微积分基本公式

1、第六章 定积分第二节 微积分的基本公式一. 积分上限函数二. 微积分基本公式一. 积分上限函数 (变上限的定积分) , , , )( 就有值每给定一对而言对可积函数baxf . d)(I 与之对应确定的定积分值baxxf与它的上下限的定积分这意味着 d)( )( baxxfxf . 之间存在一种函数关系 , ,则得到积让积分上限变化固定积分下限不变:分上限函数 . , d)(d)()( baxttfxxfxFxaxaOxyabx x)(xfy 积分上限函数的几何意义Oxyabx x)(xfy 积分上限函数的几何意义xaxxf d)(曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。 ,d)(d)(

2、有由积分的性质：abbaxxfxxf, d)(d)( xbbxttfttf所以，我们只需讨论积分上限函数. d)( 称为积分下限函数bxttf证证 . ),(d)()( ),()( baCttfxFbaRxfxa则若 , , , , 则且baxxbax)()()(xFxxFxFxxxxaxxattfttfttf d)(d)(d)( .| )(| , )( ),()( MxfbaxfbaRxf上有界：在故又xMttfttfxFxxxxxx d| )(| |d)(| | )(|0 于是 . ),()( , baCxFx即可得的任意性由夹逼定理及点 . , : 1 积分上限函数是连续的上的定义在区间

3、说明定理ba ?积分上限函数是否可导 ,d)()()( xxxttfxFxxF由 , ),()( 得则由积分中值定理如果baCxf , )(d)()()( xfttfxFxxFxxx) (之间与在xxxxxfxxFxxFxx)(lim)()(lim 00故)()(lim0 xffx这说明了什么这说明了什么 ？ 条件, d)()( ),()( battfxFbaCxfxa在则若 , 且上可导 . )( )(d)(dd)( bxaxfttfxxFxa , , ),()( 0处连续且在点若baxbaRxf . )()( , d)()( 000 xfxFxttfxFxa且处可导在点则(在端点处是指的

4、左右导数 )例1) dcos (xatt dcosddxattx .cosx ?) dcos ( xaxx定积分与积分变量的记号无关定积分与积分变量的记号无关. )(xF .cos) dcos ( xxxxa例2 . )( , d)1sin()( 2 0 2xFttxFx求设解 , )()( , d)1sin()( , 2 0 22xgxFttugxuu则令xuugxFdd)()( 故)()d)1sin(2 0 2 xttu . )1sin(22)1sin(42xxxu这是复合函数求导, 你能由此写出它的一般形式吗? , 一般地 , )( , )( 则可导若Cxfx . )()() d)( (

5、)()( xxfttfxFxa例3解 . dlim 21 cos 02xtextx计算2cos 1 021 cos 0dlimdlim 22xtextextxxtxxxexx2)sin(lim2cos0 . 21e罗必达法则罗必达法则 )()() d)( ()( xxfttfxa下面再看定理 2 . )()( d)()( 你会想到什么？及由xfxFttfxFxa, d)()( ),()( battfxFbaCxfxa在则若 , 且上可导 . )( )(d)(dd)( bxaxfttfxxFxa, ,d)()( ),()( baxttfxFbaCxfxa则若 . , )( 上的一个原函数在为ba

6、xf . I )( , ) I ()( 上原函数存在在则若xfCxf 推论推论1 推论推论2 .域内原函数存在基本初等函数在其定义 推论推论3 .区间内原函数存在初等函数在其有定义的上在为则如果 , )( d)( ),()( baxfttfbaCxfxa .的一个原函数 , )( )( 则有的原函数为若已知xfxF .)(d)(0 CxFttfxa . )( ,)(d)(0 , 00 aFCCaFttfaxaa故则令 , 则得到取bx . )()(d)(d)( aFbFxxfttfbaba2. 微积分基本公式基本公式基本公式 ) (莱布尼茨公式牛顿 , )( )( ),()( 上的在为若bax

7、fxFbaCxf , 则一个原函数 ).()( )(d)( aFbFxFxxfbaba . 函数的计算联系起来了将定积分的计算与求原莱布尼茨公式牛顿定积分的计算定积分的计算问题转化为已问题转化为已知函数的导函知函数的导函数数, ,求原来函数求原来函数的问题的问题 . . 例5 ,cos)(sinxx . 10sin2sin sindcos202 0 xxx 问题的关键是如何求一个函数的原函数.例6 .2) 1arctan(1arctan arctand111 11 1 2xxx .21)0sin42(sin21 2sin21d2cos40 4 0 xxx例7 . d2cos1 0 xx计算解 0 2 0 dcos2 d2cos1 xxxx 0 d|cos| 2xx 2 2 0 d)cos( 2dcos 2xxxx . 22 sin2 sin2220 xx怎么办？怎么办？ 去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的