菱形的性质与判定典型例题

1、菱形的性质与判定典型例题例1如图，在菱形ABCDKE是AB的中点，且DEAB,ABa，求：（1）ABC的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD勺面积.例2已知：如图，在菱形ABCD中,CEAB于E,CFAD于F.求证：AEAF.例3已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC,CD上的一点，DEAF60，BAE18，求CEF的度数.例4如图，已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且ADDF.求证：GH垂直平分CF.例5女口图，ABCD中，AD2AB,E、F在直线CD上，且DECDCF.求证：BEAF.例6如图，在RtABC中，ACB90，E为AB的中点，四边形BCDE是平行四边

2、形求证：AC与DE互相垂直平分参考答案例1分析(1)由E为AB的中点，DEAB，可知DE是AB的垂直平分线，从而ADDB，且ADAB，则ABD是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出.(2)而ACBD,AOOC,利用勾股定理可以求出AC(3)由菱形的对角线互相垂直，可知S-ACBD.2解(1)连结BD四边形ABCD1菱形，ADAB.E是AB的中点，且DEAB，二ADDB.ABD是等边三角形，二DBC也是等边三角形.二ABC602120.(2)v四边形ABCD1菱形，二AC与BD互相垂直平分,111二OB-BD-ABa.222OA,AB2OB2a21 2.3(a)2a，.AC2 22AO-3a(3

3、)菱形ABCD勺面积S11ACBD3aa22-32a.2说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点.例2分析要证明AEAF,可以先证明BEDF,而根据菱形的有关性质不难证明BCEDCF，从而可以证得本题的结论.证明四边形ABCD是菱形，二BCCD,BD，且BECDFC90，二BCEDCF，二BEDF，ABAD，ABBEADDF，AEAF.例3解答：连结AC四边形ABC助菱形，BD60，ABBCCDAD.ABC与CDA为等边三角形.ABAC,BACDBAC60EAF60,BAECAFABEACFAEAFEAF60,EAF为等边三角

4、形.AEF60AECBBAEAEFCEF,601860CEFCEF18说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证ABEACF例4分析由已知条件可证明四边形BGDH是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH垂直平分CF证明：四边形ABCD、BEDF都是长方形DE/BF,AB/CD,DFHBCD90,ADBC四边形BGDH是平行四边形ADDF，二DFBC在厶DFH和厶BCH中DFHBCHDHFBHCDFBCDFHBCH二DHBH,HFHC四边形BGDH是平行四边形HFHC四边形BGDH是菱形GH平分BHD二GH平分FHCGH垂直平分FC.例5分析要证BEAF，关键是要证明四边形ABHG是菱形，然后利用菱形的性质证明结论.证明四边形ABCD是平行四边形AB/CD,ABCD,AG/BH，二1ECDED，二ABED1E在厶ABG和厶EDG中23ABEDABGDEG二AGGDAD2ABAGAB同理：ABBH二AGBHAG/BH四边形ABHG是平行四边形ABBH二四边形ABHG是菱形AFBE.例6分析要证明AC与DE互相垂直平分，只要证明四边形ADCE是菱形所以要连结AD证明在RtABC中，E为AB的