D19连续函数的运算73864PPT学习教案

1、会计学1D19连续函数的运算连续函数的运算73864定理定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. xx cot,tan在其定义域内连续定理定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例如例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减)(证明略)在1, 1上也连续单调(递减)11xOy22递增.xsinxarcsin第1页/共11页xye在),(上连续其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.证证: 设函数)(xu,0连

2、续在点 x.)(00ux,)(0连续在点函数uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数)(xf.0连续在点 x又如又如, 且即xyOxylnexy 11单调 递增,第2页/共11页xy1sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上连续 .复合而成 ,xy1sinxyO第3页/共11页设)()(xgxf与均在,ba上连续,证明函数)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上连续.证证:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根据连续函

3、数运算法则 ,可知)(, )(xx也在,ba上连续 .)(, )(min)(xgxfx 第4页/共11页基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无连续点而第5页/共11页.)1 (loglim0 xxax解解:原式xxax1)1 (loglim0elogaaln1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln

4、说明说明: 由此可见当0e,xa时, 有)1ln(x1e xxx第6页/共11页.)21 (limsin30 xxx解解:原式elim0 x)21ln(sin3xxelim0 xx36e说明说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2第7页/共11页1,41,)(xxxxx,1,21,)(2xxxxxf解解:讨论复合函数)(xf的连续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时连续;而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1为第一类间断点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不连续 , 第8页/共11页基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算结果仍连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续 初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.第9页/共11页,)(0连续在点若xxf是否连在问02)(, )(xxfxf续? 反例, 1,1)(xf x 为有理数 x 为无理数)(xf处处间断,)(, )(2xfxf处处连续 .反之是否成立?