结构动力学之多自由度体系的振动问题_第1页
结构动力学之多自由度体系的振动问题_第2页
结构动力学之多自由度体系的振动问题_第3页
结构动力学之多自由度体系的振动问题_第4页
结构动力学之多自由度体系的振动问题_第5页
已阅读5页,还剩40页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

1、COMPANY NAMEm)(xy 结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性密切相关;另外,当用振型叠加法计算任意干扰力作用下结构的动力响应时,往往要用到自由振动的频率(frequency)和振型(mode)。 为此,要需要首先分析自由振动。 用刚度法(stiffness method)建立运动方程。根据达朗贝尔原理,考虑质体所产生的惯性力,就将原来的动力问题在形式上转化为静力问题。这样,就可对图示系统的每个自由度列出平衡方程,即系统的运动方程。 11111211222122221200000nnnnnnnnnmykkkymykkkymykkky系统运动方程为:0MyKy上式可简写为: 式中

2、,K,M分别为系统的刚度矩阵、质量矩阵,它们通称为系统的特性矩阵。 无阻尼系统的自由振动方程为:0MyKy设其齐次解为:sin()ytv12Tn 式中:这相当于假定各个质体作简谐振动,且振动的频率和初相角都相同,只是振幅不同。 将式对t微分两次后可得2sin()ytv sin()tv2()0KM把两式代入平衡方程,并消去各项的公因子得,从此条件可以看出: (1)条件中没有v,这就是说初相角可以是任意值; (2)条件给出各质体振幅的齐次代数方程组,说明各个质体需要满足这个关系式;(3)振动时,各质体的振幅不应全为零,要得到各个质体振幅不全为零的解,这就要求振幅 的系数行列式等于零,即20KM频率

3、方程频率方程 解之可得2的n个正实根,从而求出n个频率 12,n 如果把这些频率按由小到大的次序12n排列,即构成所谓频率谱。 其中最小的频率1称为最低自振频率,或称基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为主振动,对应于每一个主振动的形状称为主振型。 1)如果各质体的初速度为零,而初位移和某一振型成比例,然后任其自然,则系统就按这个振型作简谐自由振动,此解答就相应于该振动的一组特解; 2022-4-309 2)如果初始条件是任意的,则任其自然 后,系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由振动,而是复杂的周期振动,这时可以用各阶主振动的线性组合来描述它,也就是说其通解表为各个特解之和,

4、即1sin()njjjjytv 所以系统的任意振动可以表示为各个主振动的叠加。 例1:质量集中在楼层上, 层间侧移刚度如图。k11=4k/3解:1)求刚度系数:m2mmk3k5kk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5 刚度矩阵K和质量矩阵M:100010002330385052015mMkK11215,03303850522015kmk其中展开得:234222252250解得:1=1.293, 2=6.680, 3=13.027mk0862. 021mk4453. 022mk8685. 023mk2936. 01m

5、k6673. 02mk9319. 032)求频率:代入频率方程: K2 M03)求主振型:振型方程:(K2 M)Y0的后两式: (令Y3i=1)0)3(303)8(5221iiiiiYYY(a)013303850522021iiiiiYY0)3(303)8(5221iiiiiYYY0707. 130370. 65212111293. 11 YYY1569. 0163. 0) 1 (Y0680. 3303320. 62 YYY1227. 1924. 0)2(Y0027.10303027. 55212313027.133YYY1342. 3760. 2)1(Y10.569

6、0.16311.2270.92413.3422.76 Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同,为负时,表示与单位位移方向相反。由刚度法振幅方程: ( K2 M )Y=0前乘K1=后得: ( I 2 M )Y=0令=1/2 ( M I )Y=0得频率方程: M I =0利用刚度法的方程间接导出柔度法方程:其展开式是关于的n次代数方程,先求出i再求出频率i 可见刚度法、柔度法实质上是相同的,可以互相导出。当可见刚度法、柔度法实质上是相同的,可以互相导出。当计算体系的柔度系数方便时用柔度法(如梁);当计算体系的计算体系的柔度系数方便时用柔度法(如梁);当计算体系的刚度系数方便时用刚度法

7、(如横梁刚度为无穷大的多层刚架)。刚度系数方便时用刚度法(如横梁刚度为无穷大的多层刚架)。将i代入 ( M i I )Y(i)=0可求出n个主振型。0)(.)(.)(221122221211212111nnnnnnnnnmmmmmmmmm例2:质量集中在楼层上,层间侧移刚度如图。=1/k11=解:1)求柔度系数:m2mmk3k5k 柔度矩阵和质量矩阵M:100010002941441111mMP=12131P=132=422=4P=113=23=433=912=21,0942442112mmmIM030421523展开得:解之: 1=11.601,2=2.246,3=1.151三个频率为:m1

8、2936. 01m16673. 02m19319. 033)求主振型: (令Y3i=1)将1代入振型方程: ( M 1I)Y0的前两式: 0460. 720160. 921112111YYYY2)求频率:1569. 0163. 0) 1 (Y解得:同理可得第二、第三振型例 3 求图示结构的自振频率及相应的振型。 m1m2EIl/2l/2l/2l/2(a)1112(b)1222(c)m(d)m(e)解: 这是两个自由度的系统,用图乘法求得柔度系数:226121122231536M dsM dslEIEIEI31212213512M MldsEIEI 代入频率方程,并且令得;21331233122

9、33153651203235121536mlm lEIEImlm lEIEI展开行列式得 36212122223 ()44801536(1536)()lmmm m lEIEI; 32 6611212122222223 ()529()4482 15364 1536 ()1536 ()lmmmmlm m lEIEIEI解得从而得第一和第二阶自振频率111221为了确定第一阶振型,可将1代入平衡方程。22111 11121212221121122210(1)01mmmm 从上式可求出质体振幅间的关系为211 1122121112111222221222111mmmm 式中, 特别是当12mmm时,将

10、此关系代入上述各式,131148EIml2321109.72EIml振型1:振型2:211111 222121 由上述振型图可知,前者是反对称的,后者是对称的。 所以对于对称系统求解频率和振型,可以分别按对称和反对称两种情况,沿对称轴切开取其一半进行计算即可。 m1m2Y11Y2121221Ym11121Ymm1m2Y12Y2222222Ym12122Ym主振型的位移幅值恰好为相应惯性力幅值产生的静力位移。对这两种静力平衡状态应用功的互等定理:2122222111212222212211211121)()()()(YYmYYmYYmYYm0)(22212121112221YYmYYm02221

11、212111YYmYYm因为12主振型之间的第一正交关系y 一般说来,设ij 相应的振型分别为:y(i), y(j)由振幅方程: ( K2 M )Y=0Y(j)TK Y(i)=2i Y(j)T M Y(i) (a)Y(i)TK Y(j)=2j Y(i)T M Y(j) (b) Y(j)TKTY(i) =2jY(j)TMTY(i) (c)=(b)转置由(a)(c)得0)()()(22iTjjiYMY0)()(iTjYMY0)()()( iTjaYKY式由y 第一正交关系:相对于质量矩阵M来说,不同频率相应的主振型彼此是正交的; 第二正交关系:相对于刚度矩阵K来说,不同频率相应的主振型彼此是正交的

12、;)()(2)()(jTjjjTjYMYYKY如同一主振型:定义:jjjMKMj广义质量Kj广义刚度 所以:由广义刚度和广义质量求频率的公式。是单自由度体系频率公式的推广。y 注:主振型的正交性是体系本身的固有特 性,与外荷载无关。 利用正交性来检查主振型是否正确、 来判断主振型的形 状特征。 ( )1niiyY用Y(j)TM前乘niTjiTjYMYyMY1)()()(jjjTjjMYMY)()(利用正交关系确定位移展开公式中的 系数。即,y 主振型正交性的物理意义:体系按某一主振型振动时,在振动过程中,其惯性力不会在其它振型上作功。因此它的能量便不会转移到别的振型上去,从而激起其它振型的振动

13、。即各主振型可以单独出现。jTjjMyMY)(位移按主振型分解位移按主振型分解, ,可可将将n n个耦联运动方程化个耦联运动方程化成成n n个独立的一元方程个独立的一元方程求解。求解。() jTjjYMyM由可知( )1niiyYy 例4:图示体系的刚度矩阵K和质量矩阵M为:解:(1)演算第一正交性。m2mmk3k5k三个主振型分别如下,演算正交性。100010002330385052015mMkK 1342. 3760. 2,1227. 1924. 0,1569. 0163. 0321YYY(1)( 2 )0.1632000.924 0.5690101.2270.0006010011TTYM

14、Ymm (2)演算第二正交性。00003. 01227. 1924. 03303850520151569. 0163. 0)2()1(kkYKYTT同理:000001. 00001. 0)3()2()3()1(kYKYkYKYTT同理:00002. 00002. 0)3()2()3()1(mYMYmYMYTT(1)柔度法 tPqsintPqsiny1y211ym.22ym.PP1P2tymymytymymyPPqqsin)()(sin)()(22222211121122211111 1)建立振动微分方程tyymymtyymymPPqqsinsin22222221111112221111 各简谐

15、荷载频率相同相位相各简谐荷载频率相同相位相同,否则用其他方法同,否则用其他方法2)动位移的解答及讨论 通解包含两部分:齐次解对应按自振频率振动的自由振动,由于阻尼而很快消失;特解对应按荷载频率振动的简谐振动是平稳阶段的纯强迫振动。 1122( )sin( )sinytYtytYtqq设纯强迫振动解答为:代入:tyymymtyymymPPqqsinsin22222221111112221111 0) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYmqqqq) 1() 1(22222121122211210qqqqmmmmD) 1(22222122211qqmmDPP

16、PPmmD22121111212) 1(qq022011DDYDDY解得振幅:产生的位移。位移幅值相当于静荷载时,当,D,D, 1D022110PPq位移幅值很小。时,当, 0, 0,D,D,D21222140YYqqqq共振现象。不全为零时,时,或当,D, 0D2121021YYDqqn个自由度体系,存在n个可能的共振点3)动内力幅值的计算tYtytYtyqqsin)(sin)(2211tPtPqsin)(tYmymtYmymqqqqsin,sin2222212111. 荷载、位移、惯性力同频、同相、同时达到最大。位移达到最大时,内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用

17、于结构,用静力法求出内力,即为动内力幅值。或用叠加公式求:(由Y1 ,Y2值可求得位移和惯性力)惯性力的幅值为:22221211,YmIYmIqq代入位移幅值方程:0) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYmqqqq可得求惯性力幅值的方程(直接求惯性力幅值)0)1(0)1(222222121121212111PPImIIImqqtPqsinl/4l/4l/2mmP1=1163lP2=1163l例:图示简支梁EI=常数,=0.751求动位移幅值和动弯矩幅值。解:1)求柔度系数EIlEIl7687,25633211232211EImlEImlm4876816

18、)(3312111EImlEImlm3847682)(331211231193. 61mlEI32260.151mlEI311975. 575. 0mlEIqPPM1M2M2)作MP图,求1P 2PEIPlEIPlPp7687,2563323133P1=1P2=1163lEIlEIl7687,25633111232211311975. 575. 0mlEIq163l163Pl1M2MPPMEIPlEIPlPp7687,256332314065. 0) 1() 1(22222121122211210qqqqmmmmDEIPlmmDPP32222212221101025. 0) 1(qqEIPlm

19、mDPP32212111121200911. 0) 1(qqEIPlDDYEIPlDDY302230110224. 00252. 0解得振幅:EIPlYEIPlY32310224. 0,0252. 0:) 3解得振幅PYmIPYmI6052. 06808. 0)422221211qq求惯性力:5)计算动内力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd 图1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd 图PlMIMIMMPd353. 012121111PlMIMIMMPd218. 022221

20、2126)比较动力系数488. 31162180. 0883. 13163530. 0458. 277680224. 0150. 232560252. 0221122112121stdMstdMstYstYMMMMyYyY 因此,多自由度体系没有统一的动力系数。y1(t)y2(t)tPtPtPtPqqsin)(sin)(2211如在平稳阶段,各质点也作简谐振动:tYtytYtyqqsin)(sin)(2211222222121121211211)()(PYmkYkPYkYmkqqY1=D1/D0Y2=D2/D02222211212110mkkkmkDqq)(222221211qmkPkPD00

21、2221212221211111ykykymykykym.)()(21tPtPP1(t)P2(t)221112112PkPmkDq求得位移幅值Y1、Y2 ,计算惯性力幅值I1=m12Y1 I2=m22Y2 。将惯性力幅值连同荷载幅值加在体系上,按静力计算方法求得动内力幅值。 求图示刚架楼面处的侧移幅值,惯性力幅值和柱底截面弯矩幅值。hPsintm EI=m EI=EIEIEIEIh1k11k211k12k22解:1)求刚度系数khEIkkkkhEIk312212231124,24834mlEIq23232222211212110320)1624(2424)1648(hEIhEImkkkmkDq

22、q33222221211248240)(hEIPhEIPmkPkPDq332211121123224032hEIPhEIPPkPmkDqEIhDDYEIhDDY202220111 . 0075. 02)求位移幅值3)求惯性力幅值PEIPhmhEImYmIPEIPhmhEImYmI6 . 1) 1 . 0(162 . 1)075. 0(16232222231211qqEIhDDYEIhDDY202220111 . 0075. 00.10.075EIPh3位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA里边受拉)(45. 05 . 09 . 0PhhPMA2222211212110mkkkmkDqq2

23、12222211PkmkPDq121121122PkmkPDq例4:m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2 , 层间侧移刚度为k1、k2解:荷载幅值:P1=P,P2=0 ,求刚度系数:k11=k1+k2 , k21=k2 , k22=k2 , k12=k2当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803. 225322mkmk38197. 025321tPqsin021222221011DPkmkPDDYq0222)(DmkPq012112112022)(DPkmkPDDYq02DPk2222212210kmkmkkDqq021222221011DPkmkPDDYq021222221DP

24、kmkPq02DmkPq012112112022DPkmkPDDYq0DPk22202kmkmkDqq22222122213mkmk22423kkmmqq)3(22242mkmkmqq)(22212222142qqm)(2222122qqm)1)(1 (22221222212qqm)1)(1 (222212222qqmkm)1)(1 (122221221qqqkmkPY)1)(1 (12222122qqkPY121)1)(1 (1222212qqqkmkPY22)1)(1 (1222212qqkPY3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY1mkq3.0-2.

25、0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY2mkq两个质点的位移动力系数不同。当2121,618. 1618. 0YYmkmk和时和qq 趋于无穷大。可见在两个自由度体系中,在两种情况下可能出现共振。也有例外情况。m2m1k2k1tPqsin02221DmkPYq022DPkY 2222212210)(kmkmkkDqq222201222,0,kPYkDYmkq当m1k1tPqsinm2k2这说明在图示结构上, 适当加以m2、k2系统可以消除m1的振动(动力吸振器原理)。.,2222222qkmYPkYm再确定选定的许可振幅先根据设计吸振器时 吸振器不能盲目设置,必须在干

26、扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。l/3l/3l/3mmPsintPsint如图示对称结构在对称荷载作用下。21122211,kkkk与2相应的振型是12k2211mk2212YY=1211222112222kkmkmk当=2 ,D0=0 ,也有:212222211PkmkPDq121121122PkmkPDq0122222PkmkP0212211PkmkP022011,DDYDDY不会趋于无穷大,不发生共振,共振区只有一个。kkPyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力yst1= yst2=P/k层间剪力: Qst1= P 动荷载产生的位移幅值和内力幅值2mY22mY1)(1

27、 ()(2122121qqkmPYYmPQ121)1)(1 (1222212qqqkmkPY22)1)(1 (1222212qqkPY)(12121qkmQ由此可见,在多自由度体系中,没有一个统一的动力系数。由此可见,在多自由度体系中,没有一个统一的动力系数。层间动剪力: 例:如图示梁中点放一点动机。重2500N,电动机使梁中点产生的静位移为1cm,转速为300r/min,产生的动荷载幅值P=1kN问:1)应加动力吸振器吗?2)设计吸振器。(许可位移为1cm)Psint解:1)sstg13 .3101. 081. 9sn14 .31603002602q频率比在共振区之内应设置吸振器。2)kgsmNkmmNkkPY102)/(4 .3110/1001. 010002252225222q选弹簧系数由k2m2对于n个自由度体系强迫振动方程Pn(t)Pi(t)P1(t)y1yiyn如果荷载时简谐荷载tPtPqsin)(则在平稳阶段,各质点作简谐振动.tYtyqsin)(振幅方程:)(2PYMKq如系数矩阵的行列式020MKDq可解得振幅Y如系数矩阵的行列式D0=0(=i)解得振幅Y=无穷大对于具有n个自由度的体系,在n种情况下都可能出现共振.)(.)(.)(.221122222121221121211111tPykykykymt

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论