复变函数第16讲

1、15.2 5.2 解析函数的孤立奇点解析函数的孤立奇点1 1、孤立奇点的分、孤立奇点的分类及性质类及性质2 2、施瓦兹引理、施瓦兹引理3 3、皮卡定理、皮卡定理21 1、孤立奇点的定义、孤立奇点的定义定义定义1 1.)(,0,)(0000的孤立奇点的孤立奇点为为则称则称内解析内解析的某个去心邻域的某个去心邻域但在但在处不解析处不解析在在若若zfzzzzzzfd d - - 例如例如1( )zfze 1( )1sinf zz 1( )1fzz - -奇奇点点0z 孤立奇点孤立奇点奇奇点点1z 0,z 奇奇点点1(1,2,)znn 3奇点未必奇点未必是孤立的是孤立的.1lim0,0,( )nznf

2、 z 但但在在不不论论多多么么小小的的去去心心邻邻域域内内 总总有有的的奇奇点点存存在在，10.sin1 /zz 故故不不是是的的孤孤立立奇奇点点 若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点. .2 2、孤立奇点的分类、孤立奇点的分类000( )0,( )0|.( )0|zf zf zzzf zzzd dd dd d - - - - 若若为为的的孤孤立立奇奇点点，则则存存在在在在内内解解析析 于于是是在在内内可可以以展展开开成成洛洛朗朗级级数数00001()()() .(1)nnnnnnnnnc zzc zzczz - - - - - - - -

3、- - - 注注42.1 可去奇点：可去奇点：展式中不含展式中不含z-z0负幂项负幂项，即，即,|0,)()()1(000d - - - - zzzzczfnnn.)!12()1(! 5! 31sin242 - - - - - - nzzzzznn0z 是是它它的的可可去去奇奇点点. .;)(0的的可可去去奇奇点点称称为为则则zfz特点特点?211coszezzz- - -和和的的可可去去奇奇点点是是“可去可去”一词一词的解释的解释?sinzz：0.z 52.2 极点：极点：展式中仅含有有限多个展式中仅含有有限多个z-z0负幂项负幂项，即，即01z 是是它它的的 级级极极点点或或者者称称为为单

4、单极极点点. .;)(0级级极极点点的的称称为为则则mzfz特点特点?211()zz - -的的极极点点是是),1, 0()()()2(0 - - - - - - mczzczfmmnnn.!211!110 - - nzzznzzzennnz:zez01.zz和和62.3 本性奇点：本性奇点：展式中含有无穷多个展式中含有无穷多个z-z0 0负幂项负幂项, ,0z 是是 它它 的的 本本 性性 奇奇 点点 . .)(0的的本本性性奇奇点点称称为为则则zfz特点特点?1sinz的的本本性性奇奇点点是是.!1!211211 - - - -nznzzez1:ze0.z 73 3、 函数在孤立奇点的性质

5、函数在孤立奇点的性质0( )( )if zz在在点点的的主主要要部部分分为为零零；若若z0为为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价：的孤立奇点，则下列条件等价：000( ) lim( )();zziif zcc 为为常常数数0()( ).iiif zz在在点点 的的某某去去心心邻邻域域内内有有界界性质性质1 1（可去奇点的判定定理可去奇点的判定定理）证：只须证证：只须证显然显然( )( ),( )(),()( )iiiiiiiiiiii( )( ):iii( )():iiiii由极限定义即可由极限定义即可()( ):iiii000( )|f zzzzd d-设设在在点点 的的某某去去心心邻

6、邻域域00( )()nnnf zczz - 80( )Mf zz内内以以为为界界，在在点点 的的主主要要部部分分为为122000,()()nnccczzzzzz- -其中其中1011 22( ), ,()nncf zcdz nizz - - - - - 00| -|,.Cz zrrd d这这里里 为为圆圆周周由于由于1122| ,nnnMcrMrr - - - 0.nrc- - 由由于于 为为任任意意小小的的正正数数，故故证证毕毕90( )( )( )()mh zii f zzz - -性质性质2（m级极点的特征级极点的特征）010001( )( )(,).()mmmifzzcccmzzzz-

7、 - - - - - -在在 点点的的 主主 要要 部部 分分 为为000( ( )().h zzh z 在在解解析析，若若 为为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价的孤立奇点，则下列条件等价 ：0z证：证：( )( )iii去心去心邻域邻域0( )f zz若若在在 的的某某去去心心邻邻域域内内有有101000( )()()mmccf zcc zzzzzz- - -10( )( ):iii0( )h zz将将在在 的的某某一一邻邻域域内内展展成成泰泰勒勒级级数数，得得2000002()( )()()()()!hzh zh zh zzzzz-则则000100()()()()( )()()!m

8、mmh zh zhzf zzzzzm- -422)1)(1(2)(- - zzzzf例如：例如：为为f (z)的一个的一个4级极点，级极点，1z zi 为为f (z)的单极点的单极点. .11注意：注意：在判断孤立奇点类型时，不要一看在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数的表面形式就急于作出结论到函数的表面形式就急于作出结论. 例如例如 利用洛朗展式容易知道，利用洛朗展式容易知道，z=0分别是它们的单极分别是它们的单极点，可去奇点，点，可去奇点，2 2级极点级极点. .1cos)(;sin)(;1)(433221zzzfzzzzfzezfz- - - - - - 性质性质3若若z0为为f (z)

9、的孤立奇点，则的孤立奇点，则z0为为f (z)的极点的充要条件是的极点的充要条件是0lim( ).zzf z 在判断函数的极点时，请比较性质在判断函数的极点时，请比较性质2和性质和性质3.0( )zf zm若若 是是的的级级零零点点，则则性质性质501.( )zmf z是是的的级级极极点点)()()(0zzzzfm- - 分析分析),()()(:)(1)(1)(1000zzzzzhzzzzfmm - - - - 13001 ( )( )( )( )( )zf zg zmzf zgnzmn若若 分分别别是是和和的的级级和和 级级零零点点，则则是是的的级级零零点点；02( )( )/( ).mnz

10、f zg znm-当当时时， 是是的的级级极极点点，设设23)1(sin)1()(- - zezzzzf例如，例如，321()zze - -04( ).zf z 为为的的 级级极极点点0,( )/ ( ).mnzf zg z 若若则则 是是的的可可去去奇奇点点或或解解析析点点1()sinzz 0z 15性质性质6 6 （极点的运算性质极点的运算性质）140( )lim( ).zzf zf z 的的洛洛朗朗级级数数有有无无穷穷多多项项负负幂幂次次项项不不存存在在，也也不不为为性质性质7z0为为 f (z) 的本性奇点的本性奇点注注：在求复变函数的极限时，也有同实：在求复变函数的极限时，也有同实函

11、数类似的函数类似的罗必塔法则罗必塔法则.，则，则数，且数，且两个不恒为零的解析函两个不恒为零的解析函和和若若0)()()()(00 zgzfzgzf. )()( )( lim)()(lim00 或或者者两两端端都都为为zgzfzgzfzzzz由性质由性质1 1和性质和性质3 3，得，得1( )( )azf z 若若 不不是是的的本本性性奇奇点点 定理定理5.7 若若z=a为为f(z)之一本性奇点之一本性奇点,且在点且在点a的充分小去心邻域内不为零的充分小去心邻域内不为零,则则z=a亦必为亦必为)(zf1的本性奇点的本性奇点.证证 （反证法）（反证法）若若z=a为为 (z)的可去奇点的可去奇点(

12、解析点解析点),都与假设都与假设若若z=a为为 (z)的极点的极点a为为f(z)的可去奇点的可去奇点)()(limbzaz00bba为为f(z)的可去奇点的可去奇点a为为f(z)的极点的极点)(limzaz0)(limzfaz矛盾！矛盾！16.练练习习：考考察察下下列列函函数数的的孤孤立立奇奇点点，奇奇点点类类型型，如如果果是是极极点点，指指出出它它的的级级数数241111122311( );( );( )sin;zzezzzez- -答：答：10( ) 3z 是是 级级极极点点；20z （ ）是是可可去去奇奇点点；31z （ ）本本性性奇奇点点；43zk （ ）是是 级级极极点点；5012,

13、3,1zzkk （ ）级级级级点点, ,是是 级级极极点点；60z （ ）可可去去奇奇点点。232114561cos()( );( );( ).sin()sinsinzzzezezzezzz- -17性质性质8 8 (Weierstrass)定理定理00( )(),nzf zAzz若若 是是的的本本性性奇奇点点，则则对对任任何何常常数数有有限限或或者者无无限限 ，必必存存在在一一个个收收敛敛于于 的的点点列列使使得得lim()nnf zA 例如：例如：1( ),zf ze ()A 对对任任意意的的非非零零也也非非1012,lnnznAn i 0z 本性奇点本性奇点0()nzn 2ln()An

14、inf zeA 1nzn - -0(),();nf zn 1,(),().nnzf znn 点点).根据前面根据前面(1)段的结果段的结果,必定有一个趋向必定有一个趋向a的点的点列列zn存在存在,使得使得可能有这种情形发生可能有这种情形发生,在点在点a的任意小的邻域内有这样的任意小的邻域内有这样一点一点z存在存在,使使f(z)=A.定理得证定理得证 .)(limAzfnazn.A 否则否则,a必为必为f(z)的可去奇点的可去奇点.Azfz-)()(1.这样这样,由定理由定理5.7,函数函数lim().nnzaz 在在K-a内解析内解析,且以且以a为本为本性奇点性奇点(因因a为为f(z)的本性奇

15、的本性奇由此推出由此推出因此因此,我们可以假定我们可以假定,在点在点a的充分小去心邻域的充分小去心邻域K-a内内f(z)A证证 (1) 在在 A的情形的情形,定理是正确的定理是正确的.因为函因为函数数f(z)的模在的模在a的任何去心邻域内都是无界的的任何去心邻域内都是无界的. (2)现在设现在设 定理定理5.9(毕卡毕卡(大大)定理定理) 如果如果a为为f(z)的本的本性奇点性奇点,则对于每一个则对于每一个A,除掉可能一个值除掉可能一个值A=A0外外,必有趋于必有趋于a的无限点列的无限点列zn使使f(zn)=A (n=1,2,). 席瓦尔兹席瓦尔兹(Schwarz)引理引理 如果函数如果函数f

16、(z)在在单位圆单位圆|z|1内解析内解析,并且满足条件并且满足条件 f(0)=0, |f(z)|1 (|z|1),则在单位圆则在单位圆|z|1内恒有内恒有|f(z)|z|,且有且有 |f /(0)|1.5.2.4 Schwarz引理引理如果上式等号成立如果上式等号成立,或在圆或在圆|z|1内一点内一点z00处前一式等号成立处前一式等号成立,则则(当且仅当当且仅当)其中其中为一实常数为一实常数.),|(|)(1zzezfi 证证 设设2121( )(|).f zc zc zz120( )( )(),fzzcc zzz 100( )( )cf 10( )maxmax| | |()|( )|f zzrzrzrzz01| ( )|.z 001|( )| | ( )|f 0001()| ( )| |,f zzz 让让r1即得即得00z 于是于是,且当且当时时,有有即即00|( )| |.f zz 如果这些关系