天津学大教育信息咨询有限公司八年级上学期数学寒假课程学案梯形

1、第八讲梯形第一部分知识梳理一、梯形的性质和判定1 .梯形有关概念：一组对边平行而另一组对边的四边形叫做梯形，梯形中平行的两边叫做底，按分别叫做上底、下底（与位置无关），梯形中不平行的两边叫做,两底间的叫做梯形的高.一腰垂直于底边的梯形叫做;两腰的梯形叫做等腰梯形.2 .等腰梯形的性质：等腰梯形中的两个角相等，两腰,两对角线,等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，就是它的对称轴.3 .等腰梯形的判定：的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角的梯形是等腰梯形.第二部分例题与解题思路方法归纳类型一梯形的面积【例题1】如图，点C是线段AB上的一个动点，那CD和4BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM,EN

2、分别是9CD和4BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动（不与点A,B重合），连接DE,得到四边形DMNE.这个四边形的面积变化情况为（）A、逐渐增大B、逐渐减小_£C、始终不变D、先增大后变小木R选题意图1考查等边三角形的性质和梯形的面积公式./ACV1RR解题思路1易得此四边形为直角梯形，AB的长度一定，-一,-那么直角梯形的高为AB的长度的一半，上下底的和也一定，所以面积不变.R参考答案1解：当点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动时，设两个等边三角形的边长分别为a,b,根据等边三角形的性质，等边AACD和ABCE的高DM和EN的和不会改变，即DM+EN=MC

3、+CN=AC+CB=AB,而且MN的长度也不会改变，即MN=AC+CB=AB.四边形DMNE面积=AB2,面积不会改变.故选C.【课堂训练题】1 .某校研究性学习小组在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问题.如图，若v是关于t的函数，图象为折线O-A-B-C,其中A(tl,350),B(t2,350),C(,0),四边形OABC的面积为70,则t2-ti=()AB=;读图可知，t2-ti=AB=.故选B.E在CD上，AD与GH相交于I2 .如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中点，且AD/HE,若/A=60°,且AB=7,DE=4,HE=5,则梯形HEDI的面积为（）A.

4、6B.8C.10-2D.10+2R参考答案1解：四边形ABCD为菱形且/A=60°?ZADE=180-60=120°,又AD/HE?/DEH=180120°=60°,作DM，HE于M点，则ADEM为30-60°-90°的三角形,又DE=4?EM=2,DM=2,且四边形EFGH为正方形？/H=/I=90°,即四边形IDMH为矩形？ID=HM=5-2=3,梯形HEDI面积=8.故选B.类型二梯形的中位线相关【例题2】如图，已知梯形ABCD,AD/BC,AD=DC=4,BC=8,点N在BC上，CN=2,E是AB中点，在AC上找一点

5、M使EM+MN的值最小，此时其最小值一定等于(A.6B.8C.4D.4R选题意图1解决此题的关键是确定点M的位置.如果在直线的同侧有两个点，要在直线上找一点到两个点的距离之和最短，方法是找其中一个点关于直线的对称点，连接该点和另一个点，与直线的交点即为到两个点的距离之和最小的点的位置.R解题思路1此题关键是确定M的位置，将EM、MN转化到一条直线上，就可求出其和最小值.R参考答案1解：作N点关于AC的对称点N',连接N'E交AC于M/DAC=/ACB,/DAC=/DCA,/ACB=/DCA, 点N关于AC对称点N'在CD上，CN=CN=2又DC=4，EN为等腰梯形的中线

6、 .EN=(AD+BC)=6, .EM+MN最小值为：EN=6故选A【课堂训练题】1 .如图所示，()A.2cmB.3cmC.4cmD.6cmR参考答案1解：DE是那BC的中位线，.DE=BC=8=4;FG为梯形BCED的中位线，DE是4ABC的中位线，FG为梯形BCED的中位线，若BC=8,则FG.FG=(DE+BC)=(4+8)=6.故选D.2.如图，在梯形ABCD中，AB/CD,AB=3CD,对角线AC、BD交于点O,中位线EF与AC、BD分别交于M、N两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的（R参考答案1解：过点D作DQLAB,交EF于一点W,EF是梯形的中位线，EF/CD/AB

7、,DW=WQ,.AM=CM,BN=DN.EM=CD,NF=CD.EM=NF,.AB=3CD,设CD=x,AB=3x,EF=2x,.MN=EF-(EM+FN)=x,Saame+Sabfn=XEMXWQ仅FNXWQ=(EM+FN)QW=x?QW,S梯形ABFE=(EF+AB)XWQ=QW,Sadoc+Szomn=CDXDW=xQW,S梯形fecd=(EF+CD)XDW=xQW,.梯形ABCD面积=xQW+xQW=4xQW,图中阴影部分的面积=x?QW+xQW=xQW,，图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的：=.故选：C.类型三角度的相关问题例题3如图，在梯形ABCD中，AB/CD,AD=DC,求

8、证：AC是/DAB的平分线.R选题意图1本题考查了梯形的定义、平行线的性质及等腰三角形的性质，难度较小，是一道不错的证明题.R解题思路1利用梯形的一组对边平行可以得到内错角相等，然后利用等边对等角得到两个角相等，从而得到两个角相等，证得结论.R参考答案1解：.AB/CD,/CAB=/DCA.AD=DC,/DAC=/CAB,即AC是/DAB的角平分线.【课堂训练题】1 .在梯形ABCD中，DC/AB,AD=BC,ZA=60°,BDAD.求/DBC和/C的大小.R参考答案1如图1,梯形ABCD中，因为DC/AB,/A=60°,所以/ADC=120°,又因为BDXAD,

9、所以/ADB=90°,即/ABD=30°,而AD=BC,所以/ABC=60°,ZC=ZADC=120°,所以/DBC=30°.2 .已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC,ZABC=90°.点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上，且满足CF=AD,MF=MA.(1)若/MFC=120,求证：AM=2MB;(2)求证：/MPB=90-ZFCM.R参考答案1证明：（1）连接MD,点E是DC的中点，ME±DC,.MD=MC,又AD=CF,MF=MA,AMDFMC,./MAD=

10、/MFC=120,.AD/BC,/ABC=90,/BAD=90,/MAB=30,在RtAAMB中，/MAB=30,BM=AM,即AM=2BM;(2) .AMDFMC,.AD/BC,.ZADM=ZCMD/八八w/CMD=/FCM,I一7B0 .MD=MC,MEXDC, ./DME=/CME=/CMD, ./CME=/FCM,在RtAMBP中，/MPB=90/CME=90/FCM.类型四求线段的长的问题例题4如图，在梯形ABCD中，AD/BC,延长CB至U点E,使BE=AD,连接DE交AB于点M.(1)求证：AAMDBME;(2)若N是CD的中点，且MN=5,BE=2,求BC的长.R选题意图1本题

11、考查了全等三角形的判断及三角形中位线定理的应用，熟记其性质、定理是证明、解答的基础.R解题思路1(1)找出全等的条件：BE=AD,/A=ZABE,/E=ZADE,即可证明；(2)首先证得MN是三角形的中位线，根据MN=(BE+BC),又BE=2,即可求得.R参考答案1证明：(1).AD/BC, ./A=MBE,/ADM=ZE,在"MD和4BME中，AMDBME;(2).AMDBME,.MD=ME,ND=NC,，MN=EC,EC=2MN=25=10,BC=EC-EB=10-2=8.【课堂训练题】1.如图，已知梯形ABCD,上底AD=12,下底BC=28,EF/AB分另交AD、BC于点E

12、、F,且将梯形分成面积相等的两部分.试求BF的长.R参考答案1设BF=x,则FC=28x.又设AD与BC间的距离为h,即梯形和平行四边形ABFE的BF边上的高为h.在梯形ABCD中，因为AD/BC,EF/AB,所以四边形ABFE是平行四边形，所以AE=BF=x,DE=12x.因为平行四边形ABFE的面积=BEXh,梯形EFCD的面积=1(DE+FC)Xh,1所以xxh=(12x)+(28x)he,解得x=10,答BF的长为10.2.如图，在直角梯形ABCD中，AB/CD,AD±DC,AB=BC,且AE±BC.(1)求证：AD=AE;(2)若AD=8,DC=4,求AB的长.R

13、参考答案1解：（1）连接AC,.AB/CD,/ACD=/BAC,.AB=BC,/ACB=/BAC,.AD±DC,AE±BC,.D=/AEC=90,.AC=AC,?ADCAAEC,(AAS).AD=AE;(2)由(1)知：AD=AE,DC=EC,设AB=x,贝UBE=x4,AE=8,在RtAABE中/AEB=90,由勾股定理得：82+(x-4)2=x2,解得：x=10,.AB=10.类型五线段的和差问题【例题5已知：等腰梯形ABCD中，AD/BC,MN是中位线交AC于P,AC平分/BCD,MP=12,PN=8,求：梯形ABCD的周长.R选题意图1此题主要考查梯形、三角形中位线

14、的性质和角平分线的定义，难度中等.R解题思路1由三角形中位线性质可求得上底为16,下底为24,再由角平分线和平行的性质，可求得腰长和上底相等，据此求解.R参考答案1解：:AD/BC,MN是中位线交AC于P,MP是9BC的中位线，PN是"CD的中位线，/1=/3,.MP=12,PN=8,BC=2MP=24,AD=2PN=16,.AC平分/BCD,Z1=Z2,Z2=Z3,.AD=CD=16,.AB=CD=16,梯形ABCD的周长为：16X3+24=72.【课堂训练题】1.如图所示.那BC外一条直线l,D,E,F分别是三边的中点，AA1,FFi,DDi,EEi都垂直l于Ai,Fi,Di,E

15、i.求证：AA1+EE1=FF1+DD1.R参考答案1证明：连接EF,EA,ED,由中位线定理知，EF/AD,DE/AF, .ADEF是平行四边形， 对角线AE,DF互相平分，设它们交于O,作OO1于O1,则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线, (AA1+EE1)=(FF1+DD1)=OO1,即AA1+EE1=FF1+DD1.2.如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AM/BN,按下列要求画图并回答：(1)画/MAB、/NBA的平分线交于巳/AEB是什么角？(2)过点E作一直线交AM于D,交BN于C,观察线段DE、CE,你有何发现？(3)无论DC的两端点在AM、BN如何

16、移动，只要DC经过点E,AD+BC的值是否有变化？并说明理由.ADMBCNR参考答案1解：(1)AM/BN, ./MAB+/ABN=180,又AE,BE分别为/MAB、/NBA的平分线,.1+Z3=(/MAB+ZABN)=90°, ./AEB=180-Z1-Z3=90°,即/AEB为直角;BC(2)过E点作辅助线EF使其平行于AM,如图则EF/AD/BC, ./AEF=Z4,/BEF=Z2,Z3=Z4,/1=Z2, ./AEF=Z3,/BEF=/1, .AF=FE=FB,.F为AB的中点，又EF/AD/BC,根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，.ED=EC;(3)由(2

17、)中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E,总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB.类型六等腰梯形的判定【例题6】(2011?百色)已知矩形ABCD的对角线相交于点O,M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点.(1)请你在下列条件DM=CN,OM=ON,MN>AOCD的中位线，MN/AB中任选一个添加条件(或添加一个你认为更满意的其他条件)，使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是.(2)添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形.ABR选题意图1本题主要考查了等腰梯形的判定，难度中等，注意灵活运用全等三角形的判定与性质、矩形

18、的性质和平行线分线段成比例的关系.R解题思路1(1)从4个条件中任选一个即可，可以添加的条件为.(2)先根据SAS证明ZNDBCN,所以可得AM=BN,有矩形的对角线相等且平分，可得OD=OC即OM=ON,从而知，根据平行线分线段成比例，所以MN/CD/AB,且MNAB,即四边形ABNM是等腰梯形.R参考答案1解：(1)选择DM=CN;(2)证明：AD=BC,ZADM=ZBCN,DM=CNANDBCN,.AM=BN,由OD=OC知OM=ON,.MN/CD/AB,且MNAB，四边形ABNM是等腰梯形.【课堂训练题】1 .如图，在四边形ABCD中，ADVBC,对角线AC、BD相交于O点，AC=BD

19、,/ACB=ZDBC.(1)求证：四边形ABCD为等腰梯形.(2)若E为AB上一点，延长DC至F,使CF=BE,连接EF交BC于G,请判断G点是否为EF中点，并说明理由.R参考答案证明：(1)ACB=/DBC,OB=OC1 .AC=BD,.1.OA=OD,.OAD=ZODA3 /DOC=/OAD+/ODA=/OBC+/OCB4 .2/OAD=2/OCB,./OAD=/OCB5 .AD/BC.ADVBC.四边形ABCD为梯形.在AABC和ADCB中：AC=BD,/ACB=/DBC,CB=BC.ABCDCBAB=CD四边形ABCD为等腰梯形.(2)点G是EF中点理由：过E作EH/CD交BC于H./

20、EHB=/DCB,/EHG=/GOF梯形ABCD为等腰梯形EBH=ZDCB,EB=EH,.EB=CF,.EH=CF在EHG和AFGC中：/EHG=/FCG/EGH=/FGCEH=CF.EHGAFGC.EG=FG即G为EF中点.2.如图，在梯形ABCD中，AB/DC,DB平分/ADC,过点A作AE/BD,交CD的延长线于点E,且/C=2/E.(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；(2)若/BDC=30,AD=5,求CD的长.R参考答案1证明：(1).AE/BD,.E=/BDC.DB平分/ADC,/ADC=2/BDC.又C=2ZE,/ADC=/BCD.梯形ABCD是等腰梯形.(2)由第(1)问，得/

21、C=2ZE=2ZBDC=60,且BC=AD=5,.在ABCD中，/C=60,/BDC=30,/DBC=90.DC=2BC=10.第三部分课后自我检测试卷A类试题：1.我们学习了四边形和一些特殊的四边形，如图表示了在某种条件下它们之间的关系.如果，两个条件分别是：两组对边分别平行；有且只有一组对边平行.那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件.立用梆形2.如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M,BD与CE相交于点N.(1)观察图形，写出图中两个不同形状的特殊四边形；(2)选择(1)中的一个结论加以证明.3 .在？ABCD中，AC是一条对角线，/B=/CAD,延长BC至

22、点E,使CE=BC,连接DE.(1)求证：四边形ABED是等腰梯形；若AB=AD=4,求梯形ABED的面积.5.已知，如图，MN是？ABCD外的一条直线,4 .如图，在梯形ABCD中，DC/AB,AD=BC,BD平分/ABC,ZA=60°.过点D作DE±AB,过点C作CFXBD,垂足分别为E、F,连接EF,求证：ADEF为等边三角形.AA'、BB'、CC'、DD'都垂直于MN,A'、B'、C'、D'为垂足.求证：AA'+CC'=BB'+DD'B类试题：6 .如图，在直角梯形ABC

23、D中，AD/BC,BCXCD,/B=60°,BC=2AD,E、F分别为AB、BC的中点.(1)求证：四边形AFCD是矩形；(2)求证：DELEF.7 .在直角梯形ABCD中，AB/DC,AB±BC,ZA=60°,AB=2CD,E、F分别为AB、AD的中点，连接EF、EC、BF、CF.(1)判断四边形AECD的形状(不证明)；(2)在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号经”表示，并证明；(3)若CD=2,求四边形BCFE的面积.AEB8 .如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分/DAB和/CBA,/AEB=90°,设AD=x,BC=y,且(

24、x-3)2+|y-4|=0.(1)求AD和BC的长；(2)你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；(3)你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.DEC类试题:9 .如图所示，在梯形ABCD中，AD/BC,AB=AD,/BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE.(1)求证：四边形ABED是菱形；(2)若/ABC=60,CE=2BE,试判断ACDE的形状，并说明理由.10 .如图，在四边形ABCD中，AD/BC,AE、BF分别平分/DAB和/ABC，交CD于点E、F,AE、BF相交于点M.(1)求证：AELBF;(2)求证：点M在AB、CD边中点的连线上.课后自我检测

25、试卷参考答案A类试题:1 .解：-相邻两边垂直;-相邻两边相等；-相邻两边相等；-相邻两边垂直；-两腰相等；-一条腰垂直于底边.2 .解：(1)矩形ABDE,矩形BCEF;或菱形BNEM;或直角梯形BDEM,AENB等.(2)选择ABDE是矩形.证明：.ABCDEF是正六边形，AFE=/FAB=120,/EAF=30,/EAB=/FAB-/FAE=90.同理可证/ABD=/BDE=90.，四边形ABDE是矩形.选择四边形BNEM是菱形.证明：同理可证：/FBC=/ECB=90,/EAB=/ABD=90,2 .BM/NE,BN/ME,二.四边形BNEM是平行四边形.3 BC=DE,/CBD=/D

26、EN=30,/BNC=/END,BCNAEDN.BN=NE.，四边形BNEM是菱形.选择四边形BCEM是直角梯形.证明：同理可证：BM/CE,/FBC=90，又由BC与ME不平行,得四边形BCEM是直角梯形.3.(1)证明：二.在DABCD中，AD/BC,/CAD=/ACB. ./B=ZCAD,/ACB=/B.AB=AC.AB/CD,./B=ZDCE.又.BC=CE,ABCADCE(SAS).AC=DE=AB.AD/BE, .为等腰梯形.(2)解：二四边形ABCD为平行四边形， .AD=BC=CE=4.ABC为等边三角形.，梯形高二三角形高=2.S=(4+8)X2X=12.4,证明：DC/AB

27、,AD=BC,ZA=60°,/A=/ABC=60, .BD平分/ABC,/ABD=/CBD=/ABC=30,.DC/AB,/BDC=/ABD=30, ./CBD=ZCDB,.CB=CD, .CFXBD, .F为BD的中点， .DEXAB, .DF=BF=EF,由/ABD=30,得/BDE=60, .DEF为等边三角形.5 .证明：连接AC,BD交于O,过O作OO，MN垂足为O'根据平行四边形的性质知OO同为梯形BB'D'内梯形AA'C'd勺中位线得AA'+CC=BB'+DD'B类试题：6 .证明：(1).F为BC的中点,

28、BF=CF=BC,BC=2AD,即AD=BC,.AD=CF,.AD/BC,四边形AFCD是平行四边形，.BCXCD,/C=90,.?AFCD是矩形；(2)二.四边形AFCD是矩形，/AFB=/FAD=90, /B=60°,/BAF=30,/EAD=/EAF+/FAD=120, E是AB的中点， .BE=AE=EF=AB, .BEF是等边三角形，/BEF=60,BE=BF=AE, .AD=BF,.AE=AD,/AED=/ADE=30, ./DEF=180-/AED-/BF=180-30-60=90°. DEXEF.7 .解：(1)平行四边形； 2)ZXBEFAFDC(AAFBEBCAEFC)证明：连接DE,.AB=2CD,E为AB中点，DC=EB,又DC/EB, 四边形BCDE是平行四边形，.AB±BC, 四边形BCDE为矩形， ./AED=90,RtAABF中，ZA=60°,F为AD中点,，AE=AD=AF=FD, .AEF为等边三角形，/BEF=180-60=120°,而/FDC=120,BEF和FDC中DC=BE,/CDA=/FEB=120°,DF=EF,BEFAFDC(SAS).(其他情况证明略)(3)若CD=2,贝UAD=4,DE=BC=2,Sa