通信原理精品第3章 随机信号分析ppt课件

1、第章随机信号分析第第3章随机信号分析章随机信号分析3.1 引言引言 3.2 随机变量的概率分布与概率密度函数随机变量的概率分布与概率密度函数 3.3 随机过程随机过程 3.4 随机过程经过线性系统随机过程经过线性系统 3.5 通讯系统中的噪声通讯系统中的噪声 本章小结本章小结 习题习题 第章随机信号分析3.1 引引 言言在第在第2章中我们对确知信号进展了分析。在章中我们对确知信号进展了分析。在实践通讯系统中，携带音讯的信号普通都带有实践通讯系统中，携带音讯的信号普通都带有随机性。同时，携带音讯的信号在传输过程中，随机性。同时，携带音讯的信号在传输过程中，不可防止地要遭到噪声的干扰，噪声普通也是

2、不可防止地要遭到噪声的干扰，噪声普通也是随机的。因此，广泛地说，无论信号还是噪声，随机的。因此，广泛地说，无论信号还是噪声，两者都是随机的。它们不能表示成一个确定的两者都是随机的。它们不能表示成一个确定的时间函数，要分析此类信号和噪声的内在规律时间函数，要分析此类信号和噪声的内在规律性，只需找出它们的统计特性，根据随机实际性，只需找出它们的统计特性，根据随机实际来描画。来描画。本章将对随机信号和噪声的数学模型本章将对随机信号和噪声的数学模型随机过程作实际上的讨论，并用随机过程的实随机过程作实际上的讨论，并用随机过程的实际来处理实践问题。际来处理实践问题。第章随机信号分析3.2 随机变量的概率分

3、布与概率密度函数随机变量的概率分布与概率密度函数3.2.1 什么是随机变量什么是随机变量生活中有许多随机变量的例子。例如：掷生活中有许多随机变量的例子。例如：掷一枚硬币出现正面与反面的随机实验。我们规一枚硬币出现正面与反面的随机实验。我们规定数值定数值1表示出现反面，数值表示出现反面，数值0表示出现正面，表示出现正面，这样做就相当于引入一个变量这样做就相当于引入一个变量X，它将随机地，它将随机地取两个数值，而对应每一个能够取的数值，有取两个数值，而对应每一个能够取的数值，有一个概率，这一变量一个概率，这一变量X就称之为随机变量。就称之为随机变量。当随机变量当随机变量X的取值个数有限或无穷可数的

4、取值个数有限或无穷可数时，称它为离散随机变量，否那么就称之为延时，称它为离散随机变量，否那么就称之为延续随机变量，即能够的取值充溢某一有限或无续随机变量，即能够的取值充溢某一有限或无限区间。限区间。第章随机信号分析3.2.2 概率分布函数概率分布函数F(x)假设随机变量假设随机变量X能够取能够取xi=x1、 x2、 x3、 x4四个值，且有四个值，且有x4x3x2x1，相应的概率为，相应的概率为P(xi)或或P(X=xi)，那么有，那么有P(Xx2)=P(x1)+P(x2)P(Xx2)的含义是随机变量取值小于等于的含义是随机变量取值小于等于x2的概率，它等于变的概率，它等于变量取值量取值x1和

5、和x2的概率之和。用的概率之和。用P(Xx) 定义的定义的x的函数称之为随的函数称之为随机变量机变量X的概率分布函数的概率分布函数(简称分布函数简称分布函数)，记作，记作F(x)，即，即F(x)=P(Xx) (3-2-1)第章随机信号分析它表示随机变量取值小于等于x的概率。在这个定义中，X可以是离散的也可以是延续的，显然F(x)有如下特点：(1) F(-)=P(X-)=0；(2) F()=P(X)=1；(3) 假设x1x2，那么F(x1)F(x2)，即概率分布函数F(x)为单调不减函数。例3.2.1 设随机变量X能够的取值有四个，分别是0、1、2、3，概率都为1/4，即P(0)=P(1)=P(

6、2)=P(3)=1/4。求概率分布函数F(x)并画出曲线。第章随机信号分析解 分几个区间来讨论。当x0时当x=0时 当0 x1时 当1x2时 0)()(xXPxF41)0()()(PxXPxF41)0()()(PxXPxF214141) 1 ()0()()(PPxXPxF第章随机信号分析当2x3时 当3x时 根据上面的讨论结果，画出F(x)曲线如图3.2.1所示。43414141)2() 1 ()0()()(PPPxXPxF141414141 )3()2() 1 ()0()()(PPPPxXPxF第章随机信号分析图3.2.1 概率分布函数第章随机信号分析3.2.3 概率密度函数概率密度函数F(

7、x)1. 概率密度函数的定义及性质概率密度函数的定义及性质假设存在延续随机变量假设存在延续随机变量X，其分布函数，其分布函数F(x)与一个非负函数与一个非负函数F(x)之间有如下关系之间有如下关系 (3-2-2)那么称那么称F(x)为为X的概率密度函数的概率密度函数(简称概率密度简称概率密度)。由于式。由于式(3-2-2)表示随机变量表示随机变量X在在(-，x)区间上取值的概率，故区间上取值的概率，故F(x)具有概率具有概率密度的含义。式密度的含义。式(3-2-2)也可写成也可写成 (3-2-3)因此，概率密度就是分布函数的导数。因此，概率密度就是分布函数的导数。xudufxF)()()()(

8、)(xFdxdxf第章随机信号分析概率密度有如下性质：(1) F(x)0(2) (3) (4) 阐明：随机变量、概率分布函数和概率密度函数均是多维的，但在通讯原理课程中用得最多的是一维概率密度函数。例3.2.2 某随机变量X，其概率分布函数如图3.2.2(a)所示。求其概率密度函数F(x)。 1d)(xxfabxxfxxfxxfd)(d)(d)()()()(d)(bxaPaFbFxxfba第章随机信号分析图3.2.2 概率分布函数和概率密度函数第章随机信号分析解 由图3.2.2(a)可得概率分布为由式(3-2-3)得概率密度函数为概率密度函数表示图如图3.2.2(b)所示。bxbxaabaxx

9、xF 1 0 0)(bxbxaabaxxf 0 1 0)(第章随机信号分析2. 几种常见的概率密度函数1) 均匀分布具有图3.2.2(b)所示概率密度函数的随机变量称为均匀分布的随机变量，其概率分布函数如图3.2.2(a)所示。均匀分布是常见的概率分布之一。例如，正弦振荡源所产生的振荡信号的初相在(0, 2) 上均匀分布。第章随机信号分析2) 高斯(Gauss)分布高斯分布(也称为正态分布)随机变量的概率密度函数为其中, a为高斯随机变量的均值(数学期望)，2为高斯随机变量的方差。222)(exp21)(axxf第章随机信号分析当我们研讨高斯噪声对数字通讯的影响时，通常对下面的概率感兴趣：其中

10、，称为互补误差函数。当变量x的值给定时，可经过数学手册查得eRFc(x)的值。为方便运用，附录中给出了部分eRFc(x)的值。2erfc21 d)exp(2.21 d2)(exp21)(2222abzzxaxbXPabbyyxxd)exp(2)(erfc2第章随机信号分析正态分布随机变量的概率密度函数和概率分布函数曲线见图3.2.3。图3.2.3 正态分布随机变量的概率密度函数和概率分布函数第章随机信号分析概率密度函数的中心位置由均值a确定，其外形由方差的平方根确定。图3.2.4画出了不同a和不同时的概率密度函数曲线表示图。从图中可以看出，均值a决议F(x)极大值的位置，F(x)曲线的宽窄和极

11、值与方差的平方根有关。第章随机信号分析图3.2.4 概率密度函数曲线表示图第章随机信号分析3) 瑞利分布通讯原理中遇到的窄带高斯噪声的包络是服从瑞利分布的，瑞利分布随机变量的概率密度函数为式中0，其曲线如图3.2.5所示。 00 2exp)(222其它xxxxf第章随机信号分析图3.2.5 瑞利分布随机变量的概率密度函数第章随机信号分析4) 莱斯分布正弦(或余弦)信号加上窄带高斯噪声包络的瞬时值服从莱斯分布。莱斯分布随机变量的概率密度函数为式中, I0(x)为零阶贝塞尔函数，A为正弦波的振幅。当A=0时，莱斯分布退化为瑞利分布； 当A相对于噪声较大时，莱斯分布趋近于正态分布。 xxAxIxAx

12、xf0 00 2)(exp)(202222第章随机信号分析3.2.4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征假设要完好地描画一个随机变量的统计特性，就必需求得假设要完好地描画一个随机变量的统计特性，就必需求得它的分布函数或概率密度函数。在实践运用中，除了关怀随机它的分布函数或概率密度函数。在实践运用中，除了关怀随机变量的概率密度函数外，还需求调查随机变量的数字特征。由变量的概率密度函数外，还需求调查随机变量的数字特征。由于在有些场所，要确定随机变量的分布函数，并且加以分析是于在有些场所，要确定随机变量的分布函数，并且加以分析是比较困难的。而数字特征既能描画随机变量的部分重要特征，比较困难的。而数

13、字特征既能描画随机变量的部分重要特征，又便于进展运算和实践丈量。经常用到的数字特征有以下几个：又便于进展运算和实践丈量。经常用到的数字特征有以下几个：(1) 随机变量的数学期望，也称为随机变量的均值。随机变量的数学期望，也称为随机变量的均值。(2) 随机变量的方差。随机变量的方差。(3) 两个随机变量的相关系数。两个随机变量的相关系数。第章随机信号分析1. 随机变量的数学期望数学期望是随机变量的统计平均值。对于离散随机变量X，假设它能够的取值有x1，x2，x3， xn，其相应的概率分别为P(x1)，P(x2)，P(x3)，P(xn)，那么其数学期望的定义为 (3-2-4)对于延续随机变量X，假

14、设其概率密度函数为F(x)，那么其数学期望的定义为 (3-2-5)()(1niiixPxXExxxfXEd)()(第章随机信号分析 例3.2.3 (1) 丈量某随机电压X，测得3.0 V的概率为2/5； 测得3.2 V的概率为2/5； 测得3.1 V的概率为1/5，求该随机电压的数学期望。(2) 某延续随机变量X的概率密度函数 ,其中a、 2均为常数，求该随机变量的数学期望。222)(exp21)(axxf第章随机信号分析解 (1) 由式(3-2-4)得 (2) 由式(3-2-5)得)V( 1 . 3511 . 3522 . 3520 . 3)()(31iiixPxXEaxaxxxxxfXEd

15、2)(exp21d)()(22第章随机信号分析 数学期望有如下特性：(1) E(C)=C，C为常数；(2) E(X+Y)=E(X)+E(Y);(3) E(XY)=E(X)E(Y)，X、 Y统计独立;(4) E(X+C)=E(X)+C;(5) E(CX)=CE(X)。其中，X、Y为随机变量。第章随机信号分析2. 方差随机变量的方差反映了随机变量取值的集中程度。方差越小，阐明随机变量取值越集中； 方差越大，阐明随机变量取值越分散。对于离散随机变量X，假设它能够的取值有x1，x2，x3，xn，其相应的概率分别为P(x1)，P(x2)，P(x3)，P(xn)，那么其方差定义为 (3-2-6)对于延续随

16、机变量X，假设其概率密度函数为F(x)，那么其方差定义为 (3-2-7)()()(12niiixPXExXDxxfXExXDd)()()(2第章随机信号分析方差有如下特性：(1) D(C)=0，C为常数；(2) D(X+Y)=D(X)+D(Y)，此式成立的条件是X、 Y统计独立；(3) D(X+C)=D(X);(4) D(CX)=C2D(X);(5) D(X)=E(X2)-E2(X)。假设X代表某随机信号，那么随机信号的功率为其中, E2(X)=a2为信号的直流功率； D(X)=2为信号的交流功率。22222)(d)()(aXEXDxxfxXEP第章随机信号分析3. 协方差、相关矩和相关系数两

17、个随机变量之间的协方差定义为其中，E(XY)称为两个随机变量X、 Y之间的相关矩，它是两个随机变量乘积的均值，可由如下表达式求得当随机变量X、 Y相互独立时，F(x, y)=F(x)F(y)，上式变为)(YEXEXYEEYYEXXEXYC yxyxxyfXYEdd),(d)(d)(YEXEyyyfxxxfXYE第章随机信号分析相关系数反映了两个随机变量之间的相关程度，相关系数定义如下这里有三个重要概念：(1) 当协方差C(XY)=0时，相关系数=0，称两个随机变量是不相关的。(2) 当相关矩E(XY)=0时，称两个随机变量是正交的。(3) 当两个随机变量的结合概率密度函数等于两个随机变量各自概

18、率密度函数的乘积时，即F(x, y)=F(x)F(y)时，称两个随机变量是独立的。YDXDXYC第章随机信号分析3.3 随机过程随机过程3.3.1 随机过程的定义随机过程的定义随机变量在时间随机变量在时间t上的变化过程就是随机过上的变化过程就是随机过程。随机过程可定义为随机变量程。随机过程可定义为随机变量和时间和时间t的函的函数，记为数，记为X(t, )。当随机变量当随机变量取某个值，如取某个值，如i时，随机过程时，随机过程X(t, i)=xi(t)为时间确实定函数。此时间函数称为时间确实定函数。此时间函数称为随机过程为随机过程X(t, )的一个样本函数或随机过程的一个样本函数或随机过程X(t

19、, )的一次实现，随机变量的一次实现，随机变量取不同值时得到取不同值时得到不同的样本函数。另一方面，对于一个特定的不同的样本函数。另一方面，对于一个特定的时间值，如时间值，如t0，那么，那么X(t0, )是一个随机变量，是一个随机变量，此随机变量的取值与此随机变量的取值与有关。所以，随机过程有关。所以，随机过程恣意时辰的取值是一个随机变量。当恣意时辰的取值是一个随机变量。当=i，t=t0时，随机过程时，随机过程X(t, )=X(t0, i)为一个确定为一个确定的值。的值。第章随机信号分析通常我们运用X(t)来表示随机过程。随机过程中也能够包含有多个随机变量，所以随机过程的普通表达式为X(t)=

20、g(Y1, Y2, , Yn; t)其中，Y1，Y2，Yn是n个随机变量，g是普通的函数。第章随机信号分析从上面的讨论可知，当随机过程中的随机变量取值给定时，随机过程变成了一个时间确实定函数；当随机过程中的时间给定时，随机过程变成一个随机变量。如随机过程X(t)=2cos(2t+Y)其中，Y是一个离散随机变量，取0和/2的概率一样，即P(Y=0)=1/2，P(Y=/2)=1/2。当随机变量Y取值为0时，随机过程X(t)为x1(t)=2 cos(2t)，是时间的一个确定函数，也是随机过程X(t)=2cos(2t+Y)的一个样本函数。当随机变量Y取值为/2时，随机过程X(t)为x2(t)=2cos

21、(2t+/2)=-2 sin(2t)，它也是时间的一个确定函数，是随机过程X(t)=2 cos(2t+Y)的另一个样本函数。由此可见，此随机过程共有两个样本函数，如图3.3.1所示。第章随机信号分析图3.3.1 随机过程X(t)的样本函数第章随机信号分析当给定某个时间值，如t=0.5时，X(0.5)=2 cos(20.5+Y)= 2cos(+Y)，是一个随机变量，取值及概率与Y有关。当Y=0时，X(0.5)=2cos()=-2；当Y=/2时，X(0.5)=2cos(+/2)=0。由于Y=0及Y=/2的概率都为1/2，所以，随机变量X(0.5)取值为-2和0的概率都是1/2。第章随机信号分析3.

22、3.2 随机过程的统计特性随机过程的统计特性设设X(t)是一个随机过程，那么其恣意时辰是一个随机过程，那么其恣意时辰t1的取值的取值X(t1)是一个随机变量，该随机变量的分布函数和概率密度函数就是一个随机变量，该随机变量的分布函数和概率密度函数就定义为随机过程定义为随机过程X(t)的一维分布函数和一维概率密度函数，的一维分布函数和一维概率密度函数，一维概率密度函数记为一维概率密度函数记为F1(x1; t1)。同样，随机过程。同样，随机过程X(t)的恣的恣意两个不同时辰意两个不同时辰t1、 t2的取值的取值X(t1)、 X(t2)是两个不同的随机是两个不同的随机变量，这两个随机变量之间的结合分布

23、函数和结合概率密度变量，这两个随机变量之间的结合分布函数和结合概率密度函数相应地定义为随机过程函数相应地定义为随机过程X(t)的二维分布函数和二维概率的二维分布函数和二维概率密度函数，二维概率密度函数记为密度函数，二维概率密度函数记为F2(x1, x2; t1, t2)。随机过。随机过程的程的n维分布函数和维分布函数和n维概率密度函数的定义与此类似。维概率密度函数的定义与此类似。与随机变量一样，我们也常用统计平均与随机变量一样，我们也常用统计平均(数字特征数字特征)来描画来描画随机过程。最常用的三个统计平均是数学期望、方差和相关随机过程。最常用的三个统计平均是数学期望、方差和相关函数。函数。第

24、章随机信号分析1. 随机过程的数学期望随机过程的数学期望随机过程随机过程X(t)在在t1时辰的取值时辰的取值X(t1)是一个随机变量，此随是一个随机变量，此随机变量能够是离散随机变量也能够是延续随机变量。设其为延机变量能够是离散随机变量也能够是延续随机变量。设其为延续随机变量，根据续随机变量，根据3.2节中数学期望的定义，此随机变量的数学节中数学期望的定义，此随机变量的数学期望为期望为同样，随机过程在同样，随机过程在t2时辰的取值时辰的取值X(t2)也是一个随机变量，此随也是一个随机变量，此随机变量的数学期望为机变量的数学期望为)(d);()(1111111taxtxfxtXE)(d);()(

25、2222122taxtxfxtXE第章随机信号分析由此可以看出，不同时辰对随机过程取值会得到不同的随机变量，它们具有不同的数学期望，即随机过程的数学期望随时间而变化。所以，随机过程X(t)的数学期望的普通表达式为 (3-3-1)它是随机过程在恣意时辰t的取值X(t)所对应的数学期望。假设随机过程恣意时辰的取值X(t)是一个离散随机变量，那么按离散随机变量的方法求数学期望。普通情况下，随机过程的数学期望与时间有关。)(d);()(1taxtxfxtXE第章随机信号分析例3.3.1 有随机过程定义为X(t)=2cos(2t+Y)其中Y是离散随机变量，等概地取两个值Y=0和Y=/2。求(1) 随机过

26、程在时辰t=0.5及t=1.0的数学期望a(0.5)和a(1.0)。(2) 随机过程的数学期望a(t)。第章随机信号分析解 (1) 随机过程X(t)=2 cos(2t+Y)在t=0.5时的值X(0.5)是一个随机变量，即X(0.5)=2 cos(+Y)，此随机变量有两个值，分别为2cos()和2cos(+/2)，概率都为1/2。根据离散随机变量求数学期望的方法求得同理，t=1.0时的取值X(1.0)=2 cos(2+Y)也是一个随机变量，取值为2 cos(2)和2 cos(2+/2)时的概率都是1/2，所以由此可知，随机过程在t=0.5和t=1.0时有不同的数学期望。12cos221cos22

27、1)5 . 0()5 . 0(XEa122cos2212cos221)0 . 1 ()0 . 1 (XEa第章随机信号分析(2) 随机过程恣意时辰的取值X(t)=2cos(2t+Y)也是一个离散随机变量，取值为2cos(2t)和2 cos(2t+/2)，概率都为1/2。所以恣意时辰的数学期望为这是随机过程X(t)=2 cos(2t+Y)在恣意时辰的数学期望。由此可以验证当t=0.5和t=1.0时数学期望分别为-1和1。42cos2 42cos42cos )22cos(2212cos221)()(tttttXEta第章随机信号分析2. 随机过程的方差及自相关函数随机过程的方差及自相关函数都是用数

28、学期望来定义的。随机过程恣意时辰的方差为 (3-3-2)它代表时辰t时的随机变量偏离均值的情况。普通情况下，随机过程的方差也是随时间变化的。随机过程自相关函数定义为恣意两个不同时辰所对应的随机变量的相关矩，即 (3-3-3)假设令t2=t1+，那么上式表示为通常情况下，随机过程的自相关函数与时间起点t1及时间间隔有关。)()()()(22ttatXEtXD)()(),(2121tXtXEttR)()(),(1111tXtXEttR第章随机信号分析3.3.3 平稳随机过程平稳随机过程假设随机过程的统计特性与时间的起点无关，即随机过假设随机过程的统计特性与时间的起点无关，即随机过程程X(t)与与X

29、(t+)有一样的统计特性，有一样的统计特性，是恣意的时移，这样的随是恣意的时移，这样的随机过程称为狭义平稳随机过程。机过程称为狭义平稳随机过程。狭义平稳随机过程有如下适用结论：狭义平稳随机过程有如下适用结论：(1)(3-3-4)即平稳随机过程的数学期望不随时间变化，是一个常数。即平稳随机过程的数学期望不随时间变化，是一个常数。(2) (3-3-5)即平稳随机过程的方差与时间无关，也是一个常数。即平稳随机过程的方差与时间无关，也是一个常数。atatatXEtXE)()()()(222)()()()(tttXDtXD第章随机信号分析(3) (3-3-6)即平稳随机过程恣意两个时辰所对应的随机变量之

30、间的相关函数，只与时间间隔有关，与时间起点无关。只需时间间隔一样，它们之间的相关程度也是相等的。例如：当t1-t2=t3-t4时， EX(t1)X(t2)=EX(t3)X(t4)。在实践运用中，经常将满足式(3-3-4)、(3-3-5)及(3-3-6)的随机过程称为广义平稳随机过程。需求留意的是，狭义平稳随机过程一定是广义平稳随机过程，而广义平稳随机过程不一定是狭义平稳随机过程。以后如不特别阐明，平稳随机过程都是指广义平稳随机过程。)()(),( )()()()(),(2121212121RttRttRtXtXEtXtXEttR第章随机信号分析例3.3.2 调查随机过程X(t)=A cos(2

31、Fct+)的平稳性。其中，A、 Fc是常数，相位是在区间 (-, )上均匀分布的随机变量。解 根据随机过程数学期望的定义求出X(t)=A cos(2Fct+)的数学期望a(t)为0 21sin2sin21.cos2Acos sin2sincos2Acos sin2sincos2cos )2cos()()(ccccccdtfAdtftEfAtEftftfAEtfAEtXEtac第章随机信号分析 根据随机过程自相关函数的定义求出X(t)=A cos(2Fct+)的自相关函数R(t1, t2)为可见，随机过程X(t)=A cos(2Fct+)的数学期望与时间无关，自相关函数只与时间间隔有关。所以此随

32、机过程是广义平稳随机过程。)(2cos.2A)(2cos.2 )(2cos2A21)222cos(.2 )(2cos)222cos(2 )2cos()2cos()()(),(c221c221c22c1c221c2c1c22c1c2121RfttfAttfdtftfAttftftfEAtfAtfAEtXtXEttR第章随机信号分析满足式(3-3-4)和式(3-3-6)的随机过程一定满足式(3-3-5)，这是由于方差与数学期望及自相关函数之间有如下关系：(3.3.7)()()()(2)()()(2)( )()()(2)()()()(22222222t-at,tR tataX(t)X(t)E tat

33、XEta-tXE tatXtatXEtatXEtXD第章随机信号分析当随机过程的数学期望与时间无关，自相关函数只与时间间隔有关时，方差为 (3-3-8)显然方差与时间无关，是个常数。例3.3.2中，方差为2(t)=R(0)-a2=A2/2。所以验证一个随机过程是不是平稳时，只需验证数学期望和自相关函数能否满足要求就可以了。22)0()(aRtXD第章随机信号分析3.3.4 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度由于随机过程不是周期函数，因此无法用傅氏级数来表示由于随机过程不是周期函数，因此无法用傅氏级数来表示它。同时，随机过程的继续时间无限长，其能量为无穷大，所它。同时，随机过程的继

34、续时间无限长，其能量为无穷大，所以也无法用频谱或能量谱来描画它。但它的平均功率是个有限以也无法用频谱或能量谱来描画它。但它的平均功率是个有限值，因此我们可以求出它的功率谱。由数学推导可知，平稳随值，因此我们可以求出它的功率谱。由数学推导可知，平稳随机过程的功率谱密度机过程的功率谱密度P(F)完全由自相关函数完全由自相关函数R()决议，它们之决议，它们之间是一对傅氏变换，关系如下：间是一对傅氏变换，关系如下：(3-3-9) (3-3-10)de )()(2 jfRfPffPRfde )()(2 j第章随机信号分析 式(3-3-9)、(3-3-10)称为维纳-辛钦定理，它有着很重要的实际与实践运用

35、价值。它表示：随机过程的功率谱密度等于自相关函数的傅氏变换，自相关函数等于功率谱的傅氏反变换。由此可知，随机过程的功率谱或自相关函数中只需知道其中的一个，利用维纳-辛钦定理即可求得另一个。第章随机信号分析自相关函数是平稳随机过程的一个重要概念，它不仅在时域描画随机过程，而且经过对它的傅氏变换，还能反映平稳随机过程的频域特性。下面再对平稳随机过程作较深化的认识。(1) 由式(3-3-10)可知可见，R(0)等于平稳随机过程的平均功率。由式(3-3-7)、(3-3-8)可知其中，2是平稳随机过程的交流功率，a2是平稳随机过程的直流功率。上式阐明平均功率等于交流功率和直流功率之和。ffPRd)()0

36、(222)()0(atXER第章随机信号分析(2) 平稳随机过程的自相关函数R()是个偶函数。由R()的定义很容易得到令t=t+代入上式，得)()( )()()(tXtXEtXtXER)()()()(RtXtXER第章随机信号分析(3) R()=a2。根据R()的定义有X(t)与X(t)是相距无穷远的两个随机变量，它们之间的取值毫无相关性，可以将它们看做相互独立的随机变量，因此有由上分析可见，根据平稳随机过程的自相关函数R()，可求出平稳随机过程的功率谱密度函数、平均功率、直流功率及交流功率。)()()(tXtXER2 )()()()()(aaatXEtXEtXtXER第章随机信号分析例3.3

37、.3 标题同例3.3.2。求此随机过程的功率谱密度和平均功率。解 由例3.3.2得自相关函数，由式(3-3-9)得功率谱密度函数为c22cos2)(fAR)()(4)()(2ccffffARFfP第章随机信号分析对功率谱密度函数积分即可得平均功率，即平均功率也可从很方便地求出，即可见，两种方法得到的结果完全一样。244 d)()(4d)(2222AAAfffffAffPPccc22cos.2)(fAR20cos202cos2)0(22c2AAfAR第章随机信号分析例3.3.4 有随机过程Xc(t)=AX(t) cos(2Fct+)，其中X(t)是一个零均值的平稳随机过程，自相关函数为RX()，

38、功率谱密度函数为PX(F)。 A、 Fc是常数，相位是在区间(-, )上均匀分布的随机变量。 X(t)与相互统计独立。(1) 证明Xc(t)是广义平稳随机过程。(2) 求Xc(t)的功率谱密度函数。第章随机信号分析解 (1) X(t)与相互统计独立，且EX(t)=0。0 )2cos().( )2cos()()(ccctfEtAXEtftAXEtXE第章随机信号分析(2) 由于Ecos(4Fct+2Fc+2)=0，随机过程Xc(t)=AX(t) cos(2Fct+)的均值和自相关函数都不依赖于时间t，所以Xc(t)是广义平稳的。)( 2cos)(2 )224cos(2cos)()(2 )22co

39、s()()2cos()( )()(),(ccc2ccc2cccccXXXRfRAftffEtXtXEAftftAXtftAXEtXtXEttR第章随机信号分析对自相关函数做傅氏变换即可得到Xc(t)的功率谱密度函数。c22cos)(2)(cfRARXX)(cfPX)()(4 )()(21)(2 2cos)(2)()(cc2cc2c2ccffPffPAfffffPAfRFARFfPXXXXXX第章随机信号分析3.4 随机过程经过线性系统随机过程经过线性系统我们知道，随机过程是以某一概率出现的我们知道，随机过程是以某一概率出现的样本函数的全体。因此，随机过程输入到线性样本函数的全体。因此，随机过程

40、输入到线性系统可以了解为随机过程的某一样本函数输入系统可以了解为随机过程的某一样本函数输入到线性系统。由于随机过程的样本函数是时间到线性系统。由于随机过程的样本函数是时间确实定函数，因此我们完全可以用确知信号经确实定函数，因此我们完全可以用确知信号经过线性系统的分析方法来求得随机过程经过线过线性系统的分析方法来求得随机过程经过线性系统时的输出。设加到线性系统输入端的是性系统时的输出。设加到线性系统输入端的是随机过程随机过程X(t)的某一样本函数的某一样本函数x(t)，系统相应的，系统相应的输出为输出为y(t)，那么有，那么有uuthuxduuhutxthtxtyd)()( )()()()()(

41、3-4-1) 第章随机信号分析其中，h(t)为线性系统的冲激呼应，与系统传输特性H(F)之间的关系如下：tethfHftd)()(2 j第章随机信号分析由于输入随机过程有很多能够的样本函数x(t)，不同的输入样本函数x(t)对应不同的输出样本函数y(t)，因此，当线性系统的输入是随机过程时，它的输出也是由很多样本函数组成的一个随机过程，我们将此输出随机过程记为Y(t)。 Y(t)与输入随机过程X(t)的普通表达式为uuthuXuuhutXthtXtYd)()( d)()()()()(3-4-3) 第章随机信号分析有了输出随机过程Y(t)的表达式后，在知输入随机过程X(t)的条件下求出Y(t)的

42、均值、自相关函数及功率谱等数字特征，就可以讨论输出随机过程的平稳性。本节主要讨论当输入X(t)为平稳随机过程时，输出随机过程Y(t)的一些特性。由此得到的结论主要用于通讯系统抗噪声性能的分析。讨论时，设EX(t)=aX, EX(t)X(t+)=RX()。第章随机信号分析3.4.1 输出随机过程输出随机过程Y(t)的数学期望的数学期望输出随机过程输出随机过程Y(t)的数学期望为的数学期望为uuhutXEuuhutXEtYEd)()( d)()()(第章随机信号分析由于EX(t-u)=aX，由式(3-4-2)得因此(3-4-4) 由此可见，当输入随机过程的数学期望为常数时，线性系统输出随机过程的数

43、学期望也是常数。uuhtthtthHfd)(d)(de )()0(02 j)0(d)( d)()()(HauuhauuhutXEtYEXX第章随机信号分析3.4.2 输出随机过程输出随机过程Y(t)的自相关函数的自相关函数为了求得为了求得Y(t)的自相关函数，让我们首先求出的自相关函数，让我们首先求出X(t)与与Y(t)的的相互关函数相互关函数RXY()。相互关函数相互关函数RXY()只与时间间隔只与时间间隔有关，它等于有关，它等于RX()与与h()的的卷积。卷积。)()(d)()(d)()()(d)()()()()()(hRuuhuRuuhutXtXEuuhutXtXEtYtXERXXXY(

44、3-4-5) 第章随机信号分析如今来求自相关函数RY()。)()( d)()( d)()()( )(d)()( )()(),(hRuuhuRuuhtYutXEtYuuhutXEtYtYEtRXYXYY(3-4-6)第章随机信号分析结合式(3-4-5)及式(3-4-6)得到(3-4-7)由此可得，当输入随机过程X(t)平稳时，输出随机过程的自相关函数只与时间间隔有关。)()()()(hhRRXY式(3-4-4)与式(3-4-7)阐明，当线性系统的输入为平稳随机过程时，输出随机过程的数学期望是常数，自相关函数与时间起点无关，只依赖于时间间隔。显然，输出随机过程也是平稳的。第章随机信号分析3.4.3

45、 输出随机过程输出随机过程Y(t)的功率谱密度的功率谱密度由式由式(3-4-7)可得可得运用时域卷积定理得运用时域卷积定理得 (3-4-8)其中，。其中，。根据式根据式(3-4-8)，在知输入随机过程功率谱密度，在知输入随机过程功率谱密度PX(F)及系统及系统传输特性传输特性H(F)时，可求出输出随机过程的功率谱密度时，可求出输出随机过程的功率谱密度PY(F)。)()()()()(hhRFRFfPXYY2)()( )(*)()( )()()()(fHfPfHfHfPhFhFRFfPXXXY)()(),()(),()(hFfHhFfHRFfPXX第章随机信号分析例3.4.1 平稳随机过程X(t)

46、输入到一个RC低通网络，X(t)的均值为0，自相关函数RX()=exp(-|)。求输出随机过程的均值、方差、功率谱密度及自相关函数。解 RC低通网络的传输特性如下其中，=1/(RC)。fRCffH2 j2 j11)(第章随机信号分析根据式(3-4-4)可求得输出随机过程均值(数学期望)为由于EX(t)=0，由知条件可求得输入随机过程的功率谱密度函数PX(F)为0)()0()(tXEHtYEaY22)2(2)()(fRFfPXX根据式(3-4-8)求得输出随机过程的功率谱密度PY(F)为222222)2( )2(2)()()(fffHfPfPXY第章随机信号分析又由于，平稳随机过程的功率谱密度与

47、自相关函数是一对傅氏变换，所以由输出随机过程的功率谱密度可求得其自相关函数RY()为221221222212222211)2()2( )2()2( )2()2(2)()(fBFfAFfBfAFffFfPFR-YY式中，2222222,2BA第章随机信号分析利用第2章中给出的傅氏变换对，得到输出随机过程的方差 )exp()exp()(22222YR0)0(22YYaR第章随机信号分析例3.4.2 设线性系统的输入为X(t), 输出为Y(t)=X(t+a)-X(t-a),知X(t)是平稳随机过程，自相关函数为RX()。试证明：(1) (2) )2()2()(2)(aRaRRRXXXY)2(sin)

48、(4)(2affPfPXY解 (1) 根据自相关函数的定义，得)2()2()(2 )()2()2()( )()()()( )()()()( )()()()( )()()()( )()()()( )()()(aRaRRRaRaRRatXatXEatXatXEatXatXEatXatXEatXatXatXatXatXatXatXatXEatXatXatXatXEtYtYERXXXXXXXY第章随机信号分析(2) 对RY()求傅氏变换得Y(t)的功率谱密度为)4cos1)(2 4cos)(2)(2 4sinj4cos 4sinj4)cos()(2 )()()(2 )2()2()(2 )2()2()(

49、2 )()(2 .2 j2 .2 jfafPfafPfPfafafafafPfPefPefPfPaRFaRFRFaRaRRFRFfPXXXXXafXafXXXXXXXXYY第章随机信号分析由三角公式得)2cos1 (21sin2AAfafPfPXY2sin)(4)(2第章随机信号分析将式(3-4-3)所表示的输出随机过程Y(t)改写成求和方式00)()(lim)(nnnnuuuhutXtY(3-4-9) 3.4.4 输出随机过程的概率分布输出随机过程的概率分布第章随机信号分析当输入X(t)为平稳高斯随机过程时，X(t-un)是t-un时辰对随机过程X(t)的取值，是一个高斯分布的随机变量，X(

50、t-un)乘以常数h(un)un后依然为高斯随机变量，只是均值和方差有所改动。因此，式 (3-4-9)中X(t-un)h(un)un的每一项都是高斯随机变量。所以，输出随机过程Y(t)在任一时辰上的取值将是无穷多个高斯随机变量之和。经过数学方法可以证明，两个高斯随机变量之和依然为高斯随机变量。即当X1与X2为高斯随机变量时，Y=X1+X2也为高斯随机变量，其均值为a1+a2，方差为。其中, a1、 a2和、 分别是X1和X2的均值与方差，12为X1和X2的相关系数。进而得到这样的结论：无穷多个高斯随机变量之和依然为高斯随机变量。所以，平稳高斯随机过程经过线性系统后依然为平稳高斯随机过程。222

51、112212122第章随机信号分析3.5 通讯系统中的噪声通讯系统中的噪声3.5.1 噪声的分类噪声的分类1. 人为噪声和自然噪声人为噪声和自然噪声按噪声的不同来源可将噪声分为人为按噪声的不同来源可将噪声分为人为噪声和自然噪声两种。人为噪声是指各种噪声和自然噪声两种。人为噪声是指各种电气设备、汽车的火花塞所产生的火花放电气设备、汽车的火花塞所产生的火花放电，高压输电线路的电晕放电，以及临近电，高压输电线路的电晕放电，以及临近电台信号的干扰等。自然噪声包括大气产电台信号的干扰等。自然噪声包括大气产生的噪声，天体辐射的电磁波所构成的宇生的噪声，天体辐射的电磁波所构成的宇宙噪声，以及通讯设备内部电路

52、产生的热宙噪声，以及通讯设备内部电路产生的热噪声和散弹噪声等。噪声和散弹噪声等。第章随机信号分析2. 高斯分布噪声和非高斯分布噪声按噪声幅度瞬时值的概率分布可将噪声分成高斯噪声和非高斯噪声两种。幅度瞬时值服从高斯分布的噪声称为高斯噪声，否那么称为非高斯噪声。3. 白噪声和有色噪声按噪声功率谱可将噪声分成白噪声和有色噪声两种。假设噪声的功率谱在很大频率范围内是个常数，那么称此噪声为白噪声，否那么称为有色噪声。第章随机信号分析4. 加性噪声和乘性噪声加性噪声和乘性噪声按噪声对信号作用的方式可将噪声分成加性噪声和乘性噪按噪声对信号作用的方式可将噪声分成加性噪声和乘性噪声两种。假设噪声与信号是相加关系

53、，那么称此噪声为加性噪声两种。假设噪声与信号是相加关系，那么称此噪声为加性噪声，如声，如s(t)是信号，是信号，n(t)是噪声，那么接纳波形是是噪声，那么接纳波形是s(t)+n(t)。假。假设噪声对信号的影响是以相乘方式出现的，那么称此噪声为乘设噪声对信号的影响是以相乘方式出现的，那么称此噪声为乘性噪声，如接纳波形为性噪声，如接纳波形为s(t)n(t)。经过对通讯系统的精心设计，许多噪声是可以消除或部分经过对通讯系统的精心设计，许多噪声是可以消除或部分消除的，但仍有一些噪声无法防止。电路内部电子运动产生的消除的，但仍有一些噪声无法防止。电路内部电子运动产生的热噪声和散弹噪声，以及宇宙噪声就是对

54、通讯系统有较大的继热噪声和散弹噪声，以及宇宙噪声就是对通讯系统有较大的继续影响的噪声，有时统称这些噪声为起伏噪声。起伏噪声是加续影响的噪声，有时统称这些噪声为起伏噪声。起伏噪声是加性噪声，经过采用适当的调制技术可以将它的影响降低到最小性噪声，经过采用适当的调制技术可以将它的影响降低到最小程度。程度。第章随机信号分析3.5.2 白噪声白噪声起伏噪声是影响通讯系统性能的主要噪声。热噪声、起伏噪声是影响通讯系统性能的主要噪声。热噪声、散弹噪声和宇宙噪声虽然构成的机理不同，但却有一些共散弹噪声和宇宙噪声虽然构成的机理不同，但却有一些共同的特点，那就是它们的幅度瞬时值都服从高斯分布，均同的特点，那就是它

55、们的幅度瞬时值都服从高斯分布，均值都为值都为0，且在相当宽的频率范围，且在相当宽的频率范围(如如1012Hz)内都具有平内都具有平坦的功率谱密度，如图坦的功率谱密度，如图3.5.1(a)所示，其功率谱表达式为所示，其功率谱表达式为 W/Hz2)(0nfPn(3- 5-1)第章随机信号分析用n0/2表示双边功率谱密度，相应地，n0就表示单边功率谱密度，如图3.5.1(b)所示。具有平坦功率谱密度的噪声称为白噪声。所以通讯系统中的起伏噪声是零均值高斯白噪声。在后面通讯系统抗噪声性能的分析中，都假设信道中的噪声是均值为0的加性高斯白噪声(Additive White Gassian Noise，缩写

56、为AWGN)。显然，这种假设是合理的。第章随机信号分析白噪声的自相关函数Rn()是功率谱密度的傅氏反变换，为(3-5-2)如图3.5.1(c)所示。显而易见，当0时，。这一结果的物理意义是：白噪声恣意两个不同时辰的瞬时值之间是不相关的。假设白噪声服从高斯分布，我们称其为高斯白噪声，此时恣意两个不同时辰的瞬时值之间也是独立的。)(2)()(01nfPFRnn0)(2)(0nRn第章随机信号分析图3.5.1 白噪声的功率谱密度及自相关函数第章随机信号分析3.5.3 低通型白噪声低通型白噪声白噪声经过理想低通滤波器后得到的噪声称为低通型白噪白噪声经过理想低通滤波器后得到的噪声称为低通型白噪声。设理想

57、低通滤波器的传输特性为声。设理想低通滤波器的传输特性为根据随机过程经过线性系统后的功率谱公式，白噪声输入根据随机过程经过线性系统后的功率谱公式，白噪声输入到低通滤波器后，低通滤波器输出端噪声的功率谱为到低通滤波器后，低通滤波器输出端噪声的功率谱为 (3-5-3)如图如图3.5.2所示。所示。Bf Bf fH01)(Bf Bf nfHnfHfPfPnY02)(2)()()(0202第章随机信号分析图3.5.2 白噪声经过低通滤波器第章随机信号分析对式(3-5-3)所示的功率谱密度求积分，可得到低通滤波器输出端的噪声功率。当白噪声的均值为零时，噪声功率与方差是一样的，此时低通型白噪声的方差为2nB

58、nnBfndffPBBYYn0002222d2)(第章随机信号分析对式(3-5-3)所示的功率谱密度求傅氏反变换，可得低通型白噪声的自相关函数RY()为)2(2)2sin(de2de )()()(002 j02 j1BBSnBBBnfnffPfPFRaBBffYYY(3-5-4) 第章随机信号分析自相关函数RY()的波形如图3.5.3所示。它是Sa(x)函数，有等间隔的零点。当=k/2B(k=1, 2, 3, )时， RY()=0。这个结论的物理意义是：低通白噪声上间隔为=k/2B(k=1, 2, 3, )的两个瞬时值之间是不相关的，假设白噪声是高斯分布的，那么这两个瞬时值也是相互独立的。第章

59、随机信号分析图3.5.3 低通型白噪声的自相关函数第章随机信号分析3.5.4 带通型白噪声及窄带高斯噪声带通型白噪声及窄带高斯噪声1. 带通型白噪声带通型白噪声白噪声经过理想带通滤波器后的输出噪声称为带通型白噪白噪声经过理想带通滤波器后的输出噪声称为带通型白噪声。设理想带通滤波器的中心频率为声。设理想带通滤波器的中心频率为Fc，带宽为，带宽为B，传输特性，传输特性为为那么带通型白噪声的功率谱密度那么带通型白噪声的功率谱密度PY(F)为为如图如图3.5.4所示。所示。其它 022 1)(ccBffBffH其它 022 2)(cc0BffBfnfPY第章随机信号分析图3.5.4 白噪声经过带通滤波

60、器第章随机信号分析噪声方差为2nBnfnffPBfBfYn02/2/02d22d)(cc第章随机信号分析带通型白噪声的自相关函数RY()为如图3.5.4(d)所示。带通型白噪声的自相关函数是以n0BSa(B)为包络，再填进频率为Fc的载波组成。由图可见，使RY()=0的值很多，以这样的为间隔对带通型白噪声取值，所得到的两个值是不相关的，当白噪声为高斯分布时，这两个值之间也是独立的。c02 j2/2/02 j2/2/02 j2cos)( de2de2 de )()(ccfBBSnfnfnffPRafBfBffBfBffYYcc第章随机信号分析2. 窄带高斯噪声当带通滤波器为窄带滤波器，即BFc，