结构动力学之多自由度体系的振动问题

1、COMPANY NAMEm)(xy 结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的频率(frequency)和振型(mode)。 为此，要需要首先分析自由振动。 用刚度法(stiffness method)建立运动方程。根据达朗贝尔原理，考虑质体所产生的惯性力，就将原来的动力问题在形式上转化为静力问题。这样，就可对图示系统的每个自由度列出平衡方程，即系统的运动方程。 11111211222122221200000nnnnnnnnnmykkkymykkkymykkky系统运动方程为：0MyKy上式可简写为： 式中

2、，K，M分别为系统的刚度矩阵、质量矩阵，它们通称为系统的特性矩阵。 无阻尼系统的自由振动方程为：0MyKy设其齐次解为：sin()ytv12Tn 式中：这相当于假定各个质体作简谐振动，且振动的频率和初相角都相同，只是振幅不同。 将式对t微分两次后可得2sin()ytv sin()tv2()0KM把两式代入平衡方程，并消去各项的公因子得，从此条件可以看出： （1）条件中没有v，这就是说初相角可以是任意值； （2）条件给出各质体振幅的齐次代数方程组，说明各个质体需要满足这个关系式；（3）振动时，各质体的振幅不应全为零，要得到各个质体振幅不全为零的解，这就要求振幅 的系数行列式等于零，即20KM频率

3、方程频率方程 解之可得2的n个正实根，从而求出n个频率 12,n 如果把这些频率按由小到大的次序12n排列，即构成所谓频率谱。 其中最小的频率1称为最低自振频率，或称基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振型。 1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某一振型成比例，然后任其自然，则系统就按这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于该振动的一组特解； 2022-4-309 2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后，系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解表为各个特解之和，

4、即1sin()njjjjytv 所以系统的任意振动可以表示为各个主振动的叠加。 例1：质量集中在楼层上， 层间侧移刚度如图。k11=4k/3解：1）求刚度系数：m2mmk3k5kk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5 刚度矩阵K和质量矩阵M：100010002330385052015mMkK11215,03303850522015kmk其中展开得：234222252250解得：1=1.293， 2=6.680， 3=13.027mk0862. 021mk4453. 022mk8685. 023mk2936. 01m

5、k6673. 02mk9319. 032）求频率：代入频率方程： K2 M03）求主振型：振型方程：（K2 M）Y0的后两式： （令Y3i=1）0)3(303)8(5221iiiiiYYY（a）013303850522021iiiiiYY0)3(303)8(5221iiiiiYYY0707. 130370. 65212111293. 11 YYY1569. 0163. 0) 1 (Y0680. 3303320. 62 YYY1227. 1924. 0)2(Y0027.10303027. 55212313027.133YYY1342. 3760. 2)1(Y10.569

6、0.16311.2270.92413.3422.76 Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。由刚度法振幅方程： ( K2 M )Y=0前乘K1=后得： ( I 2 M )Y=0令=1/2 ( M I )Y=0得频率方程： M I =0利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：其展开式是关于的n次代数方程,先求出i再求出频率i 可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的刚度系数方便时用刚度法

7、（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。将i代入 ( M i I )Y(i)=0可求出n个主振型。0)(.)(.)(221122221211212111nnnnnnnnnmmmmmmmmm例2：质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。=1/k11=解：1）求柔度系数：m2mmk3k5k 柔度矩阵和质量矩阵M：100010002941441111mMP=12131P=132=422=4P=113=23=433=912=21,0942442112mmmIM030421523展开得:解之: 1=11.601，2=2.246，3=1.151三个频率为：m1

8、2936. 01m16673. 02m19319. 033）求主振型： （令Y3i=1）将1代入振型方程： （ M 1I）Y0的前两式： 0460. 720160. 921112111YYYY2）求频率：1569. 0163. 0) 1 (Y解得：同理可得第二、第三振型例 3 求图示结构的自振频率及相应的振型。 m1m2EIl/2l/2l/2l/2(a)1112(b)1222(c)m(d)m(e)解: 这是两个自由度的系统，用图乘法求得柔度系数：226121122231536M dsM dslEIEIEI31212213512M MldsEIEI 代入频率方程，并且令得;21331233122

9、33153651203235121536mlm lEIEImlm lEIEI展开行列式得 36212122223 ()44801536(1536)()lmmm m lEIEI; 32 6611212122222223 ()529()4482 15364 1536 ()1536 ()lmmmmlm m lEIEIEI解得从而得第一和第二阶自振频率111221为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。22111 11121212221121122210(1)01mmmm 从上式可求出质体振幅间的关系为211 1122121112111222221222111mmmm 式中， 特别是当12mmm时，将

10、此关系代入上述各式，131148EIml2321109.72EIml振型1：振型2：211111 222121 由上述振型图可知，前者是反对称的，后者是对称的。 所以对于对称系统求解频率和振型，可以分别按对称和反对称两种情况，沿对称轴切开取其一半进行计算即可。 m1m2Y11Y2121221Ym11121Ymm1m2Y12Y2222222Ym12122Ym主振型的位移幅值恰好为相应惯性力幅值产生的静力位移。对这两种静力平衡状态应用功的互等定理：2122222111212222212211211121)()()()(YYmYYmYYmYYm0)(22212121112221YYmYYm02221

11、212111YYmYYm因为12主振型之间的第一正交关系y 一般说来，设ij 相应的振型分别为：y(i)， y(j)由振幅方程： ( K2 M )Y=0Y（j）TK Y（i）=2i Y（j）T M Y（i） （a）Y（i）TK Y（j）=2j Y（i）T M Y（j） （b） Y（j）TKTY（i） =2jY（j）TMTY（i） （c）=（b）转置由（a）（c）得0)()()(22iTjjiYMY0)()(iTjYMY0)()()( iTjaYKY式由y 第一正交关系：相对于质量矩阵M来说，不同频率相应的主振型彼此是正交的; 第二正交关系：相对于刚度矩阵K来说，不同频率相应的主振型彼此是正交的

12、;)()(2)()(jTjjjTjYMYYKY如同一主振型:定义：jjjMKMj广义质量Kj广义刚度 所以：由广义刚度和广义质量求频率的公式。是单自由度体系频率公式的推广。y 注：主振型的正交性是体系本身的固有特 性，与外荷载无关。 利用正交性来检查主振型是否正确、 来判断主振型的形 状特征。 ( )1niiyY用Y（j）TM前乘niTjiTjYMYyMY1)()()(jjjTjjMYMY)()(利用正交关系确定位移展开公式中的 系数。即，y 主振型正交性的物理意义：体系按某一主振型振动时，在振动过程中，其惯性力不会在其它振型上作功。因此它的能量便不会转移到别的振型上去，从而激起其它振型的振动

13、。即各主振型可以单独出现。jTjjMyMY)(位移按主振型分解位移按主振型分解, ,可可将将n n个耦联运动方程化个耦联运动方程化成成n n个独立的一元方程个独立的一元方程求解。求解。() jTjjYMyM由可知( )1niiyYy 例4：图示体系的刚度矩阵K和质量矩阵M为：解：（1）演算第一正交性。m2mmk3k5k三个主振型分别如下，演算正交性。100010002330385052015mMkK 1342. 3760. 2,1227. 1924. 0,1569. 0163. 0321YYY(1)( 2 )0.1632000.924 0.5690101.2270.0006010011TTYM

14、Ymm （2）演算第二正交性。00003. 01227. 1924. 03303850520151569. 0163. 0)2()1(kkYKYTT同理：000001. 00001. 0)3()2()3()1(kYKYkYKYTT同理：00002. 00002. 0)3()2()3()1(mYMYmYMYTT（1）柔度法 tPqsintPqsiny1y211ym.22ym.PP1P2tymymytymymyPPqqsin)()(sin)()(22222211121122211111 1）建立振动微分方程tyymymtyymymPPqqsinsin22222221111112221111 各简谐

15、荷载频率相同相位相各简谐荷载频率相同相位相同，否则用其他方法同，否则用其他方法2）动位移的解答及讨论 通解包含两部分：齐次解对应按自振频率振动的自由振动，由于阻尼而很快消失；特解对应按荷载频率振动的简谐振动是平稳阶段的纯强迫振动。 1122( )sin( )sinytYtytYtqq设纯强迫振动解答为：代入：tyymymtyymymPPqqsinsin22222221111112221111 0) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYmqqqq) 1() 1(22222121122211210qqqqmmmmD) 1(22222122211qqmmDPP

16、PPmmD22121111212) 1(qq022011DDYDDY解得振幅：产生的位移。位移幅值相当于静荷载时，当,D,D, 1D022110PPq位移幅值很小。时，当, 0, 0,D,D,D21222140YYqqqq共振现象。不全为零时，时，或当,D, 0D2121021YYDqqn个自由度体系，存在n个可能的共振点3）动内力幅值的计算tYtytYtyqqsin)(sin)(2211tPtPqsin)(tYmymtYmymqqqqsin,sin2222212111. 荷载、位移、惯性力同频、同相、同时达到最大。位移达到最大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用

17、于结构，用静力法求出内力，即为动内力幅值。或用叠加公式求：（由Y1 ，Y2值可求得位移和惯性力）惯性力的幅值为：22221211,YmIYmIqq代入位移幅值方程：0) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYmqqqq可得求惯性力幅值的方程（直接求惯性力幅值）0)1(0)1(222222121121212111PPImIIImqqtPqsinl/4l/4l/2mmP1=1163lP2=1163l例：图示简支梁EI=常数,=0.751求动位移幅值和动弯矩幅值。解：1)求柔度系数EIlEIl7687,25633211232211EImlEImlm4876816

18、)(3312111EImlEImlm3847682)(331211231193. 61mlEI32260.151mlEI311975. 575. 0mlEIqPPM1M2M2)作MP图，求1P 2PEIPlEIPlPp7687,2563323133P1=1P2=1163lEIlEIl7687,25633111232211311975. 575. 0mlEIq163l163Pl1M2MPPMEIPlEIPlPp7687,256332314065. 0) 1() 1(22222121122211210qqqqmmmmDEIPlmmDPP32222212221101025. 0) 1(qqEIPlm

19、mDPP32212111121200911. 0) 1(qqEIPlDDYEIPlDDY302230110224. 00252. 0解得振幅：EIPlYEIPlY32310224. 0,0252. 0:) 3解得振幅PYmIPYmI6052. 06808. 0)422221211qq求惯性力：5)计算动内力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd 图1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd 图PlMIMIMMPd353. 012121111PlMIMIMMPd218. 022221

20、2126)比较动力系数488. 31162180. 0883. 13163530. 0458. 277680224. 0150. 232560252. 0221122112121stdMstdMstYstYMMMMyYyY 因此，多自由度体系没有统一的动力系数。y1(t)y2(t)tPtPtPtPqqsin)(sin)(2211如在平稳阶段,各质点也作简谐振动:tYtytYtyqqsin)(sin)(2211222222121121211211)()(PYmkYkPYkYmkqqY1=D1/D0Y2=D2/D02222211212110mkkkmkDqq)(222221211qmkPkPD00

21、2221212221211111ykykymykykym.)()(21tPtPP1(t)P2(t)221112112PkPmkDq求得位移幅值Y1、Y2 ,计算惯性力幅值I1=m12Y1 I2=m22Y2 。将惯性力幅值连同荷载幅值加在体系上，按静力计算方法求得动内力幅值。 求图示刚架楼面处的侧移幅值，惯性力幅值和柱底截面弯矩幅值。hPsintm EI=m EI=EIEIEIEIh1k11k211k12k22解：1）求刚度系数khEIkkkkhEIk312212231124,24834mlEIq23232222211212110320)1624(2424)1648(hEIhEImkkkmkDq

22、q33222221211248240)(hEIPhEIPmkPkPDq332211121123224032hEIPhEIPPkPmkDqEIhDDYEIhDDY202220111 . 0075. 02)求位移幅值3)求惯性力幅值PEIPhmhEImYmIPEIPhmhEImYmI6 . 1) 1 . 0(162 . 1)075. 0(16232222231211qqEIhDDYEIhDDY202220111 . 0075. 00.10.075EIPh3位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA里边受拉）(45. 05 . 09 . 0PhhPMA2222211212110mkkkmkDqq2

23、12222211PkmkPDq121121122PkmkPDq例4：m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2 ， 层间侧移刚度为k1、k2解：荷载幅值：P1=P，P2=0 ，求刚度系数：k11=k1+k2 , k21=k2 , k22=k2 , k12=k2当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803. 225322mkmk38197. 025321tPqsin021222221011DPkmkPDDYq0222)(DmkPq012112112022)(DPkmkPDDYq02DPk2222212210kmkmkkDqq021222221011DPkmkPDDYq021222221DP

24、kmkPq02DmkPq012112112022DPkmkPDDYq0DPk22202kmkmkDqq22222122213mkmk22423kkmmqq)3(22242mkmkmqq)(22212222142qqm)(2222122qqm)1)(1 (22221222212qqm)1)(1 (222212222qqmkm)1)(1 (122221221qqqkmkPY)1)(1 (12222122qqkPY121)1)(1 (1222212qqqkmkPY22)1)(1 (1222212qqkPY3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY1mkq3.0-2.

25、0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY2mkq两个质点的位移动力系数不同。当2121,618. 1618. 0YYmkmk和时和qq 趋于无穷大。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。也有例外情况。m2m1k2k1tPqsin02221DmkPYq022DPkY 2222212210)(kmkmkkDqq222201222,0,kPYkDYmkq当m1k1tPqsinm2k2这说明在图示结构上， 适当加以m2、k2系统可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。.,2222222qkmYPkYm再确定选定的许可振幅先根据设计吸振器时 吸振器不能盲目设置，必须在干

26、扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。l/3l/3l/3mmPsintPsint如图示对称结构在对称荷载作用下。21122211,kkkk与2相应的振型是12k2211mk2212YY=1211222112222kkmkmk当=2 ，D0=0 ，也有：212222211PkmkPDq121121122PkmkPDq0122222PkmkP0212211PkmkP022011,DDYDDY不会趋于无穷大，不发生共振，共振区只有一个。kkPyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力yst1= yst2=P/k层间剪力: Qst1= P 动荷载产生的位移幅值和内力幅值2mY22mY1)(1

27、 ()(2122121qqkmPYYmPQ121)1)(1 (1222212qqqkmkPY22)1)(1 (1222212qqkPY)(12121qkmQ由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。层间动剪力: 例：如图示梁中点放一点动机。重2500N，电动机使梁中点产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm)Psint解：1）sstg13 .3101. 081. 9sn14 .31603002602q频率比在共振区之内应设置吸振器。2）kgsmNkmmNkkPY102)/(4 .3110/1001. 010002252225222q选弹簧系数由k2m2对于n个自由度体系强迫振动方程Pn(t)Pi(t)P1(t)y1yiyn如果荷载时简谐荷载tPtPqsin)(则在平稳阶段,各质点作简谐振动.tYtyqsin)(振幅方程:)(2PYMKq如系数矩阵的行列式020MKDq可解得振幅Y如系数矩阵的行列式D0=0(=i)解得振幅Y=无穷大对于具有n个自由度的体系,在n种情况下都可能出现共振.)(.)(.)(.221122222121221121211111tPykykykymt