天津学大教育信息咨询有限公司八年级上学期数学寒假课程学案平行四边形初步

1、第五讲平行四边形初步第一部分知识梳理一、平行四边形的性质1 .两组对边分别的四边形叫做平行四边形.它用符号“匚裴示，平行四边形ABCD记作。2 .平行四边形的两组对边分别且;平行四边形的两组对角分别两邻角；平行四边形的对角线；平行四边形的面积=底边长X.3 .在DABCD中，若/A-ZB=40°,则/A=,ZB=.4 .若平行四边形周长为54cm,两邻边之差为5cm,则这两边的长度分别为.5 .若DABCD的对角线AC平分/DAB,则对角线AC与BD的位置关系是.6 .如图，DABCD中，CE±AB,垂足为E,如果/A=115°,则/BCE=.7 .如图，在DAB

2、CD中，DB=DC、/A=65°,CEBD于E,则/BCE=二、平行四边形的判定1 .平行四边形的判定方法有：从边的条件有：两组对边的四边形是平行四边形；两组对边的四边形是平行四边形；一组对边的四边形是平行四边形.从对角线的条件有：两条对角线的四边形是平行四边形.从角的条件有：两组对角的四边形是平行四边形.注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形.（填定”或不一定”）第二部分例题与解题思路方法归纳知识点一平行四边形的性质例题1如图，在平彳T四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F.(1)证明：/DFA=/FAB;(2)证明：ABEFCE.ABR

3、选题意图1此题主要考查平行四边形的性质和判定以及全等三角形的证明，使学生能够灵活运用平行四边形知识解决有关问题.R解题思路1(1)利用平行四边形的两组对边分别平行即可得到两角相等；(2)利用上题证得的结论及平行四边形对边相等即可证明两三角形全等.R参考答案1证明：(1)二.在平行四边形ABCD中，.DF/AB,/DFA=/FAB;2 2)E为BC中点，.EC=EB,在那BE与4FCE中，ABEAFCE.【课堂训练题】1 .如图，在？ABCD中，E为BC的中点，连接DE.延长DE交AB的延长线于点F.求证:AB=BF.ABR参考答案1解：由ABCD是平行四边形得AB/CD,CDE=ZF,ZC=Z

4、EBF.又E为BC的中点，.DECAFEB,.DC=FB.又AB=CD,.AB=BF.2 .如图，在平行四边形ABCD中，/BAD=32°.分别以BC、CD为边向外作ABCE和4DCF,使BE=BC,DF=DC,/EBC=/CDF,延长AB交边EC于点G,点G在E、C两点之间，连接AE、AF.(1)求证：AABEFDA;(2)当AEXAF时，求/EBG的度数.R参考答案1证明：(1)在平行四边形ABCD中，AB=DC,又DF=DC,.AB=DF.同理EB=AD.在平行四边形ABCD中，/ABC=/ADC,又./EBC=/CDF,./ABE=ZADF.ABEAFDA.(2) .ABEF

5、DA,/AEB=/DAF. ./EBG=ZEAB+ZAEB,/EBG=/DAF+/EAB, .AE±AF,/EAF=90 /BAD=32, /DAF+/EAB=90-32=58°./EBG=58.知识点二平行四边形的面积相关【例题2阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A、C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分(如图(a),小刚过AB、AC的中点画直线EF,把平行四边形ABCD也分割成两个部分(如图(b);(1)这两种分割方法中面积之间的关系为：SiS2,S3S4;(2)根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系

6、的直线有条，请在图(c)的平行四边形中画出一种；(3)由上述实验操作过程，你发现了什么规律？1) R选题意图1平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形.R解题思路1(1)都是相等关系，因为AC,EF都经过平行四边形的对称中心，故分得的两部分的面积相等；(2)有无数条，因为经过对称中心的直线有无数条；(3)经过平行四边形对称中心的直线把平行四边形的面积分成相等的两份.R参考答案1解：(1)&=S2,&=S4；(2)无数，如图，所以直线过O即可；(3)经过平行四边形对称中心的任意直线，

7、都可以把平行四边形分成满足条件的图形.【课堂训练题】1 .已知平行四边形ABCD的周长为36cm,过D作AB,BC边上的高DE、DF,且cm,求平行四边形ABCD的面积.AR参考答案1解：设AB=x,则BC=18x,由AB?DE=BC?DF代入数值得：，解之x=10,所以平行四边形ABCD的面积为.2 .如图，在平行四边形ABCD中，EF/BC,GH/AB,EF、GH的交点P在BD上。图中有对四边形面积相等；他们是,.0HCR参考答案1二在平行四边形ABCD中，BD是对角线SAABD=SZDBC，SSEP=Szbhp，S/qpd=Szdpf，让最大的三角形面积减去其他两个小三角形面积可得：S?

8、aepg=S?phcf,者B力口上S?ebhp可得S?ABHG=S?EBCF,都加上S?gpfd可得：S?aefd=S?cdgh.S四边形abpg=SaabdSzGPD=SABCDSapfd=S四边形CBPF；S四边形ADPE=SZABDSAEPB=SZCBDSZHPB=S四边形CDPH，图中有3对四边形面积相等，即：S?AEPG=S?PHCF、S?ABHG=S?EBCF、S?AEFD=S?CDGH.3.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过O点作直线EF分别交BC、AD于E、F.(1)求证：BE=DF;(2)若AC,EF将平行四边形ABCD分成的四部分的面积相等，指出E点的位

9、置，并说明理由.BEGR参考答案1证明：(1)在平行四边形ABCD中，1.AD/BC,1=72,/3=74,又AO=CO,AOFACOE.AF=CE.又AD=BC,.AD-AF=BC-BE,即BE=DF.(2)答：当E点与B点重合时，EF将平行四边形ABCD分成的四个部分的面积相等.理由：由那BO与9OD等底同高可知面积相等，同理，祥BO与BOC的面积相等，从而易知所分成的四个三角形面积相等.知识点三两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）【例题3】已知：如图，/1=Z2,BE/MF,EF/AB,求证：AF=BM.R选题意图1本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及判

10、定定理.能够把两条不相关的直线通过等效转化建立联系是解题的关键.R解题思路1由BE/MF,EF/AB,可判断四边形BMEF为平行四边形，再根据同位角求出/2=/AEF,即可得出结论.R参考答案证明：BE/MF,EF/AB,四边形BMEF为平行四边形，BM=EF,.EF/AB,EFC=/1+/2.又/EFC=Z2+ZAEF,./AEF=Z1=/2,.AF=EF,即AF=BM.【课堂训练题】1.（20110匕京）如图，在那BC中，/ACB=90°,D是BC的中点，DEBC,CE/AD,若AC=2,CE=4,求四边形ACEB的周长.R参考答案解：/ACB=90,DEXBC,.AC/DE.又

11、CE/AD,四边形ACED是平行四边形.DE=AC=2.在RtAADE中，由勾股定理得CD=2.D是BC的中点，BC=2CD=4.在4ABC中，/ACB=90,由勾股定理得AB=2.,.D是BC的中点，DELBC,EB=EC=4.，四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2.2.等腰AABC中，AB=AC,D为BC上的一动点，DE/AC,DF/AB,贝UDE+DF是否随D点变化而变化？若不变化，请证明.R参考答案解：DE+DF不随D点变化而变化.理由是：.DE/AC,DF/AB，四边形AEDF是平形四边形，/FDC=/BDE=AF.AB=AC./B=ZC/FDC=/C.FD=FCD

12、E+DF=AF+FC=AC知识点四两组对边分别相等的四边形是平行四边形例题4如图，四边形ABCD是平行四边形，AE±BD,CFXBD,垂足分别为E、F,BG±AC,DHXAC,垂足分别为G、H.判断四边形GEHF的形状，并说明理由.R选题意图本题考查了平行四边形的性质和判定.平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.R解题思路力求出四边形GEHF的两组对边相等，即可判定其为平行四边形.R参考答案解：四边形GEHF为平行四边形.在平行四边形ABCD中， .AE±BD,CFXBD,即为两个三角形的高， .A

13、E/CF且AE=CF,进而可得ACFHAAEG, .GE=FH,同理，GF=EH,，可得四边形GEHF为平行四边形.【课堂训练题】1.如图，以AABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即那BD、ABCE>那CF,请说明四边形ADEF是什么四边形；R参考答案解：四边形ADEF是平行四边形.理由：,ABD,AEBC都是等边三角形.AD=BD=AB,BC=BE=EC/DBA=/EBC=60/DBE+/EBA=/ABC+/EBA./DBE=/ABC.在4DBE和祥BC中BD=BA/DBE=/ABCBE=BC,.DBEAABC.DE=AC.又ACF是等边三角形，.AC=AF.DE=AF.

14、同理可证：AD=EF,四边形ADEF平行四边形.知识点五对角线互相平分的四边形是平行四边形【例题5已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF经过点O并且分别和AB,CD相交于点E,F,点G,H分别为OA,OC的中点.求证：四边形EHFG是平行四边形.R选题意图1此题主要考查平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形.R解题思路1要证四边形EHFG是平行四边形，需证OG=OH,OE=OF,可分别由四边形ABCD是平行四边形和AOEBAOFD得出.R参考答案1证明：如答图所示， 点O为平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点， .OA=OC,OB=OD.G,H分

15、别为OA,OC的中点， .OG=OA,OH=OC, .OG=OH.也ti又AB/CD,Z1=/2.在AOEB和AOED中,Z1=Z2,OB=OD,/3=Z4,OEBAOFD,，OE=OF.，四边形EHFG为平行四边形.【课堂训练题】1.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.求证：四边形AECF是平行四边形.R参考答案证明：四边形ABCD是平行四边形，OD=OB,OA=OC.AB/CD/DFO=/BEO,/FDO=/EBO.FDOAEBO.OF=OE四边形AECF是平行四边形2.如图，在平行四边形ABCD中，BELAC,DFXAC,E

16、,F分别为垂足，试说明四边形BEDF是平行四边形.R参考答案证明：ABCD是平行四边形，.AD=BC,/DAF=BCE,OB=OD,OA=OC.BELAC,DFXAC,/AFD=/CEB=90.ADFACBE(AAS).AF=CE.OE=OF.四边形BEDF是平行四边形.知识点六一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题6如图，已知那BC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，/EFB=60,DC=EF.(1)求证：四边形EFCD是平行四边形;(2)若BF=EF,求证AE=AD.R选题意图此题把等边三角形和平行四边形结合在一起，首先利用等边三角形的性质证明平行四边形，然后利用等边三角形的

17、性质证明全等三角形，最后利用全等三角形的性质解决问题.R解题思路(1)由小BC是等边三角形得到/B=60°,而/EFB=60,由此可以证明EF/DC,而DC=EF,然后即可证明四边形EFCD是平行四边形；(2)如图，连接BE,由BF=EF,/EFB=60可以推出AEFB是等边三角形，然后得到EB=EF,/EBF=60,而DC=EF,由此得到EB=DC,又祥BC是等边三角形，所以得到/ACB=60°,AB=AC,然后即可证明AAEBADC,利用全等三角形的性质就证明AE=AD.R参考答案证明：(1).ABC是等边三角形，/ABC=60, /EFB=60, ./ABC=/EFB

18、, .EF/DC(内错角相等，两直线平行)， DC=EF, 四边形EFCD是平行四边形;(2)证明：连接BE BF=EF,/EFB=60, .EFB是等边三角形，EB=EF,/EBF=60 DC=EF,.EB=DC,.ABC是等边三角形，/ACB=60,AB=AC,/EBF=/ACB,AEBAADC,.AE=AD.【课堂训练题】1.如图，已知在？ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH,连接GE、EH、HF、FG.求证：四边形GEHF是平行四边形.R参考答案1证明：四边形ABCD是平行四边形,.AB=CD,AB/CD. ./GBE=Z

19、HDF.又.AG=CH, .BG=DH.又BE=DF,GBEAHDF.GE=HF,/GEB=/HFD. ./GEF=ZHFE. .GE/HF.四边形GEHF是平行四边形.2.如图，在RtAABC中，/BAC=90°,E,F分别是BC,AC的中点，延长BA到点D,使AD=AB,连接DE,DF.(1)求证：AF与DE互相平分；(2)若BC=4,求DF的长.R参考答案1证明：（1）连接EF,AE. 在RtAABC中，点E是BC的中点，EF=AB.X/AD=AB,EF=AD.又EF/AD, 四边形AEFD是平行四边形. AF与DE互相平分.中,(2)在RtAABC .E为BC的中点，BC=4

20、,.AE=BC=2.又四边形AEFD是平行四边形,DF=AE=2.第三部分课后自我检测试卷A类试题：1 .在下面的格点图中，以格点为顶点，你能画出多少个平行四边形？2 .如图所示，那BC中，/ACB=90°,AC的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,点F在BC的延长线上，且/CDF=/A,求证：四边形DECF是平行四边形.3 .如图，分别延长？ABCD的边BA、DC至U点E、H,使得AE=AB,CH=CD,连接EH,分别交AD、BC于点F、G.求证：AEFCHG.4 .如图，分别以RtAABC的直角边AC及斜边AB向外作等边评CD,等边评BE.已知ZBAC=30,EFXAB,垂足为

21、F,连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.5 .?ABCD的对角线相交于点，直线EF过点O分别交BC、AD于点E、F,G、H分别为OB、OD的中点，四边形GEHF是平行四边形吗？为什么？B类试题：6 .如图，过平行四边形ABCD内任一点P作各边的平行线分别交AB、BC、CD、DA于E、F、G、H.求证：S平行四边形ABCDS平行四边形AEPH=2S/afg7 .如图所示，在四边形ABCD中，AD/CB,且AD>BC,BC=6cm,动点P,Q分别从A,C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，则秒后四边形ABQP为平

22、行四边形.8 .如图，是某寻宝示意图，F为宝藏所在.AF/BC,EC±BC,BA/DE,BD/AE.甲、乙两人同时从B出发.甲路线是B-A-E-F;乙路线是B-D-C-F.假设两人寻找速度与途中耽误时间相同，那么谁先找到宝藏.请说明理由.C类试题:9 .如图，在AABC中，a、b、c分别为/A、/B、ZC的对边，且2bva+c,求证：2/Bv/A+/C.10 .如图，那BC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边AADE,过点C作CF/DE交AB于点F.（1）若点D是BC边的中点（如图），求证：EF=CD;（2）在（1）的条件下直接写出AAEF和祥BC的面积比；（3）若点

23、D是BC边上的任意一点（除B、C外如图），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由.课后自我检测试卷参考答案A类试题:1 .解：3个，如图2 .证明：DE，AC,/ACB=90°,.DE/FC.又./CDF=/A,AD=DC,ZADE=ZACF=90,ADEADCF.DE=FC.四边形DECF是平行四边形.3.证明：在？ABCD中，AB/CD,AB=CD,.E=/H,/EAF=ZD,.AD/BC,/EAF=/HCG,.AE=AB,CH=CD,.AE=CH,AEFACHG(ASA).4.证明：(1)RtAABC中，/BAC=30°,.AB=2B

24、C,又“BE是等边三角形，EFXAB,/AEF=30.AE=2AF,且AB=2AF,.AF=CB,而/ACB=/AFE=90AFEABCA,.AC=EF;(2)由(1)知道AC=EF,而“CD是等边三角形，.ZDAC=60EF=AC=AD,且ADLAB,而EFXAB,EF/AD,四边形ADFE是平行四边形.5.解：四边形GEHF是平行四边形；理由如下:四边形ABCD为平行四边形，BO=DO,AD=BC且AD/BC./ADO=/CBO.又./FOD=/EOB,.FODAEOB(ASA).EO=FO.又G、H分别为OB、OD的中点，.GO=HO.四边形GEHF为平行四边形.B类试题:6 .证明：Saafg=S平行四边形一（Saagd+Szgfc+Szabf）,=S平行四边形一（S平行四边形aeph+S平行四边形hpgd+S平行四边形fpgc+S平行四边形bepf+S平行四边形aeph）,二,二,=（S平行四边形ABCDS平行四边形AEPH），S平行四边形ABCDS平行四边形AEPH=2SaafG7 .解：设点P由A向D运动t秒，则AP=tcm,CQ=2tcm. BC=6BQ=6-2t若四边形ABQP为平行四边形，则须AP平行且等于BQ. -6-2t=t .t=2.2s后四边形ABQP成为平行四边形.故答案为2.8.解：延长ED交BC于M,1.BA/DE,BD/AE,A四