数学经典例题同角三角函数的基本关系

1、1已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值解  sin0角在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上)(2)若在第四象限，则说明  在解决此类问题时，要注意：(1)尽可能地确定所在的象限，以便确定三角函数值的符号(2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次)(3)必要时进行讨论 例2  已知sin=m(|m|1)，求tg的值(2)当m=±1时，的终边在y轴上，tg无意义(3)当在、象限时，cos0当在第、象限时，cos0，说明  (1)在对角的范围进行讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况(2)本题在进行讨论时，为什么以cos的

2、符号作为分类的标准，而不按sin的符号(即m的符号)来分类讨论呢？你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？2三角函数式的化简三角函数式的化简的结果应满足下述要求：(1)函数种类尽可能地少(2)次数尽可能地低(3)项数尽可能地少(4)尽可能地不含分母(5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来化简的总思路是：尽可能地化为同类函数再化简例3  化简sin2·tg+cos2·ctg+2sincos=sec·csc解2  原式=(sin2·tg+sin·cos)+(cos2·ctg+sincos)=tg·(sin2

3、+cos2)+ctg(sin2+cos2)=tg+ctg=sec·csc说明  (1)在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进行的(2)解2中的逆用公式将sin·cos用tg表示，较为灵活，解1与解2相比，思路更自然，因而更实用例4  化简：分析  将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进行化简3三角恒等式的证明证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现实质上的同，这个过程，往往是从化简开始的这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最复杂处开始例5  求证 cos(2sec+

4、tg)(sec-2tg)=2cos-3tg分析  从复杂的左边开始证得右边=2cos-3tg=右边例6  证明恒等式(1)1+3sin2sec4+tg6=sec6(2)(sinA+ secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2分析  (1)的左、右两边均较复杂，所以可以从左、右两边同时化简证明  (1)右边-左边=sec6-tg6-3sin2sec4-1=(sec2-tg2)(sec4+sec2·tg2+tg2)-3sin2sec4-1=(sec4-2sec2tg2+tg2)-1=(sec2-tg2)2-1=0等式成立=s

5、in2A+cos2A=1故原式成立在解题时，要全面地理解“繁”与“简”的关系实际上，将不同的角化为同角，以减少角的数目，将不同的函数名称，化为同名函数，以减少函数的种类，都是化繁为简，以上两点在三角变换中有着广泛的应用分析1  从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类分析2  由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，进而可以约分，达到化简的目的说明  (1)当题目中涉及多种名称的函数时，常常将切、割化为弦(如解法1)，或将弦化为切(如解法2)以减少函数的种类(2)要熟悉公式的各种变形，以便迅速地找到解题的突破口，请看下列=sec+tg等式成立说明  以上证明中采用了“1的代换”的技巧，即将1用sec2-tg2代换，可是解题者怎么会想到这种代换的呢？很可能，解题者在采用这种代换时，已经预见到代换后