动力气象学 第三章 尺度分析与基本方程组简化

1、第三章第三章 尺度分析与基本方程组的简化尺度分析与基本方程组的简化（SCALE ANALYSIS OF THE BASIC EQUATIONSSCALE ANALYSIS OF THE BASIC EQUATIONS） 为什么要简化基本方程组？为什么要简化基本方程组？数学上：方程组是高度非线性的，求解上异常困难数学上：方程组是高度非线性的，求解上异常困难物理上：影响大气运动的因子很多，重点不突出物理上：影响大气运动的因子很多，重点不突出原因：描述大气运动的基本方程组非常复杂原因：描述大气运动的基本方程组非常复杂因此：需要简化因此：需要简化数学上：略去方程中相对较小的项，保留大项，使方程简单，容

2、易求解数学上：略去方程中相对较小的项，保留大项，使方程简单，容易求解物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用，即把握现象本质；物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用，即把握现象本质；最终结果：最终结果：使简化的方程反映的物理规律更加清晰，求解起来更加方便。使简化的方程反映的物理规律更加清晰，求解起来更加方便。 具体来说，大气中存在各种具体来说，大气中存在各种不同尺度不同尺度的运动，虽然它们都用同一个基本方程组的运动，虽然它们都用同一个基本方程组来描述，但由于运动的来描述，但由于运动的尺度尺度不同，使其运不同，使其运动性质不一样。动性质不一样。 当我们研究某一特定当我们研究某一特定尺度尺度

3、运动时，只运动时，只有抓住决定该有抓住决定该尺度尺度运动的主要因子，忽略运动的主要因子，忽略那些次要因子，才能把握该运动的基本特那些次要因子，才能把握该运动的基本特性。性。途径：尺度分析途径：尺度分析 一般，采用一般，采用尺度分析尺度分析方法。它是一种方法。它是一种对物理方程进行分析和简化的有效方法。对物理方程进行分析和简化的有效方法。 这一方法是恰尼（这一方法是恰尼（1948年）首先倡导年）首先倡导的。以后经伯格（的。以后经伯格（Burger,1958年）、年）、菲利普斯（菲利普斯（1963）等人进一步发展完善，）等人进一步发展完善，现在大气动力学和数值天气预报的研究中现在大气动力学和数值天

4、气预报的研究中得到广泛的应用。得到广泛的应用。 一、尺度的概念一、尺度的概念 由实际观测资料可知，任一物理量都有一定的变动范围，我们可以用各物理量场具有代表意义的量值来表示它的基本特征。 各物理量具有代表意义的量值称为该物理量的特征值特征值。这一特征值就是尺度尺度。一般是用它的数量级来表征它的大小。 例如例如，在天气图上常见的天气系统中（中低层大气），水平风速大致在5到25ms-1 之间，故可取10ms-1 作为它的尺度。 若水平速度尺度（特征值）记作V，实际水平速度可以写为：u=Vu* v=Vv*，u*、v*为一无量纲量，其量值在0.5-2.5之间。 将任一物理量写作： *Qqq 其中： Q

5、特征量， 表示该物理量的一般大小； 常量；有量纲 无量纲量，量级在 100左右，表示物理量的具体大小；是变量；没有量纲 *q 这里的q是广义的，不仅包括气象要素，还包括方程各项。 比较物理量的大小，可以比较特征量Q的大小（即“尺度”）。 如：已知：*,TttVuu则：则：*tuTVtu是其无量纲量。的特征量，是*tutuTV二、二、“尺度分析尺度分析”概念概念 依据表征某类运动系统某类运动系统各场变量的特征值，来估计大气运动方程中各项量级大小的一种方法。根据尺度分析的结果，结合物理上的考虑，略去小项，保留大项，以得到突出某类运动特征的简化方程。“尺度分析尺度分析”的步骤：的步骤：明确要分析的运

6、动系统， 即（大、中、小）尺度运动；了解该尺度运动中各基本物理量的特征量的量级大小；将q=Qq*代入方程，写出方程中各项的特征量；计算各项特征量的量级；比较大小，保留大项，略去小项。410410431010104101051051051061041010待定尺度待定尺度 ., PW在中高纬度大尺度大气运动中，各物理量的特征量为： smHmLmsWmsV54612111010;10;10;10；基本尺度：303253/10,/101010mkgmkgPaPPPaPzhzh，气压和密度的变化：FFWWWVVVhtzhzh即：其水平变化尺度相同的时间变化尺度与同时认为：任意物理量物理量变化尺度：,F

7、; 12510 :sm空气分子的粘性系数1151424360022210292. 72sin210SSfsff对中高纬地区ufvwfxpzuwyuvxuutu21TVLV2HVWLPh1Wf0Vf02HV 10-4 10-4 10-5 10-3 10-6 10-3 10-12 ms-2其中： 2222222zuyuxuu222HVLVLV三、运动方程的尺度分析三、运动方程的尺度分析2HVvfuypzvwyvvxvutv21TVLV2HVWLPh01Vf02HV 10-4 10-4 10-5 10-3 10-3 10-12 ms-2wufgzpzwwywvxwutw21TwLVWHW2HPz1G

8、Vf02HW 10-7 10-7 10-8 101 101 10-3 10-15 ms-2 分子粘性力可以忽略不考虑分子粘性和湍流粘性“自由大气”对短期天气过程来说，分子粘性很小，即日常天气过程可以不计；对气候学来说，分子粘性累积起来就很大了，所以不能忽略！流边界层，分子粘性力可略湍低层：湍流粘性力重要气；流粘性力可略自由大高层：层流，分子、湍讨论：讨论： 取“零级近似”，即只保留量级最大项，得到的简化方程为：010101gzpfuypfvxp 水平方向上： 01Vk fph水平气压梯度力水平科氏力0 地转平衡“零级近似”的特点：这表明“大尺度”运动中水平气压梯度力与科氏力基本相平衡的，运动是

9、准地转的。0101fuypfvxp矢量形式：矢量形式：(Geostrophic balance)地转平衡关系的重要性： 揭示了风场与气压场之间最简单，最基本的联系。大尺度运动处于准地转平衡状态，这是大尺度运动一个重要性质。 The geostrophic balance is a diagnostic expression that gives the approximate relationship between the pressure field and horizontal velocity in large-scale extratropical systems.地转平衡运动的特征

10、：动力学特征： 水平压力梯度力与科氏力相平衡运动学特征： 风沿等压线吹；背风而立，高压在右， 低压在左（南半球相反）。地转风的表达式： PkfVhg1南半球：南半球：0, 0f在南半球：高压反气旋逆时针 垂直方向上： 01gzp静力平衡 上式表示：在垂直方向上气压梯度力与重力基本平衡，上式表示：在垂直方向上气压梯度力与重力基本平衡，在大尺度运动中，任何一点的气压相当精确地等于该点在大尺度运动中，任何一点的气压相当精确地等于该点以上单位截面积的重量。以上单位截面积的重量。注意：这不意味没有垂直运动，只是近似平衡。注意：这不意味没有垂直运动，只是近似平衡。Hydrostatic equilibri

11、um静力平衡关系的重要性： 给出了瞬时气压场、密度场、温度场之间的关系。 大尺度运动经常处于准准静力平衡状态，这是大尺度运动又一重要性质。 运动方程的零级近似式中不含有气象要素的时间导数项，称其为诊断方程。不能对速度场作确定，因此不能作为预报方程。注意：注意：0yvxu四、连续方程的零级简化形式：四、连续方程的零级简化形式：水平无辐散连续方程的零级简化说明大尺度运动是准水平无幅散的。小结：“零级近似”得到的平衡方程：0010101yvxugzpfuypfvxp这组方程中不含有时间偏导数项，所以称之为“平衡简化方程组”。这组方程中不含有热力学方程 由此可见，中高纬度大尺度大气运动的主要特征是：准

12、地转平衡、准静力平衡、准水平无辐散、准水平、准定常。五、一级简化方程pCRpppRpRTpdtdpdtdTCzwyvxutzwyuxugzpfuypyvvxvutvfvxpyuvxuutu00001000111其中或 一级简化方程组可称为“非平衡简化方程组”。在这一方程组中，运动方程是不含有W项。由于垂直运动对于大气变化有重要影响，虽在运动方程中一般对流项比其它项要小，但作为预报方程，一般还应保留对流项。一级简化方程组中的连续方程不含时间导数项，这表明密度场基本上是定常的，可作为预报方程有时也保留时间导数项。此外，热力学方程此时常采用绝热形式：01dtdpdtdTCp由尺度分析可以证明，气压的

13、全导数几乎由垂直运动决定。对于中纬度大尺度运动zpwypvxputpdtdp11111210101sHPwzpwsPLUypvxputpzhgwzpwdtdp0wCgzTwyTvxTutTpzTCgdp,0wyTvxTutTd尺度分析得：略去小项有：由此得到热力学一级简化方程：其中，上式改写为：静力平衡关系 这说明大尺度运动中温度的局地变化主要是由温度平流和垂直运动决定的。 一级简化方程与原方程组最大的差异在于垂直运动方程采用了静力平衡关系，这样简化了数学处理，它能滤去声波。 铅直厚度特征值大气（有必要引入单独的层结气中，乎发生在同样地层结大因为各种范围的运动几同（合理）为与其它运动学变量相气

14、压扰动的时空尺度取）（后面记号此时且认为，将其分解为为了处理和分析的方便且它类似）表明（以气压举例，其层结大气的观测事实，有点麻烦！）尺度：热力学变量（),),(,(,pPPPPPPPgzpTRptzyxpzppPPypxpzpTpzhzhhh的尺度也视为视为等温大气的温度，其中（怎么来的？）也称为大气的标高时的厚度。随高度的变化为是认为厚度尺度（热力学基本状态的铅直TTmgRTHHeppH*4*10.) LDUWLUDWDWLULUDWHWDWDWLULULUzwyvxuzwzwVtxxxxxtzyxzzwyvxudtd或结论：仅仅是高度的函数）注意若（数学技巧：，忽略二阶小量静力扣除，先来

15、看连续性方程,0ln() 1,111,)1ln(),(0ln讨论尺度取决于你关心同一件事物的哪个方面既然如此，为何不同尺度的运动方程，同一物理项为何会有不同的量级？因为，不同尺度的运动方程，使用不同的资料处理方法（这是资料同化研究的中心课题）（初始场与模式的协调性）尺度分析的经验性和非严谨性（小项一定不重要么；小项总是小的么）六、无量纲动力学参数 在动力气象学中，经常利用特征尺度，引进无量纲变量，将动力学方程无量纲化，并由此得到一些由基本尺度 和环境参数 组成的无量纲参数无量纲参数，这些无量纲参数都具有明确的物理意义。无量纲方程和无量纲参数在对大气运动进行动力分析时十分有用。UDL,Hfg,0

16、方程无量纲化的步骤：1）把方程各项写作 “特征量无量纲量”的形式。2）化为“无量纲方程” ： 用方程中某一项的特征量同除方程的每一项（量纲齐次性原理）无量纲方程各项前面的系数无量纲（数）体现各项的相对重要性。 例：例：fvxpyuvxuutu1*tuTV*2yuvxuuLV)1(1*0 xPLPh)(*0vfVf 两边同除以科氏力的特征量 Vf0以水平运动方程的以水平运动方程的“一级近似一级近似”为例为例*01)(vfxpyuvxuutuR特征科氏力项特征惯性力项VfLVR020VfLPVLTh001;其中：其中：非地转。，满足准地转；度很小，可忽略特征惯性力很小，加速000010,10RR（

17、Rossy数）数）（所以可以通过Rossy数判断是否准地转运动）上式即无量纲方程上式即无量纲方程特征无量纲参数特征无量纲参数牵连涡度尺度相对涡度尺度000020/ffLVVfLVR又：运动平流时间惯性特征时间aiVLfVfLVR/10020R0=1时，非线性平流项不能忽略，因此，方程式非线性的，相对涡度大于或等于牵连涡度，运动的平流时间小于或等于惯性运动时间，这样的运动过程称为快过程快过程。a) 中纬度大尺度运动： smVsf14010,10mL610110100LfVR准地转RossbyRossby数的应用：数的应用： b) 中纬度中小尺度运动： smVsf14010,10mL5100001

18、0LfVR非地转c) 热带大尺度运动： smVsf15010,10mL61000010LfVR 非地转七、地转参数的简化、及平面近似afyfayffyffyyyfyyyfyyyfff注意：其中高次项，则处如设高次项0000000222cos2sin20! 210000000aLfy000sincos现对地转参数来进行分析。将f在纬度0处展开成泰勒级数，则有：若令L代表运动的径向水平尺度，则（）式前两项之比为： 因此，在中纬度地区，若运动的经向水平尺度远小于地球半径时 ，可以取 既把f作为常数处理，这种近似称为 近似。取这种近似相当于完全没有考虑地球球面性所引起的f随纬度的变化。 高一级近似是所

19、谓 平面近似，其主要内容是：（一）当f处于系数地位不被微商时，取： ；（二）当f处于对y求导时，取 为常数。 即：f=f0+y1aL0ff 0f0ff dydf 局地直角坐标系中，垂直坐标轴Z是以长度长度（米）（米）为单位来度量，描述大气运动方程组的物理意义比较清楚。在这种坐标系中运动方程中（如气压梯度力）与连续方程中均含有密度密度项。八、八、P坐标坐标But：“密度密度”一般不是常规测量的物理量，这样分析对比不同高度处气压梯度力时很不方便。于是，在气象学中常采用气压P作为垂直坐标，在这种坐标系中，气压梯度力已不含密度的因子，用起来较方便，所以在实际工作中也进行等压面图的分析。1、P坐标系的概念用气压P替换z坐标系中的垂直坐标就可得到P坐标系。水平坐标x,y不变。把z坐标转换为P坐标的基本关系是静力平静力平衡方程衡方程 :它与z的坐标方向相反。gdzdp2. 垂直坐标系转换（Z P）任一气象要素FF(x,y,z,t)=F(x,y,z(x,y,p,t),t)=F(x,y,p,t)zpztPPFtFtFzpzxPPFxFxFzpzyPPFyFyFzPPFzFpzt