数列求和及极限

1、数列求和及极限【知识及方法归纳】1、 数列求和主要有以下几种常见方法：（1）公式法；（2）通项转移法；（3）倒序相加法；（4）裂项相消法；（5）错项消法；（6）猜想、证明（数学归纳法）。2、 能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限；求无穷等比数列各项的和。【学法指导】1、 在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，还应掌握自然数方幂数列的求和公式，如：+=；2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列，可通过对数列通项结构特点的分析研究，将2其分解为若干个易求和的新数列的和、差；3、将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易求和，这样的数列常用倒序相加，如课

2、本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到；4、利用裂项变换改写数列的通项公式，通过消去中间项达到求和的目的；5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列，其求和的方法类似于推导等比数列前n项和公式的方法，通过乘于等比数列的公比，在错位相减，转化为等比数列的求和问题；6、通过对、进行归纳，分析，寻求规律，猜想出，然后再用数学归纳法给予证明。【典型例题】例1 求和：+【分析】这是一个通项为的数列求前 n项和，对通项公式展开可得：=，所以对原数列求和分解为3个新数列求和，可用方法2求和。【简解】+=（）+（）+（）=4（+）4·（1+2+3+n）+n=4。例2 求和：+【分析】这

3、是一个通项为的数列求前n项和，观察通项，不难发现它是一个等差数列与一个等比数列的积，可用方法5求和。【简解】设=+，则=+，所以=1+=1+）=1+=，所以=。例3 求，的前n项和【分析】先写出此数列的通项=，它属于用方法4，即裂项求和。【简解】因为=，所以=6（1-）+（-）+（-）=。例4 若=，求【分析】由于所求的和与 n的奇偶有关，所以按n的奇偶分两类分别求和。【简解】= 2+712+1722+27+，当n为奇数时，=5n+3=,当n为偶数时，=。例5 在等比数列中,=()=,则的取值范围是多少？【分析】无穷等比数列的各项和是指前n项和的极限。当|q|1时，=；当|q|1时，这一极限不

4、存在。即在无穷等比数列中，|q|1（q0）是存在的充要条件。所以特别要注意公式S=的含义及适用范围。因此由=可得：q=1-4，因为0|q|1，所以0|1-4|1，即：0，且。【简解】得的取值范围是（0，）（，）。【复习练习】一、 选择题1、等差数列、的前n项和分别为与，若，则等于（ ）A、1 B、 C、 D、2、等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 （ ）A、130 B、170 C、210 D、2603、等比数列中，1，且前n项和满足 =，则的取值范围是（ ）A、（1、+） B、（1、4） C、（1、2） D、（1、）4、根据时常调查结果，预测某种家用商品从年初开始

5、的几个月内累积的需求量（万件）近似地满足=（n=1，2，12）。按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 （ ） A、5月、6月 B、6月、7月 C、7月、8月 D、8月、9月5、若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 （ ） A、13项 B、12项 C、11项 D、10项二、 填空题1、设a1，则= 。2、已知等差数列的公差d 0 ，首项0，=，则= 。 3、已知等比数列（R），=9，=27，且=（n=1、2），则 = 。 4、设0ab，则= 。 5、若数列的通项为 （nN），则（）= 。三、 解答题1、已知数列， 为其前n项的和，计算得=，=，= ，= 。观察上述结果，推测计算的公式，并用数学归纳法证明。2、设数列的前n项和为，若对所有的正自然数n，都有=。证明：是等差数列。3、 是正数组成的数列，前n项和为，且对所有n，与2的等差中项等于与2的等比中项。（1）写出数列的前3项；（2）求数列的通项公式（写出推证过程）；（3）令=(+) ( n),求lim(+-n)。4、 设是正数组成的等比数列，前n项和为。（1）证明：；（2）是否存在常数c0，使得=成立？并证明你的结论。5、 设为等比