第三章概率论课件

1、Ch1-1-1概概 率率 论论Ch1-1-2绪绪 论论随机试验与随机事件随机试验与随机事件第一节第一节 随机事件随机事件Ch1-1-3一、概率论的诞生Ch1-1-4 1657 1657年，荷兰数学家惠更斯年，荷兰数学家惠更斯 (C. Huygens,(C. Huygens,1629-1695)1629-1695)发表了发表了论赌博中的计算论赌博中的计算，这是，这是最早的概率论著作。最早的概率论著作。“德德. .梅耶梅耶(De Mere)(De Mere)悖论悖论”Ch1-1-5 而概率论作为一门独立的数学分支，真正而概率论作为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布伯努利的奠基人是雅格布伯努利

2、(Jacob Bernoulli,(Jacob Bernoulli,1654-1705)1654-1705)。他在遗著。他在遗著猜度术猜度术中首次提出中首次提出了后来以了后来以“伯努利定理伯努利定理”著称的极限定理，在著称的极限定理，在概概率论发展史上占有重要地位。率论发展史上占有重要地位。 Ch1-1-6一、研究对象：一、研究对象： 概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律的一门数学学科规律的一门数学学科. .二、研究内容：二、研究内容： 概概率率论论概概率率论论与与数数理理统统计计数数理理统统计计随随机机过过程程Ch1-1-7三、应用：三、应用：

3、 在最近几十年中，在最近几十年中，概率论的应用几乎遍及所有的概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，物理、生物、化学、经济、工农业、科学领域，物理、生物、化学、经济、工农业、军事军事和科学技术和科学技术等方方面面。等方方面面。例如：例如：(1)预测和滤波应用于空间技术和自动控制；预测和滤波应用于空间技术和自动控制；(2)时间序列分析应用于石油勘探和经济管理；时间序列分析应用于石油勘探和经济管理；(3)马尔可夫过程，点过程应用于地震预报和气象预报；马尔可夫过程，点过程应用于地震预报和气象预报；(4)在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、 分辨率等等分

4、辨率等等. . Ch1-1-8 另外由概率论形成了一些边缘学科：信息另外由概率论形成了一些边缘学科：信息论、控制论、排队论、生物统计学、计量经济论、控制论、排队论、生物统计学、计量经济学等。学等。法国数学家拉普拉斯：法国数学家拉普拉斯： “生活中最重要的问题，其中绝大多数在生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率问题。实质上只是概率问题。”Ch1-1-9在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象. .每天早晨太阳从东方升起每天早晨太阳从东方升起1.确定（必然）性现象确定（必然）性现象 同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥水从高处流向低处水从高处流向低处

5、实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象二、随机现象二、随机现象 Ch1-1-10在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况正反两面出现的情况.2. 随机现象随机现象 “函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数” 等等.结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果Ch1-1-11结果有可能为结果

6、有可能为:1, 2, 3, 4, 5 或或 6. 实例实例2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数.实例实例3 从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品.其结果可能为其结果可能为: 正品正品 、次品次品.Ch1-1-12实例实例4 出生的婴儿可出生的婴儿可能是能是男男,也可能是也可能是女女.实例实例5 明天的天气可明天的天气可能是能是晴晴 , 也可能是也可能是多云多云或或雨雨.随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果1. 结果不止一个结果不止一个;2. 事先不知道哪一个会出现事先不知道哪一个会出现.

7、Ch1-1-13实验者实验者实验次数实验次数正面次数正面次数De.Morgam 隶隶.莫根莫根20481061Buffon 蒲丰蒲丰40402048Pearson 皮尔逊皮尔逊2400012012Wiener 维纳维纳30000149941.1.大量重复抛掷一枚硬币，发现正面、反面出现的大量重复抛掷一枚硬币，发现正面、反面出现的次数几乎各占次数几乎各占1/2 1/2 。2.根据各国人口统计资料，发现新生婴儿中男女各根据各国人口统计资料，发现新生婴儿中男女各 占一半。占一半。是否这些偶然现象都没有什么规律是否这些偶然现象都没有什么规律可寻呢？可寻呢？ Ch1-1-14 天有不测风云天有不测风云

8、和和 天气可以预报天气可以预报 有矛盾吗有矛盾吗? ?无无 ! “ “天气可以预报天气可以预报”指的是研究者从大量的气象指的是研究者从大量的气象资资料来探索这些偶然现象的规律性料来探索这些偶然现象的规律性. . “ “天有不测风云天有不测风云”指的是随机现象一次实现的指的是随机现象一次实现的偶偶然性然性. .？思考？思考: :Ch1-1-15 随机现象的各种结果会表现出一定的规随机现象的各种结果会表现出一定的规律性，这种规律性称之为随机现象的律性，这种规律性称之为随机现象的统计规统计规律性律性. .随机现象的统计规律性：随机现象的统计规律性：概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论就是

9、研究随机现象规律性的一门数学学科.Ch1-1-16即：随机现象是通过随机试验来研究的。即：随机现象是通过随机试验来研究的。问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象及它的规律性如何来研究随机现象及它的规律性?Ch1-1-17(2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果:字面、花面字面、花面;(3) 进行一次进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现试验之前不能确定哪一个结果会出现.把满足这三个条件的实验称为把满足这三个条件的实验称为随机试验随机试验.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察字面察字面,花面出现的情况花面出现的情况”.分析分析：(1) 试验可以在试验可以在相同的

10、条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;Ch1-1-18 1. 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的所有可能结果事先已经知道每次试验的所有可能结果事先已经知道; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现. 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验(E)(E)：定义定义三、随机试验三、随机试验Ch1-1-19下列试验都为随机试验：下列试验都为随机试验：1. 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.2. 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依

11、次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数.Ch1-1-203. 记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人数车人数.4. 考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只,测试其寿命测试其寿命. Ch1-1-21样本空间样本空间()：随机试验：随机试验E的所有可能结果组成的的所有可能结果组成的集合称为集合称为E的样本空间的样本空间, ,记为记为或或S. .样本点样本点()：样本空间的元素样本空间的元素, ,即试验即试验E 的每一个的每一个结果结果, , 称为样本点称为样本点. .四、样本

12、空间与样本点四、样本空间与样本点. 样本点样本点Ch1-1-22实例实例1 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, ,观察字面观察字面, ,花面出现的情况花面出现的情况. .1(),.SH T 样样本本空空间间或或字字面面朝朝上上H花面朝上花面朝上TCh1-1-23 如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：由如下四个样本点组成： S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):其中其中注：注：在每次试验在每次试验中中必有必有一个样本一个样本点出现且点出现

13、且仅有仅有一一个样本点出现个样本点出现. .Ch1-1-24实例实例2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.21, 2, 3,4,5,6. 实例实例3 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录出记录出 现正品与次品的情况现正品与次品的情况.3 , , , , , , .NNNNNDNDNDNNNDD DDNDNDDDD 则则.,次次品品正正品品记记DN以上例子都属于以上例子都属于有限有限样本空间。样本空间。Ch1-1-25实例实例4 记录某公共汽车站某日记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数上午某时刻的等车人数.40,1, 2,. 实例实例5 考察某地区

14、考察某地区 12月份的平月份的平 均气温均气温.512.t TtT . 为为平平均均温温度度其其中中t无限无限样本空间样本空间.Ch1-1-26实例实例6 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取 一只一只, 测试其寿命测试其寿命.06 ttS.t的的寿寿命命为为灯灯其其中中泡泡实例实例7 记录某城市记录某城市120 急急 救电话台一昼夜接救电话台一昼夜接 到的呼唤次数到的呼唤次数. . , 2, 1, 07 SCh1-1-27答案：答案：.18 , ,5 ,4 ,3 .1 S. ,12 ,11 ,10 .2 S写出下列随机试验的样本空间写出下列随机试验的样本空间.1. 同时掷三颗骰子同时掷三颗骰子,

15、记录三颗骰子之和记录三颗骰子之和.2. 生产产品直到得到生产产品直到得到10件正品件正品,记录生产产品记录生产产品 的总件数的总件数.练习：练习：Ch1-1-28 1. 同一试验同一试验 , 若试验目的不同若试验目的不同,则对应的样本空间则对应的样本空间 也不同也不同. 例如例如 对于同一试验对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三将一枚硬币抛掷三次次”. 若观察正面若观察正面 H、反面、反面 T 出现的情况出现的情况 ,则样本空间则样本空间为：为：若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数 , 则样本空间为：则样本空间为：. 3, 2, 1, 0 S.,TTTTHTTTHHTTTHHHTHHHTHH

16、HS 说明：说明：Ch1-1-29说明说明：2. 建立样本空间建立样本空间,事实上就是建立随机现象事实上就是建立随机现象 的数学模型的数学模型. 因此因此 , 一个样本空间可以概括一个样本空间可以概括 许多内容大不相同的实际问题许多内容大不相同的实际问题.例如例如 只包含两个样本点的样本空间：只包含两个样本点的样本空间：它既可以作为抛掷硬币出现它既可以作为抛掷硬币出现正面正面或出现或出现反面反面的的模型模型 , 也可以作为产品检验中也可以作为产品检验中合格合格与与不合格不合格的模的模型型 , 又能用于排队现象中又能用于排队现象中有人排队有人排队与与无人排队无人排队的的模型等模型等.,THS C

17、h1-1-30 所以在具体问题的研究所以在具体问题的研究中中 , 描述随机现象的第一步描述随机现象的第一步就是建立样本空间就是建立样本空间. Ch1-1-311.随机事件随机事件：随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 S 的子集称为的子集称为 E 的随机事件的随机事件, 简称事件简称事件.用用“A,B,C” 表示。表示。试验中试验中,骰子骰子“出现出现1点点”, “出现出现2点点”, ,“出现出现6点点”,“点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数点数为偶数” 等都为随机事件等都为随机事件. 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数.(一一). 基本概念基本概念

18、五、随机事件的概念五、随机事件的概念Ch1-1-32实例实例 上述试验中上述试验中 “点数不大于点数不大于6” 就是必然事件就是必然事件.3.必然事件必然事件 随机试验中必然会出现的结果随机试验中必然会出现的结果. 如样本空间如样本空间 S 本身本身.4.不可能事件不可能事件() 随机试验中不可能出现的结果随机试验中不可能出现的结果.实例实例 上述试验中上述试验中 “点数大于点数大于6” 就是不可能事件就是不可能事件.实例实例 “出现出现1点点”, “出现出现2点点”, , “出现出现6点点”.2.基本事件基本事件 由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集. (相对于观察目的不可再分解

19、的事件相对于观察目的不可再分解的事件) Ch1-1-33(二二). 几点说明几点说明例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数. 可设可设 A = “点数不大于点数不大于4”,B = “点数为奇数点数为奇数” 等等等等. 随机事件可简称为事件随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母并以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件来表示事件Ch1-1-34(2) 当且仅当集合当且仅当集合A中的一个样本点出现时中的一个样本点出现时,称称事件事件A 发生发生.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 . : 样本空间为样本空间为 . 654321,S 事

20、件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点 1,3,5 B发生当且仅当发生当且仅当B中的样本点中的样本点1,3,5中的某一个中的某一个出现出现.Ch1-1-35(3) 随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件随机事件随机事件 基本事件基本事件( (单点集单点集, ,不可再分不可再分) ) 必然事件必然事件不可能事件不可能事件复合事件复合事件Ch1-1-36事事件件 基本事件基本事件复合事件复合事件（相对于观察目的（相对于观察目的不可再分解的事件）不可再分解的事件）（两个或一些基本事（两个或一些基本事件并在一起，就构成件并在

21、一起，就构成一个复合事件）一个复合事件）如事件如事件 B=掷出奇数点掷出奇数点如在掷骰子试验中，观察如在掷骰子试验中，观察掷出的点数掷出的点数 .事件事件 Ai =掷出掷出i点点 i =1,2,3,4,5,6Ch1-1-371.包含关系包含关系 若在一次试验中，事件若在一次试验中，事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生，则称事件发生，则称事件A包含于事件包含于事件B或事件或事件B包含事件包含事件A.六、随机事件间的关系与运算六、随机事件间的关系与运算.), 2 , 1( , , ,的的子子集集是是而而的的样样本本空空间间为为设设试试验验SkABASEk 记为记为BA,或或 AB.ABCh

22、1-1-38推论：对任一事件推论：对任一事件A，总有，总有 A .如如: 掷一颗骰子掷一颗骰子,事件事件A=“出现偶数点出现偶数点”,事件事件B= “出现的点数不小于出现的点数不小于2”,则则AB 因为，若连因为，若连都发生，都发生，A当然也发生；而当然也发生；而若连若连都不发生，都不发生，A当然也不发生。当然也不发生。Ch1-1-392. 相等关系相等关系 若事件若事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生, ,而且事件而且事件B发生必然导致事件发生发生必然导致事件发生A, , 则称事件则称事件A与事件与事件B相相等等, ,记作记作A=B. . 即：即：如如: 掷一颗骰子掷一颗骰子,事

23、件事件A=“出现偶数点出现偶数点”,事件事件B=“出现出现 2、4、6点点”,则则A=BAB且且 BA A= BCh1-1-40 事件事件A与与B不可能同时不可能同时发生发生, ,即即AB= ，则称事件则称事件A与与B互互不相容不相容( (或互斥或互斥).).3. 互不相容互不相容如，事件如，事件A=出现奇数点出现奇数点与事件与事件 B= 出现出现6点点 是是互不相容的。互不相容的。则称这则称这n个事件是个事件是互不相容的互不相容的(或互斥的或互斥的)。推论推论：如果如果n个事件个事件 中任意两个事件不中任意两个事件不可能同时发生，即可能同时发生，即12,nA AA,1ijAAijn ABCh

24、1-1-41注意：注意： 基本事件必互不相容基本事件必互不相容,但互不相容的事件未必是但互不相容的事件未必是基本事件。基本事件。 不可能事件不可能事件与任何事件与任何事件A(包括必然事件包括必然事件)都互都互斥。斥。Ch1-1-424. 事件的和事件的和(并并) “事件事件A与与B中至少有一个发生中至少有一个发生” 的的事件称之为事件事件称之为事件A与与B之和之和(或并或并),记为记为AB(或或A+B).例如：例如：“身高身高X2米米” = “X2米米” “X=2米米”推广推广：事件事件 中至少有一个发生，称这一中至少有一个发生，称这一事件为事件为 的和，记为的和，记为 ；对可列个事；对可列个

25、事件同样定义件同样定义: :12,nA AA12,nA AA1nkkA 12nAAA 1kkA ABCh1-1-435. 事件的积事件的积(交交)“事件事件A与与B同时发生同时发生”的事件的事件称为事件称为事件A, ,B之积之积( (或交或交),),记为记为AB( (或或AB) )。类似地类似地，1)1)事件事件 同时发生，称这一事件同时发生，称这一事件为为 的积，记为的积，记为 ；12,nA AA12,nA AA1nkkA ABAB12,nA AA12,nA AA1kkA 2)可列个事件可列个事件 同时发生，称这一事件同时发生，称这一事件为为 的积，记为的积，记为 .Ch1-1-44图示事件

26、图示事件A与与B 的积的积事件事件.SABAB实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定,因此因此“产品合格产品合格”是是“长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件.Ch1-1-45性性质质： ; , 1BABBAA ; , 2BBABABAA ; , BBAABA ; , 3AAAAAA ., , 4BBAAABAB 则则若若Ch1-1-46图示图示 A 与与 B 的差：的差：6. 事件的差事件的差“事件事件A发生且事件发生且事件B不发生不发生”的事件称为的事件称为A与与B之之差，记为差，

27、记为AB ( 或或AB).ABAB BA ABAB BA 注意：注意：事件的差运算并未要求一定有事件的差运算并未要求一定有 ，没有，没有包含关系包含关系 ，照样可做差运算，照样可做差运算 。BA BA AB Ch1-1-47例，在掷一颗骰子的试验中，例，在掷一颗骰子的试验中，A=1, 3,5,B=1,2,3则则A-B=5.1);AA 性性质质： 2);AA 3);A 4).ABABAAB Ch1-1-48 AB 若若事事件件与与事事件件在在一一次次试试验验中中必必发发生生，即即 、 满满足足条条件件则则称称事事件件 与与事事有有且且只只有有其其中中之之件件 为为互互逆逆事事件件，或或称称事事件

28、件 、 互互为为对对立立事事件件。事事件件 的的对对立立事事件件记记为为一一且且 A BABAAB=AABAB.7. 对立对立(逆逆)事件事件实例实例 “骰子出现骰子出现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”对立对立“骰子出现奇数点骰子出现奇数点” “骰子出现偶数点骰子出现偶数点”对立对立Ch1-1-49图示图示 A 与与 B 的对立的对立.SBA A7. 对立对立(逆逆)事件事件 必然事件的对立面是不可能事件必然事件的对立面是不可能事件,不可能事不可能事件的对立面是必然事件件的对立面是必然事件,它们互称为它们互称为对立事件对立事件.Ch1-1-50对立事件与互斥事件的区别：对立事件与互斥事

29、件的区别：互互 斥斥对对 立立A、B 对立对立 ABAB 且且A、B 互斥互斥 ABABABA . , 但互斥不一定对立但互斥不一定对立对立一定互斥对立一定互斥Ch1-1-518 8、完备事件组、完备事件组 如果如果n个事件个事件 中至少有一个事件一定中至少有一个事件一定发生，即发生，即 则称这则称这n个事件构成完备事件组个事件构成完备事件组.12,nA AA1nkkA 1,(1)nkijkAAAijn 如果如果n个事件满足：个事件满足：则称这则称这n个事件构成互不相容的完备事件组个事件构成互不相容的完备事件组.显然显然,样本样本空间的所有基本事件构成互不相容的完备事件组空间的所有基本事件构成

30、互不相容的完备事件组.Ch1-1-52概率论与集合论之间的对应关系：概率论与集合论之间的对应关系：记号记号概率论概率论集合论集合论S样本空间，必然事件样本空间，必然事件空间空间不可能事件不可能事件空集空集 基本事件基本事件元素元素A随机事件随机事件子集子集AA的对立事件的对立事件A的补集的补集BA A出现必然导致出现必然导致B出现出现A是是B的子集的子集BA 事件事件A与事件与事件B相等相等集合集合A与集合与集合B相等相等Ch1-1-53BA 事件事件A与事件与事件B的差的差 A与与B两集合的差集两集合的差集 AB事件事件A与与B互不相容互不相容A与与B 两集合中没有两集合中没有相同的元素相同

31、的元素BA事件事件A与事件与事件B的和的和 集合集合A与集合与集合B的并集的并集AB 事件事件A与事件与事件B的的积事件积事件集合集合A与集合与集合B的交集的交集Ch1-1-54事件间的运算规律事件间的运算规律(1),.ABBA ABBA 交交换换律律(2)()(),ABCABC 结结合合律律(3)()()(),ABCACBCACBC 分分配配率率(4):,.ABAB ABAB 德德 摩摩根根公公式式 对对偶偶率率( () )则则有有为为事事件件设设 ,CBA).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA 1111,.nnnnkkkkkkkAAAA 推推广广到到有有限限个个

32、事事件件中中： Ch1-1-55例例1 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件, ,试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来. .(1) A 发生发生 , B, C 不发生不发生;(5) 三个事件都不发生三个事件都不发生;(2) A, B都发生都发生, C 不发生不发生;(3) 三个事件都发生三个事件都发生;(4) 三个事件至少有一个发生三个事件至少有一个发生;)1(CBA(2);ABCAB C 或或 ;)3(ABC(4);ABC ;)5(CBA(6) (6) 三个事件不都发生；三个事件不都发生；(6) ABCABC Ch1-1-56(9) A, B 至少有一个发生至

33、少有一个发生, C 不发生不发生;(10) A, B, C 中恰好有两个发生中恰好有两个发生.(7) A、B、C不多于一个事件发生不多于一个事件发生;(8) 三个事件至少有两个发生三个事件至少有两个发生;(7);ABCABCABCABC (8);ABCABCABCABCABBCCA 或或 (9) ();AB C (10).ABCABCABC Ch1-1-57 , 2记记进行三次射击进行三次射击设某射手对一目标接连设某射手对一目标接连练习练习 , , 次次未未击击中中目目标标第第次次击击中中目目标标第第iAiAii 3 , 2 , 1, , 3 , 2 , 1 表示事件表示事件试用试用 iAAi

34、ii 3 , 2 , 1 , 0, 1 jjBj次次击击中中目目标标三三次次射射击击中中恰恰好好有有 3 , 2 , 1 , 0, 2 kkCk次击中目标次击中目标三次射击中至少有三次射击中至少有Ch1-1-58 解解 0 1 B 次击中目标次击中目标三次射击中恰好有三次射击中恰好有0321AAA 1B321321321AAAAAAAAA 2B321321321AAAAAAAAA 3B321AAA 0 2 C 次次三次射击中至少击中三次射击中至少击中0 次次次次或或次次或或次次或或三三次次中中恰恰好好击击中中321 0 3210BBBB 1C321BBB 2C32BB 3C3B Ch1-1-5

35、9随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件随机事件随机事件 基本事件基本事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件复合事件复合事件八、小结八、小结1. 随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 互为对立事件互为对立事件Ch1-1-602. 概率论与集合论之间的对应关系：概率论与集合论之间的对应关系：记号记号概率论概率论集合论集合论S样本空间，必然事件样本空间，必然事件空间空间不可能事件不可能事件空集空集 基本事件基本事件元素元素A随机事件随机事件子集子集AA的对立事件的对立事件A的补集的补集BA A出现必然导致出现必然导致B出现出现A是是B的子集的子集B

36、A 事件事件A与事件与事件B相等相等集合集合A与集合与集合B相等相等Ch1-1-61BA 事件事件A与事件与事件B的差的差 A与与B两集合的差集两集合的差集 AB事件事件A与与B互不相容互不相容A与与B 两集合中没有两集合中没有相同的元素相同的元素BA事件事件A与事件与事件B的和的和 集合集合A与集合与集合B的并集的并集AB 事件事件A与事件与事件B的的积事件积事件集合集合A与集合与集合B的交集的交集Ch1-1-621. 加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,； 第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1 + n2 + + nm 种方法种方法 .补充：补充：排列与组合公式排列与组合公式Ch1-1-63则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法 .mnnn212. 乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,； 第第m个步骤有