控制系统频率法分析

1、15-1 频率特性5-2 典型环节分解和频率特性曲线绘制5-3 频率域稳定判据5-4 稳定裕度5-5 闭环系统的频域性能指标 第五章 线性系统的频率分析法2 考察一个系统的好坏，通常通过阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。 控制系统中的信号可表示为不同频率正弦信号的合成。控制系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能。通过分析不同频率正弦波输入时系统的响应，来考察系统性能，这种方法称为频域分析法频域分析法。 5-1 频率特性频率特性34一、频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念RUIU0C1( )1G sTs( )sinr tAt22( )AR ss/2222( )sin()11t

2、TAA Tc ttarctg TeTT221( )( ) ( )1AC sR s G sTss例如：5可见输出幅值是输入的可见输出幅值是输入的 ，输出相位比输入滞，输出相位比输入滞后后 。2211 Tarctg T22( )lim ( )sin()1sstActc ttarctg TT6 对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和c(t)，系统的传递函数为G(s)。式中， 为极点。).()()()()()(21npspspssNsRsCsGnjpj,.,2 , 1,若：)()(,sin)(22jsjsRsRsRtRtrmmm则则：jskjskpskpskpskjsjsRpspsp

3、ssNpspspssRsNsCccnnmnn2122112121.)().()()().()()()()(7拉氏反变换为：tjctjctpntptpekekekekektcn2121.)(21若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 ，即稳态时：0,.,0, 021tptptpneeettjctjcsekektc21)(式中， 分别为：21,cckkjjGRjsjsjsRsGjssCkjjGRjsjsjsRsGjssCkmjsmjscmjsmjsc2)()()()(| )(2)()()()(| )(218)()()()()()()(jGjejGjdcjbajG)()(jeA)()()()()()(

4、)(jGjejGjdcjbajG)()(jeA)(2)(1)(2)(2)(2)(2jmmcjmmceAjRjGjRkeAjRjGjRk令：9)(sin()(sin()(2)()(2)(2)()()()()(21tCtRAjeeRAeeAjReeAjRekektcmmtjtjmtjjmtjjmtjctjcs式中：Rm 、Cm分别为输入输出信号的幅值。上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了幅值放大了 倍，相位移动了相位移动了 。 和 都是频率的函数。|

5、 )(|)(jGA)()(jG)(A)(10相频特性：稳态响应与正弦输入信号的相位差 为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； )()(jG| )(|)(jGARCmm幅频特性：稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 定义：定义：11幅频特性幅频特性和相频特性相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 称为频率特性频率特性。: )(jG)()()(jeAjG 注： 当传递函数中的复变量s用 代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。j12 到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程

6、、传递函数和频率特性。它们之间的关系如下：微分方程微分方程频率特性频率特性传递函数传递函数系统系统pj js ps 13例：设传递函数为：431)()()(2sssxsysG解：频率特性为3414)( 3)(1)()()(22jjjjxjyjG14 在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设计的，常用的频率特性曲线有以下三种：q 幅相频率特性曲线（又称极坐标图、奈魁斯特曲线）q 对数频率特性曲线（又称波德图）q 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）5.1.2 5.1.2 频率特性的几何表示法频率特性的几何表示法频率特性表达式：)(exp(| )(|)( jGjjGjG极坐标形式幅频特性，

7、相频特性幅频特性，相频特性)()()(jQPjG复数形式实频特性，虚频特性实频特性，虚频特性150)(P)(Q)()(A11)(2ssssG1、幅相频率特性曲线（极坐标图、奈魁斯特曲线） 以横轴为实轴、纵轴为虚轴构成复平面，在复平面上用一条曲线表示 由 时的频率特性。即用矢量 的端点轨迹形成的图形。 是参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。0)(jG162、对数频率特性曲线（又称波德图）l组成：对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线对数相频特性曲线。l横坐标按横坐标按 分度，单位为弧度分度，单位为弧度/ /秒（秒（rad/s)rad/s)lgDecDecD

8、ecDec12012.log01. 001 . 0110100)(lg20)(lg20)(AjGLl对数幅频曲线的纵坐标按下式分度：对数幅频曲线的纵坐标按下式分度：单位为分贝单位为分贝(dB)l对数相频特性曲线对数相频特性曲线的纵坐标：按 线性分度，单位为度（）)(17)()()()(21jGjGjGjGn )()(2)(1)()()(21njnjjeAeAeA )(.)()(2121)()()(njneAAA n个环节串联 （5-13）而对数幅频特性L()为18)()()(lg20)(lg20)(21nAAAjGL )(lg20)(lg20)(lg2021nAAA )()()(21nLLL

9、)()()()()()(21njG （5-14）对数相频特性 为 （5-15）19使用对数坐标图的优点：n可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。n可以将乘法运算转化为加法运算。n所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示。n对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。203、 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图） 尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位为分贝。横、纵坐标都是线性分度。215.2.

10、1 典型环节5-2 典型环节分解和频率特性曲线绘制典型环节分解和频率特性曲线绘制对任一传递函数，可分解为以下形式：l最小相位环节 l非最小相位环节22开环系统典型环节分解0KK 1/(1)(0)TsT 1(0)TsT 221/(/2/1)nnss (0, 01)n22/2/1nnss0KK 1/(1)(0)TsT1(0)TsT 221/(/2/1)nnss 22/2/1nnss(0, 01)n最小相位系统最小相位系统比例环节比例环节 惯性环节惯性环节 一阶微分环节一阶微分环节振荡环节振荡环节二阶微分环节二阶微分环节积分环节积分环节1/s；微分环节微分环节s；惯性环节惯性环节一阶微分环节一阶微分

11、环节振荡环节振荡环节 (二阶微分环节二阶微分环节非最小相位系统非最小相位系统比例环节比例环节23logdBL/ )(log)(180180幅频特性： ；相频特性： KA)(0)( 比例环节： ;KsG)(KjG)(对数幅频特性： 111000lg20)(KKKKL常数Klog201K1KKlog201KKlog20001800)(KKK相频特性： 0K0K比例环节的比例环节的bode图图5.2.2 典型环节的频率特性一、典型环节的对数频率特性曲线24 积分环节的频率特性：sKsG)(频率特性：2)(eKKjjKjG积分环节的积分环节的Bode图图,log20log20log20)(log20)

12、(KKAL20)(10; 0)(, 11LLK时，当时，当2)0()(1KtgKA)(1KdBL/ )()(902040204011010011010010K0)(;log20)(, 10LKKLK时，当时，当可见斜率为20dB/dec 当有两个积分环节时可见斜率为40dB/dec 25TtgTKA122)(,1)(惯性环节的惯性环节的Bode图图 惯性环节的频率特性：1)(TsKsG1)(TjKjG对数幅频特性： ，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：221log20log20)(log20)(TKAL低频段：当 时， ，称为低频渐近线。1TKLlog20)(高频段：当 时， ，称

13、为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降20分贝）。1TTKLlog20log20)( 当 时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。026低频高频渐近线的交点为： ，得： ，称为转折频率或交换频率。 TKKlog20log20log20TTo1, 1可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。27惯性环节的惯性环节的Bode图图图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。28惯性环节的惯性环节的Bode图图波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：当 时，误差为：o2211log20T当 时，误差为：oTTl

14、og201log20222最大误差发生在 处，为To1)( 31log20202maxdBTT0.1 0.2 0.5 1 2 510L(),dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 渐近线,dB 0 000-6 -14 -20 误差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.2-0.0429 相频特性： Ttg1)(作图时先用计算器计算几个特殊点：。时，当时，当时，当2)(;4)1(1; 0) 0(0TT由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于相频特性曲线在半对数坐标系中对于( 0, -45)点是斜对称的点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T

15、变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。惯性环节的波德图惯性环节的波德图T0.010.020.050.10.20.30.50.71.0()-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45T2.03.04.05.07.0102050100()-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.430 振荡环节的频率特性：22222212)(nnnssKTssTKsG讨论 时的情况。当K=1时，频率特性为：10TjTjG2)1

16、(1)(22振荡环节的频率特性振荡环节的频率特性2222)2()1 (1)(TTA幅频特性为：22112)(TTtg相频特性为：2222)2()1 (log20)(log20)(TTAL对数幅频特性为：低频段渐近线：0)(1LT时，高频段渐近线：TTLTlog40)(log20)(1222 时，两渐近线的交点 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。To131相频特性：22112)(TTtg几个特征点：。)(,;2)(,1; 0)(, 0T由图可见：对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于( 0, -90)点是斜对称的。 对数幅频特性曲线有峰值。3 . 0, 1,10TKTo1DecdB/4016

17、 . 010)(2ssjG振荡环节的波德图振荡环节的波德图32对 求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率 ：)(A)(ApTp221该频率称为谐振峰值频率。可见，当 时， 。当 时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值:707. 0210p21212121)(ppAM谐振频率，谐振峰值谐振频率，谐振峰值当 ， ， 021)(0A2lg20)(0L因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。 33振荡环节的波德图振荡环节的波德图左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。34 微分环节的频率特性

18、： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：12)(1)()(22TssTsGTssGssG频率特性分别为：TjTjGjTjGjjG21)(1)()(22微分环节的频率特性微分环节的频率特性35纯微分环节的波德图纯微分环节的波德图 纯微分：2)(log20)(log20)()(ALA36 一阶微分：这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为T1相频特性：几个特殊点如下2)(,;4)(,1; 0)(, 0T相角的变化范围从0到 。2低频段渐进线：0)(log201)(1AAT，时，当高频段渐进线：TLTATlog20)()(1，时，当对数幅频特性（用渐近线近似

19、）：一阶微分环节的波德图一阶微分环节的波德图TtgTA122)(,1)(221lg20)(TL37一阶微分环节的波德图一阶微分环节的波德图一阶微分环节惯性环节38幅频和相频特性为：221222212)(,)2()1 ()(TTtgTTA 二阶微分环节：12)(22TssTsG低频渐进线：0)(1LT时，高频渐进线：TTTLTlog40)2()1 (lg20)(12222 时，转折频率为： ，高频段的斜率+40dB/Dec。To1相角：)(,;2)(,1; 0)(0T时，当可见，相角的变化范围从0180度。二阶微分环节的频率特性二阶微分环节的频率特性2222)2()1 (lg20)(TTL39二

20、阶微分环节的波德图二阶微分环节的波德图二阶微分振荡环节40 延迟环节的频率特性：传递函数：sesG)(频率特性：jejG)(幅频特性：1)(A相频特性：(deg)3 .57)()(rad延迟环节的奈氏图延迟环节的奈氏图41最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统11)(121sTsTsG11)(122sTsTsGsTsTsG12311)(sTsTsG12411)(sesTsTsG11)(125例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。212254321)(1)(1)()()()()(TTAAAAA11211)(TtgTtg11212)(TtgTtg11213)(TtgT

21、tg11214)(TtgTtg3 .57)(11215TtgTtg42由图可知最小相位系统是指在具有相同幅频特性的一类系统中，当从0变化至时，系统的相角变化范围最小，且变化的规律与幅频特性的斜率有关系(如 1() )。而非最小相位系统的相角变化范围通常比前者大(如2()、3()、5()；或者相角变化范围虽不大，但相角的变化趋势与幅频特性的变化趋势不一致(如 4() )。最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统43最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统系统传递函数的极点、零点都位于左半平面非最小相位系统在右半平面存在极点、零点最小相位系统的特点：不含有滞后环节，或不稳定的环节对

22、于具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角最小幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，因此只要知道其对数幅频特性，就可以画出其相频特性，也可以写出其传递函数。而非最小相位系统的幅频特性和相频特性之间不存在这种唯一对应关系44实频特性 ： ；虚频特性： ；KP)(0)(QReImK 比例环节： ;KsG)(KjG)(幅频特性： ；相频特性： KA)(0)(比例环节的极坐标图为实轴上的K点。二、典型环节的幅相频率特性曲线45积分环节的奈氏图积分环节的奈氏图频率特性：2)(eKKjjKjG2)0()(1KtgKA)(KQ)(0)(PReIm0 积分环节的频率特性：sKsG)(积分环节的极坐标图

23、为负虚轴。频率从0特性曲线由虚轴的趋向原点。46惯性环节的奈氏图惯性环节的奈氏图 惯性环节的频率特性：1)(TsKsG1)(TjKjGTtgTKA122)(,1)(22221)(,1)(TKTQTKP0)0()0(0)0()0(0QKPKA，时：2)1(2)1(45)1(2)1(1KTQKTPTKTAT，时：0)(0)(90)(0)(QPA，时：0T147惯性环节的奈氏图惯性环节的奈氏图极坐标图是一个圆，对称于实轴。证明如下：TPQ)()(222)(11PQKTKP整理得：222)2()2(KQKP011TK2K11)(jjG22221)(1)(TKTQTKP下半个圆对应于正频率部分，而上半个

24、圆对应于负频率部分。48实频、虚频、幅频和相频特性分别为：222222222222224)1 (2)(,4)1 (1)(TTTQTTTP222222)2()1 (1)()()(TTQPA221112)()()(TTtgPQtg振荡环节的频率特性振荡环节的频率特性 振荡环节的频率特性：22222212)(nnnssKTssTKsG讨论 时的情况。当K=1时，频率特性为：10TjTjG2)1 (1)(2249当 时， ，曲线在3，4象限；当 时，与之对称于实轴。 00)(Q0振荡环节的奈氏图振荡环节的奈氏图07 . 0, 1, 1Tk14 . 11)(2sssG0)(, 1)(0)(, 1)(0Q

25、PA，时当222222224)1(1)(TTTP2222)2()1(1)(TTA22112)(TTtg2222224)1(2)(TTTQ，时当T1;2)(,21)(A21)(, 0)(QP，时当)(, 0)(A0)(, 0)(QP实际曲线还与阻尼系数有关50振荡环节的奈氏图振荡环节的奈氏图由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的。当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越接近圆。51 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：12)(1)()(22TssTsGTssGssG频率特性分别为：TjTjGjTjGjjG21)(1)()(22微分环节的

26、频率特性微分环节的频率特性52 纯微分环节：jjG)(纯微分环节的奈氏图纯微分环节的奈氏图0,20,2)(,)(AReIm0)(,0)(QP微分环节的极坐标图为正虚轴。频率从0特性曲线由原点趋向虚轴的+。53TQP)(, 1)(一阶微分环节的奈氏图一阶微分环节的奈氏图 一阶微分：TtgTA122)(,1)(ReIm0一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴直线。频率从0特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位。54二阶微分环节的频率特性二阶微分环节的频率特性 二阶微分环节：12)(22TssTsG幅频和相频特性为：221222212)(,)2()1 ()(TTtgTTATQTP2)(,1)

27、(2255 001极坐标图是一个圆心在原点，半径为1的圆。延迟环节的奈氏图延迟环节的奈氏图 延迟环节的频率特性：传递函数：sesG)(频率特性：jejG)(幅频特性：1)(A相频特性：(deg)3 .57)()(rad56一、开环系统极坐标频率特性的绘制（绘制奈氏图） 开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成，或是一个有理分式，不论那种形式，都可由下面的方法绘制。q 使用MATLAB工具绘制。q 将开环系统的频率特性写成 或 的形式，根据不同的 算出 或 可在复平面上得到不同的点并连之为曲线。（手工画法）。)()(jQP)()(jeA)(),(QP)(),(A绘制方法：5.2.3开环系

28、统频率特性的绘制57例5-1设开环系统的频率特性为： 试列出实频和虚频特性的表达式。当 绘制奈氏图。)1)(1 ()(21jTjTkjG5, 1, 121TTk解：)()()1)(1 ()()1)(1 ()1 ()1)(1 ()1)(1 ()(2222212122222122122222121jQPTTTTkjTTTTkTTjTjTkjG当 时，5, 1, 121TTk)251)(1 (6)(,)251)(1 (51)(22222QP 找出几个特殊点（比如 ，与实、虚轴的交点等），可大致勾勒出奈氏图。为了相对准确，可以再算几个点。 , 058 0-1.72-5.770 0-0.79 03.85

29、10.80.20)(P)(Q5165相角：5)(11tgtg -180-114.62 -90-56.3100.80.20)(51用上述信息可以大致勾勒出奈氏图。59)51)(1 (1)(sssG下图是用 Matlab工具绘制的奈氏图。60例5-2设开环系统的频率特性为：)1)(1 ()(21jTjTjkjG试绘制极坐标特性曲线。解：)()()1)(1 ()1 ()1)(1 ()()(22222122122222121jQPTTTTkjTTTTkjG21112)(TtgTtg分析1、当 时，02)0(,)0(),()0(21QTTkP显然，当 时， 的渐近线是一条通过实轴 点，且平行于虚轴的直线

30、。0)(jG)(21TTk2111TT2、与实轴的交点。令： ，解得： ，这时：0)(Q21211)(TTTkTP3、当 时， ，渐近线方向向下。23)(, 0)(, 0)(QP615, 1, 121TTk5, 1, 121TTk0)51)(1 (1)(ssssG5, 1,1021TTk0)51)(1 (10)(ssssG62具有积分环节的系统的频率特性的特点：njjmiisTsjKjG11)1 ()1 ()()(频率特性可表示为：其相角为：njjmiiTtgtg11112)(当 时，00|)(1)0(,2)0(jG当 时，)( , 0| )(,2)(2)(22)(mnjGmnnm若 显然，低

31、频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特性与n-m有关。63下图为0型、型和型系统在低频和高频段频率特性示意图：0（0型）（型）0（型）0低频段频率特性| )0(| ,)0(2| )0(| ,2)0(11| )0(| , 0)0(0GGG型：型：型：n-m=3n-m=1n-m=2高频段频率特性23)(3)(22)(1时，时，时，mnmnmn至于中频部分，可计算一些特殊点的来确定。如与坐标的交点等。64（二）、开环系统对数坐标频率特性的绘制（绘制波德图）2221111122222122)2()1 ()(1(mkjtgkkkmijtgijkkkieeek222111122222122)2()1

32、 (111nlTTjlllTjtgnpplllpeTTeT开环系统频率特性为：121211221122)21 ()1 ()21 ()1 ()()(npnllllpmimkkkkiTjTjTjjjkjG65幅频特性：21211222212212222122)2()1 (log201log20log20)2()1 (log201log20log20)(nllllnppmkkkkmiiTTTkL相频特性：212112211112211112212)(nllllnppmkkkkmiiTTtgTtgtgtg且有：21212,22)()(,2)0(mmmnnnmn。 由以上的分析可得到开环系统对数频率特性

33、曲线的绘制方法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。66例：开环系统传递函数为： ，试画出该系统的波德图。2121,)1)(1 ()(TTsTsTsksG解：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。204060然后，在图上相加。11T21T20406080111T21T4590135180)(27067 实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。q 确定 和各转折频率 ，并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上；,klljjkkiiTT11,1,1log20log20)(kL20)( jq

34、 确定低频渐进线： ，就是第一条折线，其斜率为 ，过点（1，20logk）。实际上是k和积分 的曲线。具体步骤如下：68q 高频渐进线的斜率为：-20(n-m)dB/dec。q 相频特性还是需要点点相加，才可画出。遇到 （一阶惯性）时，斜率下降-20dB/Dec;jjT1遇到 （二阶惯性）时，斜率下降-40dB/Dec;llT1q 画好低频渐进线后，从低频开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率：ii1遇到 （一阶微分）时，斜率增加+20dB/Dec;kk1遇到 （二阶微分）时，斜率增加+40dB/Dec;69例5-3系统开环特性为：) 14 . 025. 0)(125.

35、 0(10)(2ssssGk试画出波德图。解：1、该系统是0型系统，所以5 . 0,25. 0,10, 021TTk则，dBkTT20log20, 21, 4122112、低频渐进线：斜率为 ，过点（1，20）dB020 3、波德图如下：1012420log)(A406070244060红线为渐进线，兰线为实际曲线。71例5-4已知)05. 01)(125. 01)(101 ()1001 (10)(223ssssssG，试画波德图。解：1、,2005. 01, 8125. 01, 1 . 0101,01. 01001; 2;60log20,1043213kk2、低频渐进线斜率为 ，过（1，-6

36、0）点。dB40204、画出波德图如下页：3、高频渐进线斜率为 ：60)(20mn72)60, 1 ( 2123红线为渐进线，兰线为实际曲线。73例5-5具有延迟环节的开环频率特性为： ，试画出波德图。jejGjk13)(5 . 0解：)5 . 0(25 . 02111313)(wtgjjjtgkeeejG 可见，加入了延迟环节的系统其幅频特性不变，相位特性滞后了。3log20100101)(L100101)(1tg5 . 0)(459074例有两个系统，频率特性分别为：TjTjjGjTjjG0 ,11)(,11)(21转折频率都是：1,121T幅频特性相同，均为：22221log201log

37、20)(TL相频特性不同，分别为：0)(, 0)(, 0)0(,)(111111Ttgtg)(,)(, 0)0(,)(222112Ttgtg三、非最小相位系统的频率特性75sssG1011)(1最小相位系统sssG1011)(1非最小相位系统 该两个系统的波德图如下所示：76奈氏图为：sssG1011)(1最小相位系统10, 1T11 . 0sssG1011)(1非最小相位系统10, 1T11 . 077 奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。5-3 奈魁斯特稳定判据78 奈魁

38、斯特(Nyquist)稳定判据，是由H. Nyquist于1932年提出的 。是利用奈氏图，来判断闭环系统的稳定性。 Nyquist稳定判据的理论基础是复变函数理论中的幅角定理，也称映射定理。 79一、幅角定理： 设负反馈系统的开环传递函数为： ，其中：为前向通道传递函数， 为反馈通道传递函数。)()()(sHsGsGk)(sG)(sH闭环传递函数为： ，如下图所示：)()(1)()(sHsGsGs)(sR)(sC)(sG)(sH构造辅助方程：( )( )( )( )11( )( )A sA sB sF sGHB sB s F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点

39、；(5-23)80 式（5-23）中，s为复变量，以s复平面上的s=+j来表示。F (s)为复变函数，以F (s)复平面上的F (s)= u+j v表示。点映射关系，如图5-26所示。s平面与F(s)平面的曲线映射关系，如图5-27所示。 图5-26 点映射关系图5-27 s平面与F(s)平面的映射关系81F 1)假设在假设在s平面上任选一点平面上任选一点A, sj0A使点使点S从从A点开始沿封闭点开始沿封闭曲线曲线s顺时针顺时针方向移动且回方向移动且回到到A点点.sB)(sF)(sFiz3) 所选择的所选择的s只包围只包围)(sF的某一个零点如的某一个零点如iz, 且在且在s的路径上不通过任

40、何一个的路径上不通过任何一个)(sF零极点零极点. 则则)(sF从从B点出发且回到点出发且回到B点点,)(sF矢量的端点绕矢量的端点绕)(sF复平面的坐标原点移动形成复平面的坐标原点移动形成F封闭曲线封闭曲线.)(sF0)(ImsF)(ResF)(sF的复平面上的复平面上可以确定相对应的像可以确定相对应的像, 如下图中的如下图中的B点点.82柯西幅角定理：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 包围s平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线 移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线 将绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=P-Z。（注：F(s)任何奇异点即F (

41、s)的零点和极点）ssf若N为负，表示 顺时针运动，包围原点；f若N为0， 表示 顺时针运动，不包围原点；f若N为正，表示 逆时针运动，包围原点。f83二、奈魁斯特稳定判据： 对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 ，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。)(1)(sGsFk 我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想： 如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角定理知：该封闭曲线在

42、F(s)平面上的映射包围原点的次数应为： 当已知开环右半极点数时，便可由R判断闭环右极点数。R( )|( )|F sF s右半极点数右半零点数开闭环系统右半极点数环系统右半极点数84这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数R，并将它和开环频率特性 相联系？)(jGH它可分为三部分：部分是正虚轴， 部分是右半平面上半径为无穷大的半圆； ；部分是负虚轴， 。 022,从ReRsj0第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯

43、特路径。如下图：sje0s85F(s)平面上的映射是这样得到的：以 代入F(s)并令 从 变化，得第一部分的映射；在F(s)中取 使角度由 ， 得第二部分的映射；令 从 ，得第三部分的映射。稍后将介绍具体求法。js 0jeRs22R0得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 ，式中：是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了R，可求出 。当 时，系统稳定；否则不稳定。RkkP Z-kkPZ ,kkZPR0kZ 第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的辅助方程为 ， 为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的： )(1)(sGsFk)(sGk86F(s)对原点的包围，相当于 对(-

44、1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数R与 对(-1,j0)点的包围的次数一样。)(sGk)(sGk F(s)曲线是Gk(s)向右移1；F(s)的极点就是 的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是 在右半平面的极点数。)(sGk)(sGk87)(jF)(jGkF(s)与 的关系图。)(sGk88奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据：若系统的开环传递函数在右半平面上有 个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为R，（R0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为： 。（2）若 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。kPkkZPR0kZ由于由于()kG j曲线当曲线当), 0 与

45、与 0 ,(关于实轴成镜关于实轴成镜像对称像对称, 所以一般只画所以一般只画), 0 的曲线的曲线, 则则(2)式可修正为式可修正为:2N=Pk-Zk, N0逆时针环绕临界点逆时针环绕临界点(-1,j0); N=1时，包围(-1, j0)点，k1时，奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，R=1，而 ，则1kP0kkZPR闭环系统是稳定的。92当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。当k0，闭环系统不稳定。)(sGk0)(LpkZ 2k103小结 柯西幅角定理。满足该定理的条件。 辅助方程。其极点为开环极点，其零点为闭环极点。 奈奎斯特稳定判据。几种描述形式；、型系统的奈氏

46、路径极其映射；最小相位系统的奈氏判据；对数坐标图上奈氏判据的描述。 对数频率特性图和奈奎斯特频率特性图的关系。104练习n5-14 (1), (4), (7)n5-16105第六节 稳定裕度106稳定裕度的概念使用稳定裕度概念综合系统本节主要内容：107控制系统的相对稳定性 从Nyquist稳定判据可知，若系统开环传递函数没有右半平面的极点且闭环系统是稳定的，则开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越远，则闭环系统的稳定程度越高。开环系统的Nyquist曲线离(-1,j0)点越近，则其闭环系统的稳定程度越低，这就是通常所说的相对稳定性。通过奈氏曲线对点(-1,j0)的靠近程度来度量，其

47、定量表示为相角裕量和幅值裕度。 108 当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时： 。对于最小相位系统，可以用 和 来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。gccgA,180)(, 1)()(gA)(c1cg)(c)(gAcg)()(L)(ggL定义： 和 为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。)(1ggAk)(180c在对数坐标图上，用 表示 的分贝值。即gLgk)(log20log20gggAkL截止频率穿越频率109显然，当 时，即 和 时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统， 和 是同时发生或同时不发生的，

48、所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度。0gL1)(gA00gL0幅值稳定裕度物理意义：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加 倍（奈氏图）或增加 分贝（波德图），则系统处于临界状态。若增加的倍数大于 倍（或 分贝），则系统变为不稳定。gkgLgLgk比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定。相位稳定裕度的物理意义：稳定系统在幅值穿越频率 处将相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。c110例设控制系统如下图所示k=10和k=100时，试求系统的相位稳定裕度和幅值裕度。)5)(1(s

49、ssk-)(sR)(sC解：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。dB821当k=10时，开环系统波德图如右所示。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度大约是8dB和21度。因此系统在不稳定之前，增益可以增加8dB.111相位裕度和幅值裕度的计算： 相位裕度：先求穿越频率c)10(04. 0112| 12 . 0| 1|2 . 0)(22时当 kssskA在穿越频率处， ，所以 ，解此方程较困难，可采用近似解法。由于 较小（小于2），所以：1)(A4)04. 01)(1 (222c25. 1, 112)(2cA解得：穿越频率处的相角为：38.1552 . 090)(11ccctgtg相角

50、裕度为：6 .2438.155180)(180c112 幅值裕度：先求相角穿越频率g相角穿越频率处 的相角为：1802 . 090)(11gggtgtgg902 . 011ggtgtg即：由三角函数关系得：24. 2, 12 . 0ggg解得：33216. 004. 0112)(22ggggA所以，幅值裕度为：)(6 . 9)(log20dBALgg113dB1230当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是-12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳定的。114例5-11某系统结构图如下所

51、示。试确定当k=10时闭环系统的稳定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。-4k1025. 02s) 11 . 0(5 . 2ss)(sR)(sC解：当k=10时，开环传递函数为：) 11 . 0)(1025. 0(200)(ssssGk手工绘制波德图步骤：1、确定转折频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20的斜线至 ；2、在 之间画斜率为-40的斜线；3、 后画斜率为-60的斜线。104010401152 21 10 0150150cg c c上图蓝线为原始波德图。 ，显然 闭环系统是不稳定的。为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至 ，移到哪里？ 38,180210)(ccc11615030180)(c ，从图中看出： 。所以原始幅频曲线向下移动的分贝数为:10cdBAALcg22)10(log20)(log20所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出 ，所以20g)(10| )20(log20| )(log201515dBAALgkkg设新的开环放大系数为 ，原始的开环放大系数为k=200，