0表示圆的充要条件；把y=sinx的图象向右平移三单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1,得到函数32(n工一y=sin,2x一一的图象；1 3；函数上为增函数f(x户sin'2x+-注|0二3一62 2椭圆左十匕=1的焦距为2,则实数m的值等于5.m4其中正确命题的序号为A.B.C.D.1:4,过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的6 .若圆台两底面周长的比是体积比是A.1:16B.39:129C.13:129D.3:277 .如果执行如图的程序框图，那么输出的值是A.2016B.2C.1D.-

3、128.函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间x是A.0.1B.1,2C.2,eD.3,419.有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是-，且各人能否通过测试是相互38A.274B.-92C.一319D.2710.已知函数132(x)=x+ax+2bx+c有两个极值点x1,x2,且-1<x1<1<x2<2,则直3线bx-(a1)y+3=0的斜率的取值范围是A.B.C.二,15,2D.I”,独立的，则至少以后一位同学能通过测试的概率为第II卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11 .'x2-1的展开式中

4、的常数项是.x12 .当a>0且a#1时，函数f(x)=loga(x1十-勺图像恒过点A,若点A在直线mx-y+n=0上，则4m+2n的最小值为.13 .两曲线xy=0,y=x22x所围成的图形的面积是.14若数列匕0的通项公式为%=二3三N*),记f(n)=(1aX1a2).(1-an)，试通n1过计算f(1)f(2),f(3)的值，推测出f(n尸.2215 .已知双曲线的方程为2-2=1(a>0,b>0),双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为ab亚(c为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率e为.3三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或

5、演算步骤.16 .(本小题满分12分)1已知直线两直线11:xcosa+y-1=0；12:y=xsinIa十一I,AABC中，内角A,B,C对边2 .6分别为a,b,c,a=2j3,c=4,且当c(=A时，两直线恰好相互垂直；求A值；(II)求b和AABC的面积17 .(本小题满分12分)右图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图，已知8090分数段的学员数为21人(I)求该专业毕业总人数N和9095分数段内的人数n;(II)现欲将9095分数段内的n名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，3且其中至少有一名男生的概率为3,求n名毕业生中男女各几人(男

6、女人数均至少两人)？5的分布列和数学期望.(III)在(II)的结论下，设随机变量表示n名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求？18 .(本小题满分12分)如图，ABCD为梯形，PD_L平面ABCD,AB/CD,BAD=ADC=90°DC=2AB=2a,DA=J3a,PD=J3a,E为BC中点，连结AE,交BD于O.平面PBD_L平面PAE(II)求二面角D-PC-E的大小(若非特殊角，求出其余弦即可)19 .(本小题满分12分)11已知Sn是等差数列an的前n项和，数列bn是等比数列，b1=,a5-1恰为S4与一的等比中"nn2b22-22项，圆C:(x2n)+

7、(y瓦)=21,直线l:x+y=n,对任意nwN,直线l都与圆C相切.求数列an,bn的通项公式；(II)若n=1时，C1=1十；，n之2时，cn=十.cn的前"项和为Tn,12bbnbn1bn求证：对任意n之2,都有Tn>-+1220.(本小题满分13分)已知g(x)=bx2+cx+1,f(x)=x2+ax+lnx+1,g(x)在x=1处的切线为y=2x求b,c的值；(II)若a=7,求f(x)的极值;(III)设h(x)=f仅)gx)，是否存在实数a,当xw(0,e，(e%2.718,为自然常数)时，函数h(x)的最小值为3.21.(本小题满分14分)已知抛物线C1:y2=

8、2px上一点M(3,y0)到其焦点F的距离为4；椭圆22yxc-3+C2-2,2ab=1(a>b>0)的离心率3=122且过抛物线的焦点F.(I)求抛物线Ci和椭圆C2的标准方程;uuruuuuuuuuu(II)过点F的直线li交抛物线G于A、B两不同点，交y轴于点N,已知NA=KAF,NB=NBF,求证：儿+N为定值.(III)直线I2交椭圆C2于P,Q两不同点，巳Q在x轴的射影分别为P',Q',uuuuuuuuruuiruuruuuuuuOPgDQ+OP'gOQ'+1=0,若点S满足：OS=OPg,证明：点S在椭圆C2上.1-5ACADD6-10

9、BBBDA第u卷（非选择题共WO分）二但二本为联S小，华小分，共2s分.Q1.11.】512,27213.-14,-15.-22H+23三解答摩：本大始tSML共75分.罐警国国写出浴钱的文字说啕.证明近程立清16.（本小题满分12分）1解：（1）当口=人时直线li：xcoso（十一y-1=0;l2:y=xsin（ct十一）的斜率分别为26nk1=-2cosA,k2=sin（A+）,两直线相互垂直6所以k1k2=(-2cosA)sin(A)-1即cosAsin(A一)=一62可得cosA(sinAcoscosAsin,.312所以sinAcosAcosA22,311cos2A1sin2A()二

10、4222i31cos2A即sin2A=122即sin(2A)=62因为0<A<n,n0<2A<2几，所以一613二:2A-66所以只有2A-631所以A=6分3(n)a=2J3,c=4,A=',32,22所以a=bc-2bccos3_2_1_即12=b168b2所以(b-2)2=0即b=2一一，一，1.所以AABC的面积为S研C=-bcsin17.（本小寓»分12分）解：（1）8090分载段的毕业生的身湮为巧三（0.0440035x5=03配此分勃段的竽员总数为21人所以毕业生的总人数12分N为N=W_=60i0.35%95分数段内的人敷痴率为=-(0

11、.01+0,04+0.05+0.0440,03+0.01)5=0.1所以90.95分骏内的AK77=60x0.1=6，4分90LI95分数段内共6名毕业生，设其中男生x名,女生为6-x名设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A,则则P(A)=1C2364.C256解得x=2或9（舍去）即6名毕业生中有男生2人，女生4人（m）表示n名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数所以之的取值可以为0,1,2C3当=0时，P(=0)=T3C6当W时,P（u晋C6C2C1当=2时，P(=2)=C2-C4所以之的分布列为012P(j)131555_1.3-39所以随机变量自数学期望为E：=0M

12、g+1Mg+2Mg=g12分18.(本小题满分12分)(I)连结BD.BAD=/ADC=90：AB=a,DA=芯a，所以BD=DC=BC=2aE为BC中点，所以，DE=J3a=AD因为AB=BE=a,DB=DB所以ADAB与ADEB为全等三角形所以ADB=EDB所以ADAO与ADEO为全等三角形所以在ADAE中，DO_LAE,即AE-LBD又因为PD1平面ABCD,AE仁平面ABCD所以AE_LPD4分而BDIPD=D所以AE-L平面PBD5分因为AE匚平面PAE所以平面PAE_L平面PBD6分(n)以O为原点，分别以DA,DB,DP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系如图二面角D-PC

13、-E即二面角D-PC-BAD_L平面DPC,平面DPC的法向量可设为叫=(1,0,0)7分T设平面PBC的法向量为n2=(x,y,1)所以«n2'BC一0,而B(>/3a,a,0),C(0,2a,0),P(0,0,73a)n2*PC=0BC*=(-<3a,a,0),PC=(0,2a,-,3a)广713，可求得n2=(1,1)2210分iv3axay=0即：y2ay-、.3a=0n=(1,0,0)所以两平面DPC与平面DBC所成的角的余弦值-224-1-2-tt-为cosni,19.（本小惠我分12分）解：fI）囱C二住一2打十十日一病了=的国心为（筋.回，半径为石

14、万任意”£旷.侬门父+7=疗四圜。：&2>|了+（>£）2=2胃2相切.所以国心（2他后）到侬Lx+y界=0的距离d为JSt砌d垢亭一”L缶3分&相三町所以虱n粉/EN*4分当H=1时*/=5!=1当用之2时,=工.$1=-9-1产=2«-1延对二$&-41=2打-15分n11n1设等比数列bn的公比为q，所以bn=bq=q211一b22一,、2-1-1八(9-1)=64=16父，解得q=27分a5-1恰为S4与一的等比中项a5=9,S4=16,b?=q,所以n11n所以bn=biq=(一)8分21、 ，11、，1111、时，T

15、n=C|C2.Cn=(1)(-12)(T2：T2-T2-T3)-221221222321 11()12nl.12n1-22n111111八而门之2时，金:+牙矛+.+下10分2n(2n，一1)12n2nJ2n1所以Tn=。C2'.'Cn-1-2212分说明：本问也可用数学归纳法做20.(本小题满分13分)解：(I)g(x)=2bx+c在x=1处的切线为y=2x所以g(x)x=2,即2b=2又在x=1处y=2,所以g(1)=22b+c=2b=1所以«2，可得b12c11=2c=0所以g(x)=x2+13分2_一一(n)a=T时f(x)=x-x-lnx+1,te义域为(0

16、,收)f(x)=2x-11_2x2-x-1_(x-1)(2x1)xxxx(0,1)1(D'y0+y极小值f(1)可以看出，当x=1时，函数f(x)有极小值y极小=f(1)=18分2.2.(m)因为f(x)=x+axlnx+1,g(x)=x+1所以h(x)=f(x)-g(x)=x2ax-lnx1-(x21)=ax-lnx假设存在实数a,使h(x)=axlnx(xw(0,e)有最小值3,，,-1一h(x)=a-9分x当a0时，h(x)<0,所以4h(x)在(0,e上单倜递减，h(x)min=h(e)=ae1=3,a=(舍去)10分ea(x-1)当a>0时，ax111(i)当0c

17、aE时，一至e,h(x)<0在(0,e上恒成立ea4所以h(x)在(0,e上单倜递减，h(x)min=h(e)=ae1=3,a=(舍去)11分e,1-11.'1、一，(ii)当a>-时，0<<e,当0<x<时，h(x)<0所以h(x)在(0,一)上递减eaaa,1一,1、，当一<x<e时h(x)>0,h(x)在(-,e)上递增aa1、所以，h(x)min=h()=1+lna=312分a2.2所以a=e满足条件，综上，存在a=e使x=(0,e时h(x)有最小值313分解：（I）海物微G：y、2网上一点到总产的距再为4；地物线的准设为aY时物强上点时G驰）到其焦点F的距离|MF|等于到灌展的距禽d所以一二3+与=4,械p=2曲物线G的方程为V=4或卿S1G;$+§=1（。a5>0）的离心窣=-，且过瑚嬷的焦点产Q0）所以3=1所以稿国的标准方程为己中士3）叠绕4的斜率必存每设为匕设直线,与匍ag交于小、羽.3（均j。JWB/eWS=A(x-l)rNQ,-内y=4x)n)所以k2x2-(2k24)xk2-0+_2k2+4=16k2+16>0,所以广%k2(*)Ix1x2=1由NA=，AF,NB=BF得:(1-Xi)=x，(1-X2)=X2得：'Xij_x2,1-x11-x2所以，,x