复数和复变函数

1、离散数学离散数学1授课老师授课老师: :杨逢建杨逢建基本情况基本情况: :百度百度 杨逢建杨逢建离散数学离散数学2授课人：授课人： 杨逢建杨逢建答疑时间：答疑时间：星期一星期一 1414：30301616：30 30 星期三星期三 1414：30301616：3030 答疑地点：答疑地点：基础部（综合楼基础部（综合楼414414）联系电话：联系电话：0200208781799887817998 1810271886018102718860E-MAILE-MAIL： 课件下载地址：课件下载地址：4040 基础部基础部课程代码课程代码：L

2、L2004 LL2004 学分：学分：2 23教材教材复变函数与积分变换，华中科技大学数学与统计学院，复变函数与积分变换，华中科技大学数学与统计学院，高等教育出版社高等教育出版社 (ISBN 978-7-04-038606-6)(ISBN 978-7-04-038606-6)参考书参考书复变函数，复变函数，王王绵森主绵森主编，编，高等教育出版社（高等教育出版社（ISBN 978-ISBN 978-7-7-0404- -023891023891- -4 4）积分变换，张元林编，高等教育出版社（积分变换，张元林编，高等教育出版社（ISBN 978-7-ISBN 978-7-04-012955-70

3、4-012955-7）课堂上使用的课件等资料，在课后放到网上供学生浏课堂上使用的课件等资料，在课后放到网上供学生浏览学习。览学习。离散数学离散数学4一、课前预习，一、课前预习， 按时上课；按时上课；二、集中精力，二、集中精力， 手脑并用；手脑并用；三、课后复习，三、课后复习， 完成作业。完成作业。学习本课程的具体要求学习本课程的具体要求5上课要求：上课要求：不准迟到、早退；不准迟到、早退；不准吃东西；不准吃东西；不准玩手机；不准玩手机；不准交头接耳讲话；不准交头接耳讲话；不准穿拖鞋；不准穿拖鞋；不准睡觉；不准睡觉；原则上不准请假，有要事可原则上不准请假，有要事可事先事先在老师的准在老师的准许下

4、许下进行进行调课调课，否则均为否则均为旷课旷课。6考核内容考核内容要求要求分数分数 比例比例考勤考勤准时到课堂，不影响其他人，准时到课堂，不影响其他人，准时离开课堂。准时离开课堂。101010%10%课堂提问、课堂提问、练习、小测练习、小测满分为满分为5 5分，期末取平均值。分，期末取平均值。 5 55 5% %作业作业独立、认真、正确、按时。独立、认真、正确、按时。151515%15%期末考试期末考试采取闭卷形式考试，主要考采取闭卷形式考试，主要考查学生对本课程知识的掌握查学生对本课程知识的掌握情况。情况。1001007 70%0%离散数学离散数学7 总评说明总评说明: : 凡主动找老师问问

5、题和认真订正作业中的错误者都适当加分。凡主动找老师问问题和认真订正作业中的错误者都适当加分。 平时成绩平时成绩3030分由三部分组成：分由三部分组成： 考勤考勤1010分；课堂表现（平时测验）分；课堂表现（平时测验）5 5分；课后作业分；课后作业1515分。分。 考勤按学院的统一规定考核和记录。迟到和早退考勤按学院的统一规定考核和记录。迟到和早退1515分钟内分钟内为迟到，为迟到，1515分钟以上为旷课，迟到分钟以上为旷课，迟到3 3次等同于旷课次等同于旷课1 1次。登分标次。登分标准是全勤准是全勤1010分，每缺勤一次扣分，每缺勤一次扣10/3410/34分，正式请假并批准的在分，正式请假并

6、批准的在考勤中不扣分；考勤中不扣分； 课后作业是日常检查学生复习、理解、掌握所学知识的主课后作业是日常检查学生复习、理解、掌握所学知识的主要形式，每次批改作业评分标准从高到低分：要形式，每次批改作业评分标准从高到低分：A A、B B、C C、D D、E E 5 5级，每一章作业全部完成后给一个成绩。要求学生独立完成级，每一章作业全部完成后给一个成绩。要求学生独立完成作业，对抄袭的双方予以批评教育，情节严重的适当扣分。作业，对抄袭的双方予以批评教育，情节严重的适当扣分。 离散数学离散数学8 高等院校和任何学术交流都严禁任何方式的抄高等院校和任何学术交流都严禁任何方式的抄袭和作弊行为。学生在考试中

7、有袭和作弊行为。学生在考试中有任何作弊行为任何作弊行为，将根据学院将根据学院学生考试作弊行为处理规定（修学生考试作弊行为处理规定（修订）订）条例由教务处条例由教务处给予处罚给予处罚。 学生作业中，需要引用他人的，必须有明确学生作业中，需要引用他人的，必须有明确的标示。有明确标示的不视为抄袭。如果不同学的标示。有明确标示的不视为抄袭。如果不同学生的作业有生的作业有70%70%以上的内容雷同，或同一段里有以上的内容雷同，或同一段里有70%70%相类似，或连续相类似，或连续3030个中文字词是一样的，视为个中文字词是一样的，视为抄袭。抄袭。抄袭和被抄袭的作业或考试被评为零分抄袭和被抄袭的作业或考试被

8、评为零分。对抄袭和作弊行为的管理对抄袭和作弊行为的管理9910一、复数的概念一、复数的概念1. 虚数单位虚数单位:.,称为虚数单位称为虚数单位引入一个新数引入一个新数为了解方程的需要为了解方程的需要i.1 :2在实数集中无解在实数集中无解方程方程实例实例 x对虚数单位的规定对虚数单位的规定: :; 1)1(2 i.)2(四则运算四则运算样的法则进行样的法则进行可以与实数在一起按同可以与实数在一起按同i11虚数单位的特性虚数单位的特性:; 12 i则则是是正正整整数数一一般般地地，如如果果,n, 14 ni,14iin , 124 ni.34iin 练习练习:设设k为正整数，计算为正整数，计算5

9、243324kiii122. 复数复数:. , 为复数为复数或或我们称我们称对于任意两实数对于任意两实数iyxzyixzyx ( ),( ).ReIm实虚部部部部xzyz ; , 0 , 0 称为纯虚数称为纯虚数时时当当iyzyx . ,0 , 0 xixzy我们把它看作实数我们把它看作实数时时当当 说明：说明：当且仅当当且仅当x=y=0时时, z = 0；当虚部当虚部y0时时, z叫做虚数；叫做虚数；复数集用复数集用C表示表示, 实数集实数集R是是C的真子集的真子集. 例例1 1复复数数取取何何值值时时实实数数,m )43(2mm.)2(;)1(纯虚数纯虚数实数实数是是imm)65(2 解解

10、令令, 432 mmx, 652 mmy, 0,)1( y则则如如果果复复数数是是实实数数. 160652 mmmm或或知知由由, 00,)2( yx且且则则如果复数是纯虚数如果复数是纯虚数. 140432 mmmm或或知知由由.10应舍去应舍去知知但由但由 my. 4 m即只有即只有14二、复数的代数运算二、复数的代数运算, 222111iyxziyxz 设两复数设两复数1. 两复数的和两复数的和（对应相加）（对应相加）:).()(212121yyixxzz 2. 两复数的积两复数的积（利用分配律）（利用分配律）:).()(2112212121yxyxiyyxxzz 3. 两复数的商两复数的

11、商（分母实化）（分母实化）:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 例例2 2 . 的形式的形式将下列复数表示为将下列复数表示为iyx .11)2(;11)1(7iiiiii 解解ii 11)1()1)(1()1(2iii 2)1(2i , i 77)(11iii . i iiii 11)2(iiii)1()1(22 ii 1212)1)(21(ii .2123i 4. 共轭复数共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数. . , zz 共轭的复数记为共轭的复数记为与与. , iyxzi

12、yxz 则则若若例例3 3.的积的积与与计算共轭复数计算共轭复数yixyix 解解)(yixyix 22)(yix .22yx .,的积是一个实数的积是一个实数两个共轭复数两个共轭复数zz结论：17175. 复数的模和共轭复数的性质复数的模和共轭复数的性质 ：11(1) Re(),Im().22i(2) (),(0).(3).(4).(5).zzzzzzzzzwzw zwz wwwwzwwzzzwwzz例例4 解解,43,55 21iziz 设设. 2121 zzzz与与求求iizz435521 )43)(43()43)(55(iiii 25)2015()2015(i .5157i 21 zz

13、.5157i 例例5 解解,131 iiiz 设设.)Im(),Re(zzzz 与与求求iiiz 131 )1)(1()1(3 iiiiiii ,2123i ,21)Im(,23)Re( zz 22)Im()Re(zzzz 222123 .25 2020三、复数的向量表示和复平面三、复数的向量表示和复平面 复数可用点复数可用点z(a,b)表示，也可用由表示，也可用由原点引向点原点引向点z的向量来表示（如图）。的向量来表示（如图）。 用直角坐标系表示复数的平面称为用直角坐标系表示复数的平面称为复平面复平面，x轴叫做轴叫做实轴实轴，y轴叫做轴叫做虚轴虚轴. 实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的

14、点表示纯虚数实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点表示纯虚数. 这种表示方式建立了复数集这种表示方式建立了复数集C C与平与平面向量集之间的一一对应（实数面向量集之间的一一对应（实数0 0与零与零向量对应）向量对应）. . 向量的长度称为向量的长度称为复数复数z的模的模，记为，记为 | |z| |或或r ：220rabz,.ReReReImImImzzzzzzzz 1. 复向量与复平面复向量与复平面:212. 复数的辐角复数的辐角 . Arg , , , 0 zzOPzz记作记作的辐角的辐角称为称为为终边的角的弧度数为终边的角的弧度数的向量的向量以表示以表示以正实轴为始边以正实轴为始边的情

15、况下的情况下在在说明：说明：,0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 1是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果 ).( 2Arg1为任意整数为任意整数kkz , 0 , 0 , zz时时当当特殊地特殊地的全部辐角为的全部辐角为那么那么 z辐角不确定辐角不确定.22辐角主值的定义辐角主值的定义:.arg , Arg , )0( 000zzz 记作记作的主值的主值称为称为的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在, 0 x)2arctan2( xy其中其中辐角的主值辐角的主值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan

16、 xy,2323求求Arg(x+iy)步骤：步骤： 1. 先求出先求出2. 确定点确定点x+iy位于第几象限位于第几象限 arg(i )arctanyxyxArg(i )arg(i )2 ,xyxyk k=0,1,2,. arctanyx若点若点x+iy位于第一、四象限，则位于第一、四象限，则 若点若点x+iy位于第二象限，则位于第二象限，则 arg(i )arctanyxyx若点若点x+iy位于第三象限，则位于第三象限，则 arg(i )arctanyxyx3.24利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin,cos ryrx复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos i

17、rz 复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式,sincos iei 复数可以表示成复数可以表示成 irez 复数的指数表示式复数的指数表示式四、复数的三角表示和复数的方根四、复数的三角表示和复数的方根2525例例7 把复数把复数 表示成三角形式和指数形式表示成三角形式和指数形式. 3i33 12,cos.2r解：解：3i对应的点在第一象限对应的点在第一象限 arg( 3i)63i2 cosisin66 i/63i2e 例例6 计算计算 iez iecosisin1 解：解：26练习练习 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5

18、sin)2(;212)1( iziz解解zr )1(, 4412 , 在第三象限在第三象限因为因为 z122arctan 所以所以 33arctan,65 故三角表示式为故三角表示式为,65sin65cos4 iz指数表示式为指数表示式为.465iez 275cos5sin)2( iz, 1 zr显然显然 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式为故三角表示式为,103sin103cos iz指数表示式为指数表示式为.103iez 28283. 复数乘法的几何意义复数乘法的几何意义 11112222(cosisin),(cosisin).zrzr1211

19、122212121212121 21222(cossin)(cosisin)(coscossinsin)i(sincoscossin)(cos()isin()zzrirr rrr1212iii()12121 2eee.z zrrrr1 21 212rrz zzz1 212Arg()ArgArg .z zzz两个复数相乘：两个复数相乘：积的模等于各复数的模的积；积的模等于各复数的模的积；积的幅角等于这两个复数的幅角积的幅角等于这两个复数的幅角的和的和. 设设 292911121222,ArgArgArg,zzzzzzzz11112222,ArgArgArg .zzzzzzzz两个复数的商的模等于

20、它们模的商，商的幅角两个复数的商的模等于它们模的商，商的幅角等于被除数的幅角与除数的幅角的差等于被除数的幅角与除数的幅角的差. 1 21 212rrz zzz1 212Arg()ArgArg .z zzz基本性质：基本性质： 30304. 复数的乘方与开方复数的乘方与开方i( (cosisin )(cosisin )(cosisin)e.nnnnnnnzrrrnnrnnzzr=1时，得棣莫弗时，得棣莫弗(de Moivre)公式公式 (cosisin )cosisinnnn复数的开方复数的开方 设是设是 已知的复数，已知的复数，n为正整数，则称满足方程为正整数，则称满足方程的所有的复数为的所有

21、的复数为z的的n次方根，并且记为次方根，并且记为 .iezrnznz3131iieennnrie设设0arg z0,2 ,nr nkk=0,1,2,. 02 ,nkrnk=0,1,2,. 记记02 i()e,knnnkkzrk=0,1,2,n-1 0i0ennr2 i0e,knkk=0,1,2,n-1 复数的复数的n次方根是次方根是n个复数，这个复数，这些方根的模都等于这个复数的些方根的模都等于这个复数的模的模的n次算术根，它们的幅角分次算术根，它们的幅角分别等于这个复数的幅角与别等于这个复数的幅角与2 的的0,1,2,n-1倍的和的倍的和的n分之一。分之一。 例例1 1解解,3cos3sin ),31(21 21 iziz已知已知,3sin3cos 1 iz因为因为,6sin6cos2 iz 63sin63cos 21izz所以所以