控制工程基础系统数学模型 02

1、传递函数是描述系统运动规律的一种数学表达式。传递函数是描述系统运动规律的一种数学表达式。它是一个复变量函数。按传递函数，可以把工程中它是一个复变量函数。按传递函数，可以把工程中所遇到的元件、部件或系统用所遇到的元件、部件或系统用典型环节典型环节表示出来。表示出来。引用了传递函数的概念之后，可以更直观、更形象引用了传递函数的概念之后，可以更直观、更形象地表示一个系统的结构和系统各变量间的数学关系，地表示一个系统的结构和系统各变量间的数学关系，并使运算可以大为简化并使运算可以大为简化 。线性定常系统的传递函数定义为：线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件当全部初始条件为零时为零时（输入量施加

2、于系统之前，系统处于稳定的（输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均时，输出量及其各阶导数也均为为0），），输出量输出量y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)与输入量与输入量x(t)的拉的拉氏变换氏变换X(s)之比叫做系统的传递函数之比叫做系统的传递函数G(s)。 ( )( )( )Y sG sX s 设线性定常系统输入为设线性定常系统输入为x(t) ，输出为，输出为y(t) ，描述系，描述系统的微分方程的一般形式为统的微分方程的一般形式为 : nn 1n 2nn 1n 210nn 1n 2d ydydydyaaaaa ydtdtdtdtLL

3、LLmm 1m 2mm 1m 210mm 1m 2d xdxdxdxbbbbb xdtdtdtdtLLLL式中，式中，nm; an、bm均为系统结构参数所决定的定均为系统结构参数所决定的定常数常数 。（。（n，m=0、1、2、3） 11101110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnmmmma s Y sasY sa sY sa Y sb s X sbsX sb sX sb X s LLLL根据传递函数的定义，系统的传递函数根据传递函数的定义，系统的传递函数G(s)为为 11101110.( )( )( ).mmmmnnnnb sbsb sbY sG sX sa sasa

4、sa 特征方程特征方程00(0)bGKaX(s)=0 系统的系统的特征方程特征方程，特征根特征根。 特征方程决定着系统的动态特性。特征方程决定着系统的动态特性。 X(s) 中中s的最高阶次等于系统的阶次。的最高阶次等于系统的阶次。当当s=0时时 系统的系统的放大系数放大系数或或增益增益11101110.( )( )( ).mmmmnnnnb sbsb sbY sG sX sa sasa sa ！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。数项都为零。K 系统处于静态时，输出与输系统处于静态时，输出与输入的比值。入的比值。零点和极点零点和极点1110

5、1110.( ).mmmmnnnnb sbsb sbG sa sasa sa 1212.( ).mmnnbszszszG saspspsp 12.0mmbszszsz 的根的根 1 2iszim LL，称为传递函数的零点；称为传递函数的零点； 12.0nnaspspsp 的根的根 1,2,ispin LL，称为传递函数的极点；称为传递函数的极点；！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数！零、极点分布图零、极点分布图传递函数的传递函数的零、极点零、极点分布图分布图：将传递函数的

6、零、极将传递函数的零、极点表示在复平面上的点表示在复平面上的图形。图形。零点用零点用“O”表示表示极点用极点用“”表示表示12s 23s 3,41sj u 传递函数传递函数分母多项式分母多项式中中s的最高幂数代表了的最高幂数代表了系统的阶数，如系统的阶数，如s的最高幂数为的最高幂数为n则该系统为则该系统为n阶系统。阶系统。 结论结论u 传递函数通过传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系统输入量与输出量之间的关系系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输来描述系统的固有特性。即以系统外部的输入入输出特性来描述系统的内部特性。若输输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函

7、数入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定。决定。u 传递函数是传递函数是复数复数s域中域中的系统的系统数学模型数学模型。其参。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。输入形式无关。注意注意u 适用于线性定常系统适用于线性定常系统u 只适合于单输入单输出系统的描述只适合于单输入单输出系统的描述u 无法描述系统内部中间变量的变化情况无法描述系统内部中间变量的变化情况u 传递函数原则上不能反映系统在非零初传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律始条件下的全部运动规律u 传递函数中的各项系数和相应微分方程传递函数中的

8、各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数构参数323252267d yd ydydxyxdtdtdtdt43243226324d yd yd ydyyxdtdtdtdt32( )67( )( )522Y ssG sX ssss 432( )4( )( )2632Y sG sX sssss11101110.( ).mmmmnnnnb sbsb sbG sa sasa sa 1212.( ).mmnnbszszszG saspspsp 设系统有设系统有b个实零点个实零点;d 个实极点个实极点;c 对复零点对复零点; e对复极点对复极点

9、;v个零极点。个零极点。b+2c = m v+d+2e = n 1111iiijjjszsspT sT 11ijijTzp ， 2212121lllLllszszss 11112llllllllzzz zz z ， 2212121kkkkkkspspT sT sT 11112kkkkkkkkppTp pp p ， 22112211121( )121bcilllildevjkkkjkKsssG ssT sT sT s 22111111bcdemjkiljknilbKTTa！串联！串联比例环节比例环节一阶微分环节一阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节积分环节积分环节惯性环节惯性环节二阶振荡环节二阶振

10、荡环节理想微分环节理想微分环节延迟环节延迟环节se su 环节是根据微分方程划分的，不是具体环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件的物理装置或元件u 一个环节往往由几个元件之间的运动特一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成性共同组成u 同一元件在不同系统中作用不同，输入同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作输出的物理量不同，可起到不同环节的作用用( )( )y tkx t ( )( )/( )G sY sX sk 式中式中k比例系数比例系数 这类环节在工程中是很多的，比如齿轮系统中的这类环节在工程中是很多的，比如齿轮系统中的输出转速与输入转速的

11、关系；杠杆中的输出位移输出转速与输入转速的关系；杠杆中的输出位移和输入位移的关系；电位计中的输出电压与输入和输入位移的关系；电位计中的输出电压与输入转角的关系；电子放大器中输出信号与输入信号转角的关系；电子放大器中输出信号与输入信号的关系等的关系等 ( )( )( )1Y sKG sX sTS ( )( )( )TsY sY sKX s ( )( )( )dy tTy tKx tdt 1( )1tTy te 惯性环节的单位阶跃惯性环节的单位阶跃响应曲线响应曲线0( )1tdy tdtT ui(t) uo(t) R C i 011iuiRidtCuidtC 0( )1( )( )1iUsG sU

12、 sTs FpA cdxFBkxdtcdxBkxApdt( )( )( )(/ )11ccAX sAKkG sP sB skBk sTs/cTBk /KA k dxyTdt 一阶微分环节一阶微分环节 理想微分环节理想微分环节dxyxTdt222d xdxyTTxdtdt 对应于上面微分方程式的传递函数分别为对应于上面微分方程式的传递函数分别为 理想微分环节理想微分环节 ( )( )( )Y sG sTsX s 一阶微分环节一阶微分环节 ( )( )1( )Y sG sTsX s22( )( )21( )Y sG sT sTsX s 22210T sTs ui(t) uo(t) R C i 电气

13、微分环节电气微分环节 例例 图示的电气环节，输入电压图示的电气环节，输入电压ui(t),输出电压为输出电压为uo(t)，试写出其传递函数。试写出其传递函数。 1( )( )( )ioou tidtu tcu tiR 经拉氏变换后，整理，可经拉氏变换后，整理，可得传递函数为得传递函数为 ( )( )( )1ioUsTsG sUsTs TRC 如果如果RC很小，传递函数可以近似写成很小，传递函数可以近似写成G(s)=Ts。可以。可以把该把该RC电路看成理想微分环节。电路看成理想微分环节。1( )( )y tx t dtT 传递函数为传递函数为 ( )1( )( )Y sG sX sTs例例 如图所

14、示的油缸，其输入为流量如图所示的油缸，其输入为流量q，输出为油缸，输出为油缸活塞的位移活塞的位移x，试写出其传递函数。，试写出其传递函数。 /dx dtq A qxdtA 1( )( )/( )G sX sQ sAs例例 如图所示的无源网络，输入量为回路电流如图所示的无源网络，输入量为回路电流i,而输而输出量为出量为uc，试写出其传递函数。，试写出其传递函数。 1cuidtc ( )1( )( )cUsG sI scs 其微分方程式为其微分方程式为2222d ydyTTyKxdtdt 传递函数为传递函数为 22( )( )( )21Y sKG sX sT sTs 在图在图2-1a所示的机械系统

15、可以看作这种环节。所示的机械系统可以看作这种环节。 对于平移机械系统，微分方程式为：对于平移机械系统，微分方程式为：22( )d xdxmfkxf tdtdt2( )1( )( )X sG sF smsfsk输出与输入关系具有延迟关系的环节，称为延输出与输入关系具有延迟关系的环节，称为延迟环节。该环节的输出滞后输入时间迟环节。该环节的输出滞后输入时间 后不失后不失真地复现输入，如图真地复现输入，如图2-10所示，其所示，其微分方程为微分方程为 ( )()y tx t ( )( )( )sY sG seX s KTs1Ts 2221 (01)T sTs，1s1(1)Ts 221(01)(21)T

16、 sTs ，se )(sY )(sX )(sG ( )( ) ( )Y sX s G s )(sY )(sX )(sG 图图 2-14 框图单元框图单元 2. 比较点比较点(相加点相加点)如图如图2-15 所示，比较点代表两个或两个以上所示，比较点代表两个或两个以上的输入信号进行相加或相减的元件，或称比较的输入信号进行相加或相减的元件，或称比较器。箭头上的器。箭头上的“+”或或“-”表示信号相加还是相表示信号相加还是相减，相加减的量应具有相同的量纲。减，相加减的量应具有相同的量纲。 图图2-15比较点比较点 + Y(s) X(s) E(s)= X(s) Y(s) Y(s) Y(s) 1121(

17、 )( )( )( ).( )( )( )( )( )Y sY sY sG sG s G sX sX sY s G1(s) G2(s) G(s)= G1(s) G2(s) Y(s) Y(s) Y1(s) X(s) X(s) 图图 2-17 串串联联连连接接 由串联环节所构成的系统，当前后方框之由串联环节所构成的系统，当前后方框之间无负载效应时，它的总传递函数等于个间无负载效应时，它的总传递函数等于个环节传递函数的乘积。环节传递函数的乘积。当系统由当系统由n个环节串联而成时，总传递函个环节串联而成时，总传递函数为：数为：1( )( )niiG sG s （2-55）式中式中Gi(s)第第i个串联

18、环节的传递函数个串联环节的传递函数(i=1，2，n )()()(21sYsYsY G1(s) G2(s) G(s)=G1(s)+G2(s) X(s) X(s) Y1(s) Y(s) Y(s) Y2(s) + + 图图 2-18 并并联联连连接接 1212( )( )( )( )( )( )( )( )( )Y sY sY sG sG sG sX sX sX s并联环节所构成的总传递函数，等于各个并联环节所构成的总传递函数，等于各个并联环节传递函数之和（或差）。并联环节传递函数之和（或差）。推广到推广到n个环节并联，其总的传递函数等于个环节并联，其总的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和，即各

19、并联环节传递函数的代数和，即 1( )( )niiG sG s （2-56） 式中式中Gi(s)第第i个并联环节的传递函数个并联环节的传递函数(i=1，2，n ) G(s) H(s) ( )( )1( )( )G ssG s H s X(s) X(s) Y(s) Y(s) B(s) E(s) + 图图 2-19 反反馈馈连连接接 ( )( )( ) ( )Y sX sB s G s ( )( )( )B sY s H s ( )( )( )1( )( )Y sG sX sG s H s 1( )( )niiG sG s （2-60）反馈回路传递函数：反馈回路传递函数：H(s)称为反馈回路传递函

20、数，它是信号沿着输出端称为反馈回路传递函数，它是信号沿着输出端进入，而回到输入端时所有经过的环节乘积，即进入，而回到输入端时所有经过的环节乘积，即 1( )( )mijH sH s （2-61） 开环传递函数：开环传递函数：G(s)H(s)称为系统的开环传递函数，可表示为称为系统的开环传递函数，可表示为 11( )( )( )( )nmiiijG s H sG sH s （2-62） 注意注意 ：开环传递函数开环传递函数和和开环系统传递函数开环系统传递函数是不是不一样的。将（一样的。将（2-60）、（）、（2-62）代入（）代入（2-59）式）式中，则系统的闭环传递函数为中，则系统的闭环传递函

21、数为 ：111( )( )( )1( )( )niinmiiijG sY sX sG sH s （2-63） 当当H(s)=1时，我们将系统称为时，我们将系统称为单位反馈系统单位反馈系统或或全全反馈系统反馈系统。 G1(s) H(s) X(s) Y(s) + - 同同同同时时时时存存存存在在在在输输输输入入入入量量量量与与与与干干干干扰扰扰扰量量量量时时时时的的的的系系系系统统统统 G2(s) + + N(s) 在输入量在输入量X(s)的作用下可把干扰量的作用下可把干扰量N(s)看作为零，看作为零，系统的输出为系统的输出为YR(s)，则，则 1212( )( )( )( )( )( )1( )

22、( )( )RRG sG sYsGs X sX sG sG s H s 在干扰量在干扰量N(s)作用下作用下可把输入量可把输入量X(s)看作为零看作为零，系统的输出为系统的输出为YN(s) ，则，则 212( )( )( )( )( )1( )( )( )NNG sYsGs N sN sG sG s H s（2-65） 在（在（2-64）式中，）式中，称称GR(s)为输出量对输入量的传为输出量对输入量的传递函数递函数，即，即 GN(s)212( )( )( )( )1( )( )( )NNYsG sGsN sG sG s H s2112( )( )( )( )( )( )( )1( )( )(

23、 )RNY sYsYsG sG sX sN sG sG s H s1212( )( )( )( )( )1( )( )( )RRYsG sG sGsX sG sG s H s 1、列出描述系统各个环节的运动方程式，明确信、列出描述系统各个环节的运动方程式，明确信号的因果关系（输入号的因果关系（输入/输出）；输出）；2、假定初始条件等于零，对方程式进行拉氏变换，、假定初始条件等于零，对方程式进行拉氏变换，求出环节的传递函数，并将它们分别以方块的形求出环节的传递函数，并将它们分别以方块的形式表示出来；式表示出来；3、按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将、按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将

24、各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。例例 绘制图示的二阶绘制图示的二阶RC回路的框图。回路的框图。 ur uC R1 i1 u1 C1 C2 R2 i2 A B 二阶二阶RC回路回路 解：首先列出系统原始方程解：首先列出系统原始方程 111( )( )( )ru tu ti tR 11211( )( )( )u ti ti tdtC 122( )( )( )cu tu ti tR 221( )( )cu ti t dtC 111( )( )( )rUsUsI sR 1211( )( )( )I sIsUsC s 122( )( )( )cUsUs

25、IsR 22( )cIsUC s 21R Uc(s) + - U1(s) I2(s) 111( )( )( )rUsUsI sR 122( )( )( )cUsUsIsR 11R Ur(s) + - U1(s) I1(s) 1211( )( )( )I sIsUsC s 22( )cIsUC s 11C s + - U1(s) I1(s) I2(s) 21C s UC(s) I2(s) 11R Ur(s) + - U1(s) I1(s) 11C s U1(s) 21R 21C s UC(s) + I2(s) - + - UC(s) I2(s) 例：绘制图示机械系统的框图。设作用力例：绘制图示机

26、械系统的框图。设作用力fi(t)、位、位移移x(t)分别为系统的输入量、输出量。分别为系统的输入量、输出量。2112( )( )( )( )iCKd x tmf tftftdt11( )( )( )KOftKx txt ( )( )( )OCdxtdx tftCdtdt22122( )( )( )( )OKCKd xtmftftftdt22( )( )KOftK xt 解：解：拉氏变换得拉氏变换得1211( )( )( )( )iCKX sF sFsFsm s11( )( )( )KOFsKX sXs ( )( )( )COFsCs X sXs 1221( )( )( )( )OKCKXtFs

27、FsFsm s22( )( )KOFsK Xs A A-B A-B+C B C + + + - A A+C A-B+C C B + + + - 表表2-3 框图变换法则框图变换法则 A A-B+C B + + - C A A-B A-B+C B + + - + C A AG1 AG1G2 G1 G2 A AG2 AG1G2 G2 G1 A AG1 AG1G2 G1 G2 A AG1G2 G1G2 A AG1+AG2 G1+G2 A AG1 AG1+AG2 +C + + G1 G2 AG2 A AG AG-B AG2 +C + - G B A A-B/G AG-B AG2 +C + - B G

28、1/G A A-B AG2 +C + - B G AG-BG A AG AG2 + - B G G BG AGAG-BG A AGG AG AG G A AGG AG AG A AGG AG A A AGG AG AG 1/G A A + - B A-B AG2 +C A-B AG2 A + - B A-B AG2 +C A-B AG2 B + - A + + B A+B AG2 +C A + B A+B AG2 +C A AB A + + - 2、相加点可以互换；、相加点可以互换； 3、分支点可以前移或后移，但移动之后，需在、分支点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中乘或除以所跨接的传递

29、函数；此回路中乘或除以所跨接的传递函数； 4、相加点可以前移或后移，但移动之后，需在相加点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中除或乘以所跨接的传递函数；此回路中除或乘以所跨接的传递函数； G1(s) G3(s) G4(s) G7(s) G2(s) G5(s) Xi(s) + G6(s) A - - + - + Xo(s) 图图 2-20a 解：解：1、A点后移，得到图点后移，得到图2-20b所示的方框图。所示的方框图。 G1(s) G3(s) G4(s) G7(s) G2(s) G5(s) Xi(s) + G6(s) - - + - + Xo(s) 图图 2-20b 1/G4(s) 2、消

30、去回路、消去回路，得到图，得到图2-20c所示的方框图。所示的方框图。 G1(s) 343461Gs GsGs Gs Gs G7(s) G2(s) G5(s) Xi(s) + - - + Xo(s) 图图 2-20c 1/G4(s) 3、消去回路、消去回路，得到图，得到图2-20d所示的方框图。所示的方框图。 G1(s) 2342353461Gs Gs GsGs Gs GsGs Gs Gs G7(s) Xi(s) + - Xo(s) 图图 2-20d 4、消去回路、消去回路，得到图，得到图2-20e所示的方框图。所示的方框图。 1234235346123471Gs Gs Gs GsGs Gs

31、GsGs Gs GsGs Gs Gs Gs Gs Xi(s) Xo(s) 图图 2-20e 1234235346123471oiXsGs Gs Gs GsXsGs Gs GsGs Gs GsGs Gs Gs Gs Gs 所以所以 a) G1 X(s) + - Y(s) + - + - G2 G3 G4 A B 解：解：1、图图2-21(a)的分支点的分支点A后移到分支点后移到分支点B处，因而得处，因而得到图到图2-23(b)所示的方框图。它包括三个回路，分别所示的方框图。它包括三个回路，分别以以、标明。标明。 G1 X(s) + - Y(s) + - + - G2 G3 G4 1/G4 b)2

32、、第、第回路的传递函数为：回路的传递函数为： 34334( )1G GF sG G 以以F3(s)代替第代替第回路，从而得到图回路，从而得到图 2-21 (c) G1 X(s) + - Y(s) + - G2 34341G GG G 1/G4 c)3、 第第回路的传递函数为：回路的传递函数为： 23434234223434233441( )1111G G GG GG G GF sG G GG GG GG GG 以以F2(s)代替第代替第回路，从而得到图回路，从而得到图2-21(d) X(s) Y(s) + - 123423341G G G GG GG G d)4、最后，得到系统的传递函数为、最后，得到系统的传递函数为 12343423123412342334123423341( )( )111G G G GG GG GG G G GY sG G G GX sG GG GG G G GG GG G 可以将其表示在图可以将其表示在图 2-21（e）