第2部分控制系统的数学模型ppt课件

1、第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 2-1 建立数学模型的普通方法建立数学模型的普通方法2-2 2-2 传送函数传送函数2-3 2-3 动态构造图及等效变换动态构造图及等效变换2-4 2-4 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式2-5 2-5 控制系统的传送函数控制系统的传送函数引言引言 定义：定义： 控制系统的输入和输出之间动态关系的控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。数学表达式即为数学模型。 用途：用途： 1 1分析实践系统分析实践系统 2 2预测物理量预测物理量 3 3设计控制系统设计控制系统 表达方式表达方式 时域：微分方程、差分方程、形状

2、方程时域：微分方程、差分方程、形状方程 复域：传送函数、动态构造图复域：传送函数、动态构造图 频域：频率特性频域：频率特性线性系统线性系统传送函数传送函数微分方程微分方程频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换2-1 2-1 建立数学模型的普通方法建立数学模型的普通方法例例1 1：如下图的：如下图的RLCRLC电路，试建立以电容上电电路，试建立以电容上电压压uc(t)uc(t)为输出变量，输入电压为输出变量，输入电压ur(t)ur(t)为输入为输入变量的运动方程。变量的运动方程。RLCur(t)uc(t)i(t)根据：电学中的基尔霍夫定律根据：电学中的基尔霍夫定律 由由2 2代入代入1

3、 1得：消去中间变量得：消去中间变量i(t) i(t) 两边求导两边求导( )( )( )( ),(1)rcdi tutRi tLutdt22( )( )( )( )CCCrd utdutLCRCutu tdtdt1( )( ), (2)Cuti t dtC( )( )Cduti tCdt例例2 :2 :机械位移系统机械位移系统, ,物体在外力物体在外力F(t)F(t)作用下作用下产生位移产生位移y(t)y(t)，写出运动方程。，写出运动方程。输入输入F(t)F(t)，输出，输出y(t)y(t)实实际根据际根据: :牛顿第二定律牛顿第二定律, ,物体所受的合外力等于物体所受的合外力等于物体质量

4、与加速度的乘物体质量与加速度的乘积积. .Fma12( )( )Fky tdy tFfdtmF1(弹簧弹簧的拉力的拉力)F(t)外力外力F2阻尼器的阻力阻尼器的阻力212222( )( )( )( )( )( )dy taFtFFm adtdy tdy tFtky tfmdtdt得得22( )( )( )( )d y tdy tmfky tF tdtdt整整理理得得到到：根据上述的例子，可以得到列写系统微分根据上述的例子，可以得到列写系统微分方程的普通步骤：方程的普通步骤：1 1确定系统的输入、输出变量；确定系统的输入、输出变量；2 2根据知的物理或化学定律，写出运动过程的微根据知的物理或化学

5、定律，写出运动过程的微分方程；分方程；3 3消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；程；4 4整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有关的放在等号左面，并按照降阶次进展陈列。关的放在等号左面，并按照降阶次进展陈列。 许多外表上看来似乎毫无共同之处的控许多外表上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律能够完全一样可以用一制系统，其运动规律能够完全一样可以用一个运动方程来表示，称它们为构造类似系统个运动方程来表示，称它们为构造类似系统上例的机械平移系统和上例的机械平移系统和RLCRLC电路就可以用同一个数电路就可

6、以用同一个数学表达式分析，具有一样的数学模型。学表达式分析，具有一样的数学模型。22( )( )( )( )CCCrdutd utrCLCutu tdtdt22( )( )( )( )d y tdy tmfky tF tdtdt2-2 2-2 传送函数传送函数transfer functiontransfer function 用微分方程来描画系统比较直观用微分方程来描画系统比较直观 ，但是，但是一旦系统中某个参数发生变化或者构造发生变一旦系统中某个参数发生变化或者构造发生变化，就需求重新陈列微分方程，不便于系统的化，就需求重新陈列微分方程，不便于系统的分析与设计。为此提出传送函数的概念。分析

7、与设计。为此提出传送函数的概念。22( )( )( )( )CCCrd utdutLCRCututdtdt一、传送函数的定义和概念一、传送函数的定义和概念以上一节例以上一节例1 1RLCRLC电路的微分方程为例：电路的微分方程为例：设初始形状为零，对上式进展拉氏变换，得到：设初始形状为零，对上式进展拉氏变换，得到：2( )( )( )( )cccrLCsU sRCsU sU sU s21( )( )crLCsRCsU sU s（）2( )1( )1crU sU sLCsRCs( )( )( )C sG sR s零零初初始始条条件件下下G(s)R(s)C(s)定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏

8、变定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值称为该系统的传换与输入量拉氏变换的比值称为该系统的传送函数，用送函数，用G(s)G(s)表示。表示。普通方式：普通方式：设线性定常系统元件的微分方程是：设线性定常系统元件的微分方程是：1011110111()()()()()()()()nnnnnnmmmmmmdddactactactactdtdtdtdddbrtbrtbrtbrtdtdtdt y(t)y(t)为系统的输出，为系统的输出，r(t)r(t)为系统输入，那么为系统输入，那么零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传送函数为：到系

9、统传送函数为：10111011( )( )( )mmmmnnnnbsbsbs bY sG sR sa sasa s aLL分母中分母中s s的最高阶次的最高阶次n n即为系统的阶次。即为系统的阶次。1011( )( )0nnnnD sa sa sasaD s 即即是是系系统统的的特特征征方方程程。L012012()()()( )( )( )()()()(1,2)( )0(1,2)( )0mniib szszszN sG sD sa spspspsz imN ssp inD s是是的的根根，称称为为传传递递函函数数的的零零点点，是是的的根根是是传传递递函函数数的的极极点点。LLLL 由于组成系统

10、的元部件或多或少存在由于组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以惯性，所以G(s)G(s)的分母阶次大于等于分子的分母阶次大于等于分子阶次，即阶次，即 , ,是有理真分式，假是有理真分式，假设设 , ,我们就说这是物理不可实现的系我们就说这是物理不可实现的系统。统。nmmn二、传送函数的性质二、传送函数的性质 (1) (1)传送函数是一种数学模型，是对微分方传送函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件下进展拉氏变换得到的；程在零初始条件下进展拉氏变换得到的； (2) (2)传送函数与微分方程一一对应；传送函数与微分方程一一对应； (3) (3)传送函数描画了系统的外部特性。不反传送函数描画了

11、系统的外部特性。不反映系统的内部物理构造的有关信息；映系统的内部物理构造的有关信息； (4) (4)传送函数只取决于系统本身的构造参数，传送函数只取决于系统本身的构造参数，而与输入和初始条件等外部要素无关；而与输入和初始条件等外部要素无关； (5) (5)传送函数与系统的输入输出的位置有关；传送函数与系统的输入输出的位置有关； (6) (6)传送函数一旦确定，系统在一定的输入传送函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的动态特性就确定了。信号下的动态特性就确定了。三、典型环节的传送函数三、典型环节的传送函数 1 1比例环节比例环节: :其输出量和输入量的关系，由下面其输出量和输入量的关系，由下面的

12、代数方程式来表示的代数方程式来表示式中式中 环节的放大系数，为一常数。环节的放大系数，为一常数。K传送函数为：传送函数为：( )( )y tK r t( )( )( )Y sG sKR s特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻实例：电子放大器，齿轮，电阻( (电位器电位器) )，感应，感应式变送器等。式变送器等。2 2惯性环节惯性环节: :其输出量和输入量的关系，由下面的常其输出量和输入量的关系，由下面的常系数非齐次微分方程式来表示系数非齐次微分方程式来表示( )( )( )dy tTy tK r tdt传送函数为：传送

13、函数为：( )( )( )1Y sKG sR sTs式中式中 T T 环节的时间常数。环节的时间常数。特点：含一个储能元件，对突变的输入特点：含一个储能元件，对突变的输入, ,其输出不其输出不能立刻发现，输出无振荡。能立刻发现，输出无振荡。实例：实例：RCRC网络，直流伺服电动机的传送函数也包含网络，直流伺服电动机的传送函数也包含这一环节。这一环节。3 3积分环节积分环节: :其输出量和输入量的关系，由下面的微其输出量和输入量的关系，由下面的微分方程式来表示分方程式来表示( )( )y tKr t dt传送函数为：传送函数为：( )( )( )Y sKG sR ss特点：输出量与输入量的积分成

14、正比例，当输特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消逝，输出具有记忆功能。入消逝，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传送函数，模实例：电动机角速度与角度间的传送函数，模拟计算机中的积分器等。拟计算机中的积分器等。4 4微分环节：是积分的逆运算，其输出量和输入量微分环节：是积分的逆运算，其输出量和输入量的关系，由下式来表示的关系，由下式来表示( )( )dr ty tdt传送函数为：传送函数为：( )( )( )Y sG ssR s式中式中 环节的时间常数。环节的时间常数。特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。入信号

15、的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传送实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传送函数即为微分环节。函数即为微分环节。5 5振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面的振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面的二阶微分方程式来表示。二阶微分方程式来表示。222( )( )2( )( )dy tdy tTTy tK r tdtdt传送函数为：传送函数为：22( )( )( )21Y sKG sR sT sTs特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进展能特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进展能量交换，其输出出现振荡。量交换，其输出出现振荡。实例：实例：RLCRLC电路的输出与输入电

16、压间的传送函数。电路的输出与输入电压间的传送函数。6 6延迟环节：其输出量和输入量的关系，由下式来延迟环节：其输出量和输入量的关系，由下式来表示表示( )()1()y tr tt传送函数为：传送函数为：( )( )( )sY sG seR s式中式中 延迟时间延迟时间特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。模型就包含有延迟环节。以上以上6 6种是常见的根本典型环节的数学模型种是常见的根本典型环节的数学模型1 1是按数学

17、模型的共性建立的，与系统元件不是按数学模型的共性建立的，与系统元件不是一一对应的；是一一对应的；2 2同一元件，取不同的输入输出量，有不同的同一元件，取不同的输入输出量，有不同的传送函数，有不同的传送函数；传送函数，有不同的传送函数；3 3环节是相对的，一定条件下可以转化；环节是相对的，一定条件下可以转化；4 4根本环节适宜线性定常系统数学模型描画。根本环节适宜线性定常系统数学模型描画。2-3 2-3 动态构造图及等效变换动态构造图及等效变换一、动态构造图的组成一、动态构造图的组成1 1、信号线：有箭头的直线，箭头表示信号传送方向。、信号线：有箭头的直线，箭头表示信号传送方向。2 2、引出点：

18、信号引出或丈量的位置。、引出点：信号引出或丈量的位置。从同一信号线上引从同一信号线上引出的信号，数值和出的信号，数值和性质完全一样性质完全一样3 3、综合点：对两个或两个以上的信号进展代数、综合点：对两个或两个以上的信号进展代数运算，运算，“表示相加，常省略，表示相加，常省略，“表示相减。表示相减。4 4、方框：表示典型环节或其组合，框内为对应、方框：表示典型环节或其组合，框内为对应的传送函数的传送函数 ，两侧为输入、输出信号线。，两侧为输入、输出信号线。()()()YsRsGs二、动态构造图的建立二、动态构造图的建立例：建立如下图的双例：建立如下图的双T T网络的动态构造图。网络的动态构造图

19、。1 1建立各元件的微分方程建立各元件的微分方程111112112222( )( )( )1( )( ( )( )( )( )( )1( )( )rCCututitRutititdtCututitRutit dtC2 2将各元件的微分方程进展拉氏变换，并将各元件的微分方程进展拉氏变换，并改写成以下相乘方式改写成以下相乘方式1111211122221()() ()1()() ()1()() ()1()()rCCususIsRIsIsuss CususIsRIsuss C3 3绘出系统的动态构造图按照变量的传送顺序，依绘出系统的动态构造图按照变量的传送顺序，依次将各元件的构造图衔接起来次将各元件的

20、构造图衔接起来作用：作用：1 1直观笼统的分析变量之间的关系直观笼统的分析变量之间的关系 2 2方便求解传送函数方便求解传送函数三、典型衔接方式及等效变换三、典型衔接方式及等效变换X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)112112( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )XsY sG sGsX sXsY sG sG s GsX s，G(s)X(s)Y(s)1 1、串联及等效、串联及等效2 2、并联及等效、并联及等效X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)12121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )(

21、)( )( )Y sY sY sX s G sX s G sX s G sG sX s G sG sG sG sG(s)X(s)Y(s)3 3、反响及等效、反响及等效G(s)H(s)E(s)R(s)Y(s)R(s)Y(s)()(1)(sHsGsG( )( ) ( ), ( )( )( )( )( ) ( )Y sE s G s E sR sB sB sY s H sm( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )1( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )1( ) ( )Y sR sB s G sR s G sY s H s G sY sH s G sR s G

22、 sY sG ssR sH s G smm四、等效挪动规那么四、等效挪动规那么1 1、引出点的挪动、引出点的挪动G(S)G(S)X1X2X2X2X1X2G(S)1 1前移前移G(S)X2X1X1G(S)1/G(S)X1X2X12 2后移后移在挪动支路中串入所越过的传送函数的倒数方框在挪动支路中串入所越过的传送函数的倒数方框 在挪动支路中串入所越过的传送函数方框在挪动支路中串入所越过的传送函数方框2 2、综合点的挪动、综合点的挪动在挪动支路中串入所越过的传送函数的倒数方框在挪动支路中串入所越过的传送函数的倒数方框 在挪动支路中串入所越过的传送函数方框在挪动支路中串入所越过的传送函数方框1 1后移

23、后移G(S)1/G(S)X1X2X3-G(S)X1X2X3-2 2前移前移x2x3x1G(s)G(s)G(s)x1x2x3相邻综合点之间可以随意互换位置相邻综合点之间可以随意互换位置 3 3相邻综合点挪动相邻综合点挪动x1Yx2x3x1Yx2x3留意：相邻引出点和综合点之留意：相邻引出点和综合点之间不能互换间不能互换! !例：试简化系统构造图，并求系统传送函数。例：试简化系统构造图，并求系统传送函数。1212121( )1G s G sC sR sG sG sG s G s H s( )( )( )( )( )( ) ( ) ( ) sR sYG1H2H121GHY sGHR s( )( )方

24、法1:引出点后移例：试简化系统构造图，并求系统传送函数。例：试简化系统构造图，并求系统传送函数。 sR sYG1H2H121GHY sGHR s( )( )例：试简化系统构造图，并求系统传送函数。例：试简化系统构造图，并求系统传送函数。方法2:引出点前移x1x4x3x2abc12-4 2-4 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式一、信流图的根本概念一、信流图的根本概念 支路：支路： 表示变量之间的传输关系。表示变量之间的传输关系。 节点：节点： 表示系统中的变量。表示系统中的变量。 信号流图是一种表示线性化代数方程组变量信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。信号流图由节点和支

25、路组成间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成信流图的根本术语信流图的根本术语1 1、源节点：只需输出支路，没有输入支路的节点称为源、源节点：只需输出支路，没有输入支路的节点称为源点，它对应于系统的输入信号，或称为输入节点。点，它对应于系统的输入信号，或称为输入节点。2 2、汇节点：只需输入支路，没有输出支路的节点称为阱、汇节点：只需输入支路，没有输出支路的节点称为阱点，它对应于系统的输出信号，或称为输出节点。点，它对应于系统的输出信号，或称为输出节点。3 3、混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点称为混、混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点。合节点。混合节点1X2X3X4

26、Xabcd5X输入节点输入节点源点源点输出节点输出节点汇点汇点输入节点输入节点源点源点信流图的根本术语信流图的根本术语4 4、通道：从某一节点开场沿支路箭头方向经过各相连支路、通道：从某一节点开场沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点或同一节点构成的途径称为通道。到另一节点或同一节点构成的途径称为通道。5 5、开通道：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通道。、开通道：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通道。6 6、闭通道：假设通道的终点就是通道的起点，并且与任何、闭通道：假设通道的终点就是通道的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的称为闭通道或称为回环。其他节点相交不多于一次的称为闭通道

27、或称为回环。7 7、回环增益：回环中各支路传输的乘积称为回环增益。、回环增益：回环中各支路传输的乘积称为回环增益。8 8、前向通道：是指从源头开场并终止于汇点且与其他、前向通道：是指从源头开场并终止于汇点且与其他 节节点相交不多于一次的通道，该通道的各传输乘积点相交不多于一次的通道，该通道的各传输乘积 称为前向称为前向通道增益。通道增益。9 9、不接触回环：假设一信号流图有多个回环，各回环之间、不接触回环：假设一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环环 。二、信流图的绘制二、信流图的绘制1 1、由构造

28、图绘制信流图、由构造图绘制信流图结构图结构图信流图信流图变量变量传递传递综合点综合点变成变成混合节混合节点点12 2、由方程组绘制信流图、由方程组绘制信流图首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当一切方程式的信号流图各方程式绘制各支路。当一切方程式的信号流图绘制终了后，即得系统的信号流图。绘制终了后，即得系统的信号流图。434234121 dxxcxxexbxxfxaxxgxxxcccr三、梅逊三、梅逊MasonMason增益公式增益公式1aabcaa1 -,1-L.: L, p nkkkkbcdefdefbcbcdefdefkpppK

29、L LL L LL LL L LK 总总 增增 益益第第条条 前前 相相 通通 道道 的的 通通 路路 增增 益益信信 号号 流流 图图 的的 特特 征征 式式 即即其其 中中所所 有有 回回 路路 增增 益益 之之 和和每每 两两 互互 不不 接接 触触 回回 路路 增增 益益 乘乘 积积 之之 和和每每 三三 个个 互互 不不 接接 触触 回回 路路 增增 益益 乘乘 积积 之之 和和在在中中 除除 去去 与与 第第条条 前前 向向 通通 道道 相相 接接 触触 的的 回回 路路后后 的的 特特 征征 式式 称称 为为 前前 向向 通通 道道 特特 征征 式式 的的 余余 子子 式式 。例例. .设某系统的方框图如下图，试求其传送函数设某系统的方框图如下图，试求其传送函数R(S)11G1G3G2Y(S)G4-1-H1-H2YG1G2G3G4-H1H2R1123214112121233232442514123451211232324214 : R(S)() , L-G G G LG G HLG H LG G1()1SPG G GPG GLG G HLLLLLG G HG G GG G HG HG G 解解与与Y Y间间有有两两条条前前向向通通路路信信号号流流图图共共有有五五个个回回路路 各各回