麦克斯韦速率分布

1、第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论 7-4 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律 平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。则叫麦克斯韦速率分布律。速率分布：各种不同速率范围内的分子数占总分子数的速率分布：各种不同速率范围内的分子数占总分子数的百分比为多大。百分比为多大。一、分子速率分布函数一、分子速率分布函数伽伽耳耳顿顿板板第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论研究气体分子的速率分布研究气体分子的速率分布

2、(1) 把速率分成若干相等区间把速率分成若干相等区间;(2) 求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数;(3) 各区间的分子数占气体分子总数的百分比。各区间的分子数占气体分子总数的百分比。分布表分布表 分布曲线分布曲线 分布函数分布函数第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论Hg分分子子在在某某温温度度时时V(m/s)(N/N)*100%90以下以下6.290 14010.32140 19018.93190 24022.7240 29018.3290 34012.8340 3906.2390以上以上4.0(1) 速率速率分布表分布表速率分布：各不同速率范围

3、内的分子数占总分子数的百分比。速率分布：各不同速率范围内的分子数占总分子数的百分比。第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论1) 每个小长方形面积代表某速率区间的分子数每个小长方形面积代表某速率区间的分子数 占总分子数的百分比占总分子数的百分比 N/N2) 所有小面积的和恒等于一；所有小面积的和恒等于一；3)0v 时，小矩形面积的端点时，小矩形面积的端点连成一函数曲线连成一函数曲线速率分布函数曲线速率分布函数曲线vvf)(6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%0 90 140 190 240 290 340 390 vNNv 第六章第六章 气体动理学理

4、论气体动理学理论1) 每个小长方形面积代表某每个小长方形面积代表某速率区间速率区间的分子数占总分子数的分子数占总分子数的的百分比百分比dN/N。dNf (v )N dv 1)(0 dvvf2)(vf3)极大值处对应的速率极大值处对应的速率)(vf最概然速率最概然速率pv附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比最大最大pvpv)(vfvdvvv vvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论23/22242mvkTdNmev dvNkT1895，麦克斯韦应用统计方法推导出速率分布定律。，麦克斯韦应用统计

5、方法推导出速率分布定律。(1) 分布分布定律定律物理意义物理意义：对于一定量的气体，在温度为：对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，的平衡态下，气体分子速率气体分子速率vv+dv区间内的分子数区间内的分子数dN占总分子数占总分子数N的百分比的百分比 (概率概率)。(2) 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数23/222( )42mvkTdNmf vevNdvkT物理意义物理意义：对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，的平衡态下，气体分子速率出现在气体分子速率出现在v附近、单位速率区间内的分子数附近、单位速率区间内的分子数dN占总分子数占总分子数N的百分比的百分

6、比 (概率概率)。第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论1、分子速率在、分子速率在0内各种可能值，内各种可能值，但所占比率不同，具有中等速率的但所占比率不同，具有中等速率的分子数所占比率较大，两边的分子分子数所占比率较大，两边的分子数所占百分比较小。数所占百分比较小。归一化条件：归一化条件：0( )1f v dv2、曲线下所包围的面积为、曲线下所包围的面积为1 - 分布函数归一化。分布函数归一化。vOdvvfNdN)( NdvdNvf )(dvvv pv二、分布函数的曲线特征及意义二、分布函数的曲线特征及意义 在温度为在温度为T T的平衡状态下，在速率的平衡状态下，在速率 的附近单位速率间

7、隔内的分子数占总分子数的百分比；的附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比；即单位速率间隔内分子的分布几率。即单位速率间隔内分子的分布几率。-几率（概率）密度。几率（概率）密度。v物理意义物理意义第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论3、最概然速率（最可几速率）、最概然速率（最可几速率）- 分布曲线的峰值分布曲线的峰值 所对应的速率。所对应的速率。气体中分子速率与最概然速率相近气体中分子速率与最概然速率相近的分子数最多的分子数最多( (单位区间单位区间) )pv( )0df vdv令23/222402mvkTdmevdvkT221.41pkTRTRTvm 在温度为在温度为T的平衡态下，

8、在的平衡态下，在 附近的单位附近的单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比最大。速率间隔内的分子数占总分子数的百分比最大。pv23/222( )42mvkTdNmf vevNdvkT物理意义物理意义第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论4、 的关系的关系( )Tf vm与2T1T( )f vv21TT(1) 不同温度下的同种气体不同温度下的同种气体1212,?TT orTT112pRTv222pRTv12ppvv12TT1pv2pv第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论21( )f vv(2) 同温度下的不同种气体同温度下的不同种气体22,?O H1pv2pRTv12ppvv12221

9、, 2OH是是2pv第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论三、三种特殊速率三、三种特殊速率1 1、平均速率、平均速率-所有分子的速率的算术平均值所有分子的速率的算术平均值0iiivvNN对于连续分布对于连续分布 0)(dvvvfNdNvNvdNv881.60kTRTRTvm 0222/3224dvvekTmvkTmv 0232/3224dvevkTmkTmv )(22422/3mkTkTm mkT 8 12,vv211221_( )( )vvvvvvvf v dvvdNvdNf v dv第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论2 2 方均根速率方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方

10、根大量分子速率的平方平均值的平方根 02022)(dvvfvNdNvv2331.73kTRTRTvmmkT3 0222/32224dvvekTmvkTmv 0242/3224dvevkTmkTmv 第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论221.41pkTRTRTvm 3 3、最概然速率、最概然速率( )f vvTpv_v_2v2pvvv第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论说出下列各式的物理意义说出下列各式的物理意义NdvdNvf )()1(NdNdvvf )()2(dvdNNNdvdNNvf )()3(对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平

11、衡态下，气体分子速率vv+dv区间内的分子数区间内的分子数dN占总分子数占总分子数N的百分比的百分比 (概率概率)。对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率出现在出现在v附近、单位速率区间内的分子数附近、单位速率区间内的分子数dN占总分子数占总分子数N的的百分比百分比 (概率概率)。对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率出现在出现在v附近、单位速率区间内的分子数附近、单位速率区间内的分子数dN第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论说出下列各式的物理意义说出下列各式的

12、物理意义对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率v1v2区间内的分子数区间内的分子数N占总分子数占总分子数N的百分比的百分比 (概率概率)。对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率v1v2区间内的分子数区间内的分子数N。对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率在在v1v2区间内的平均值和在该区间概率的乘积。区间内的平均值和在该区间概率的乘积。 21)()4(vvdvvf 21)()5(vvdvvNf 21)()

13、6(vvdvvvfNNdvNdvdNvvvv2121 21vvNNdNN 2121( )vvvvvf v dv第六章第六章 气体动理学理论气体动理学理论说出下列各式的物理意义说出下列各式的物理意义气体分子速率气体分子速率0vp区间内的概率区间内的概率或或气体分子速率气体分子速率0vp区间区间内分子数内分子数 N占总分子数占总分子数N的百分比的百分比 (概率概率)。对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率平方的平均值。平方的平均值。对于一定量的气体，在温度为对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率的平衡态下，气体分子速率的

14、平均值。的平均值。vdvvvf 0)()8(202)()9(vdvvfv NNdvvfppvv 00)()7(讨论讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B） 是速率最大的速度值是速率最大的速度值.（C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大率最大.pvpvpvpv 例例 计算在计算在 时，氢气和氧气分子的方均时，氢气和氧气分

15、子的方均根速率根速率 .rmsvC271H0.002kg mol 1O0.032kg mol 11molKJ31. 8RK300Trms3RT v13rmssm1093. 1v氢气分子氢气分子1rmssm483v氧气分子氧气分子vvvvpd)(Nf1）pd)(212vvvv Nfm2） 例例 已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布函数，分布函数 求求 1） 速率在速率在 间的分子数；间的分子数； 2）速率）速率在在 间所有分子动能之和间所有分子动能之和 . vv p)(vfNmpvvv d)(dNfN 速率在速率在 间的分子数间的分子数vvvd 例例 如图示两条如图示两条 曲线分别

16、表示氢气和曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .vv )( fmkT2pv)O()H(22mm)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2pmmvvm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000o例例 设想有设想有N个气体分子，其速率分布函数为个气体分子，其速率分布函数为 00000)()(vvvvvvAvvf试求试求: (1)常数常数A；(2)最可几速率最可几速率、平均速率和方均根速率；平均速率和方均根速

17、率；(3)速率介于速率介于0v0/3之间的分子数；之间的分子数；(4)速率介于速率介于0v0/3之间的气之间的气体分子的平均速率。体分子的平均速率。)(vfov0v解：解： (1) 气体分子的分布曲线如图气体分子的分布曲线如图由归一化条件由归一化条件1)(0 dvvf16)(30000 vAdvvvAvv306vA (2) 最可几速率由最可几速率由0)( pvdvvdf决定决定20vvp 平均速率平均速率2)(6)(00023000vdvvvvvdvvvfvv 方均速率方均速率2000330022103)(6)(0vdvvvvvdvvfvvv 方均根速率为方均根速率为02103vv 00030

18、00)(6)(vvvvvvvvvf0)2()(0 ppvvvvAdvvdf即即(3) 速率速率介于介于0v0/3之间的分子数之间的分子数277)(6)(300303000NdvvvvvNdvvNfdNNvv (4) 速率速率介于介于0v0/3之间的气体分子平均速率为之间的气体分子平均速率为143277)(603002303030300000vNdvvvvvNdNvdNvvvvv 0003000)(6)(vvvvvvvvvf练习十五、十六练习十五、十六 7-5 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 麦克斯韦速率分布是对理想气体而言的，麦克斯韦速率分布是对理想气体而言的，1877年，年，玻耳兹曼把它推广到

19、在某一玻耳兹曼把它推广到在某一力场力场中的运动分子情况，中的运动分子情况，在力场中的分布结果叫做在力场中的分布结果叫做玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布（或麦克斯（或麦克斯韦韦-玻耳兹曼分布）玻耳兹曼分布）。 在外力场中，气体分子既有平动动能在外力场中，气体分子既有平动动能Et=0.5mv2, 同时，又具有势能同时，又具有势能Ep。气体分子在空间的分布取决。气体分子在空间的分布取决于其势能，并与因子于其势能，并与因子e-Ep/kT成正比；同样，分子按速成正比；同样，分子按速度的分布取决于其平动动能，并与因子度的分布取决于其平动动能，并与因子e-Et/kT成正比。成正比。()/( , )tpEEkTxyz

20、dN r vAedv dv dv dxdydz 在温度为在温度为T的平衡状态下，气体分子的速度在区间的平衡状态下，气体分子的速度在区间vxvx+dvx, vyvy+dvy和和vzvz+dvz内，并且空间位置在内，并且空间位置在xx+dx, yy+dy和和zz+dz范围内的分子数，可表示为：范围内的分子数，可表示为：一、波尔兹曼分布定律一、波尔兹曼分布定律222()/2/0( , )xyzpm vvvkTEkTxyzdN r vAedv dv dvedxdydz如果只需知道分子数在空间的分布如果只需知道分子数在空间的分布222()/2/0( , )xyzpm vvvkTEkTxyzdN r vAedv