第五章__大数定律与中心极限定理

1、第一节第一节 大数定律大数定律第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理第第5章概述章概述 大数定律和中心极限定理就是大数定律和中心极限定理就是使用使用极限极限方法方法研究大量随机现象统计规律性研究大量随机现象统计规律性. 阐明阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性大量重复试验的平均结果具有稳定性的的一系列定律都称为一系列定律都称为大数定律大数定律. 论证论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布一分布的定理称为的定理称为中心极限定理中心极限定理. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式证明证明.,)(,)(222

2、成立成立不等式不等式则对于任意正数则对于任意正数方差方差具有数学期望具有数学期望设随机变量设随机变量定理定理XPXDXEX 对连续型随机变量的情况来证明对连续型随机变量的情况来证明.( ),Xf x设的概率密度为则有 切比雪夫不等式切比雪夫不等式.22XP 221()( )xf x dx.122 22( )x xf x dx22XP .122XP 得得XP ( )x f x dx定理说明定理说明, ,由随机变量的数学期望和方差由随机变量的数学期望和方差, ,也可以也可以对随机变量取值的统计规律提供一些信息对随机变量取值的统计规律提供一些信息. .例例1 在每次试验中在每次试验中,事件事件A发生

3、的概率为发生的概率为0.5.(1)利用切比雪夫不等式估计在利用切比雪夫不等式估计在1000次独立试验中次独立试验中,事件事件A发生的次数在发生的次数在400 600之间的概率之间的概率;(2)要使要使A出现的频率在出现的频率在0.35 0.65之间的概率不小之间的概率不小于于0.95, 至少需要多少次重复试验至少需要多少次重复试验?解解: 设设X表示表示1000次独立试验中事件次独立试验中事件A发生的次数发生的次数, 则则X B(1000,0.5), E(X)=1000 0.5=500,D(X)=1000 0.5 0.5=250,400600PX400500500600500|()| 100P

4、XPXE X由切比谢夫不等式得由切比谢夫不等式得(2)设需要做设需要做n次独立试验次独立试验, 则则X B(n, 0.5), 求求n使得使得0.350.650.95XPn22()250110.975100100D X 95. 015. 05 . 05 . 065. 05 . 05 . 035. 065. 035. 0 nnXPnnnXnnPnXP 2 .222,95. 09 . 011)15. 0(25. 01)15. 0(115. 05 . 022 nnnnnDXnnXP只只要要成立成立,由切比谢夫不等式得由切比谢夫不等式得故至少需要做故至少需要做223次独立试验次独立试验. 大数定律大数定

5、律 概率论中有关阐明概率论中有关阐明大量随机现象平大量随机现象平均结果的稳定性均结果的稳定性的一系列定理。的一系列定理。 迄今为止迄今为止,人们已发现很多人们已发现很多大数定律大数定律(laws of large numbers)所谓大数定律，简单地说，就是所谓大数定律，简单地说，就是大大量数目的随机变量所呈现出的规律量数目的随机变量所呈现出的规律，这种规律一般，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻画。用随机变量序列的某种收敛性来刻画。1.1.伯努利大数定理伯努利大数定理lim | 1nnPpn,0,nEnApA定理设试验 重复进行了 次 事件 在每次实验中出现的概率为表示事件 发生的次

6、数,则对任意有证明证明: ( , ),nb n p因为(),()(1)nnEnp Dnpp故21(1)(),()()nnnppEp DDnnnn从而2| 1DXP XEX 由切比雪夫不等式，lim()1nnPpn从而22()(1)()11nnDppnPpnn n 令2(1)11ppn伯努利大数定律说明了伯努利大数定律说明了当重复独立试验次数当重复独立试验次数 n 很大时，频率与其概率之差可为任意小很大时，频率与其概率之差可为任意小， 即说明了其即说明了其频率的稳定性频率的稳定性。从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以用事件发生的频率来近似代替概率。用事

7、件发生的频率来近似代替概率。1,(1,2)0iiAXiniA第次实验中事件 发生 若记，第次实验中事件 不发生1,nniiX则11,nniiXnn1111( )(),nniiipP AE Xnn从而定理可写成：1111lim()1nniiniiPXE Xnn2.2.切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 1211,()(1,2)0,11lim()1ninniiniiXXXcD Xc iPXE Xnn设相互独立的随机变量序列的数学期望与方差都存在,且存在常数 ,使得,则对任意有211111111()1nnniiiiiiPXE XDXnnn 21cn 证明证明: 由期望与方差的性质知1111()()nn

8、iiiiEXE Xnn11()niiDXn211()niiD Xn21ncncn利用切比雪夫不等式,1111lim()1nniiniiPXE Xnn所以 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律表明，当表明，当n很大时，很大时，X1，X2 , ,，Xn的算术平均值的算术平均值 niiXnX11的取值，集中在其数学期望的取值，集中在其数学期望11()()niiE XE Xn附近。附近。121,()(),1lim()1niininiXXXE XD XPXn2推论 设随机变量序列相互独立,且具有相同的期望和方差：= ,=则对任意正数 ，有这使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。这使我们关于算术平均值的

9、法则有了理论上的依据。12,nXXX由大数定律知，只要由大数定律知，只要n充分大，则以接近于充分大，则以接近于1的概率保证的概率保证这便是在这便是在n较大情况下反映出的客观规律较大情况下反映出的客观规律,故称为故称为“大数大数”定定律律 如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行n次，得次，得n个测量值个测量值 ，它们可以看成是，它们可以看成是n个相个相互独立的随机变量具有相同的分布、相同的数学期望互独立的随机变量具有相同的分布、相同的数学期望和方差和方差 ， 2niiXn11例212,n 设随机变量序列相互独立 具有如下分布列nPna0na212n2

10、11n212n.问是否满足切比雪夫大数定律解:由题意12,n 相互独立 又222111()0 (1)022nEnanannn 22()()()nnnDEE2222222221110(1)022n an annn2a即每个随机变量都具有即每个随机变量都具有有限的数学期望有限的数学期望,有限的方差有限的方差,满足定律满足定律.lim | 1nnPXa则称则称 Xn 依概率收敛依概率收敛于于a, , 记作记作: :PnXa 12,nXXXa定义 设是一个随机变量序列，是一个常数，若对任意正数 ，有 人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到大人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到大量随机变量都服从或近似

11、服从正态分布，正因如此，量随机变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，正态分布占有特别重要的地位。正态分布占有特别重要的地位。 那么，那么，如何判断一个随机变量服从正态分布如何判断一个随机变量服从正态分布显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知道，很多工程测量中产生的误差道，很多工程测量中产生的误差X都是服从正态分都是服从正态分布的随机变量。布的随机变量。 分析起来，造成误差的原因有仪器偏差分析起来，造成误差的原因有仪器偏差X1、大气折射偏差大气折射偏差X2, ,温度变化偏差温度变化偏差X3、估读误差、估读误差造成的偏差造成的偏差X4等等，这些偏差等

12、等，这些偏差Xi 对总误差对总误差 的影响都很微小，没有一个起到特别突出的影的影响都很微小，没有一个起到特别突出的影响，虽然每个响，虽然每个Xi的分布并不知道，但的分布并不知道，但 却服从正态分布。却服从正态分布。iXX例如：(1, )nXBp设随机变量序列独立同分布于两点分布,1( , )nnkkYXB n p那么其部份和服从二项分布，5,10,20( ,0.5)nb n分别对画出二项分布密度的图形n 易知，当 变大时，这些图形越来越接近正态分布的密度曲线.0246810121416182000.020.040.060.080.10.120.140.160.18024681012141618

13、2000.050.10.150.20.250246810121416182000.050.10.150.20.250.30.351. 1. 棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理221lim ( )(1)2txnnXnpPxedtxnpp1( , ), (1,2),nXB n pnxR定理设随机变量则对任意有( , ),(,),:XB n pnXN np npq设随机变量则当 很大时 近似地有从而可得推近似公式论()()()bnpanpP aXbnpqnpq ()()bnpanpnpqnpq aEXXEXbEXP aXbPDXDXDX证：anpXnpbnpPnpqnpqnpq例例3 3 在人寿

14、保险公司里有在人寿保险公司里有3000个同一年龄的人参加人个同一年龄的人参加人寿保险寿保险. .在一年里在一年里, ,这些人的死亡率为这些人的死亡率为0.1%. 参加保参加保险的人在一年的头一天交付保险费险的人在一年的头一天交付保险费10元元, ,死亡时死亡时, ,家家属可以从保险公司领取属可以从保险公司领取2000元元. . 求求: :保险公司一年中获利不小于一万元的概率保险公司一年中获利不小于一万元的概率; ; 解解: 设一年中死亡人数为设一年中死亡人数为X, 则则(3000,0.001)XB30000.0013(1)1.7312EXnpDXnpp2(3,1.7312 ) ()XN由定理知

15、近似(1.7329)0.96 30000200010000PX010PX3310 31.73121.73121.7312XP(4.04)( 1.733) 保险公司每年利润为:3000 102000()X万元注意:(1),0.1,ppnpnp泊松分布告诉我们 当时 二项分布可用泊松分布作近似计算,而上述定理不受 值的限制.但若 很大,很小(5),则用正态分布作近似不如泊松分布精确.(2),nnnn很大 是一个较为模糊的概念 经验告诉我们 如果取50(有时可放宽到30),则近似程度便可以满足一般要求.当然, 越大精度越好.棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理: :lim ( )(1)nnXnpP

16、xxnpp ( , ), (1,2),nXB n pnxR设随机变量则对任意有说明:1(1,2)0iAiinAi若 在第 次实验中发生令若 在第 次实验中不发生1nniiX则111()lim()( )()nniiiinniiEPxxD 即 n设为任一随机变量序列，其和的标准化随机变量111()()nniiiinniiEYDlim( )nnP Yxx 在什么条件下满足？ 这是此后这是此后300多年来，概率论研究的一个多年来，概率论研究的一个中心，故称作中心，故称作中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）。）。 2.2.林德贝格林德贝格-勒维定理勒维定理( (独立同

17、分布独立同分布) ) 12111111,()()0(1,2).()()( ),1lim( )lim()( )2niiniinnniiiiiinniinniinnnXXXE XD XiXXEXXnYnDXF xxXnF xPxxn 2定理2 设是相互的随机变量序列,且,= ,=则随机变量之和的 的分布函数对任意实数 满足独立同分布具有数学期望和方差标准化随机变量22txedt()()bnannn 1niiP aXb11()niianbnPXnnnn111(,)nnniiiiiiXNEXDX结论：21(,)niiXN nn即例例4 4 对敌阵地进行对敌阵地进行100次炮击次炮击, ,每次炮击中每次

18、炮击中, ,炮弹的命炮弹的命中颗数的数学期望为中颗数的数学期望为4, ,方差为方差为2.25, ,求在求在100次炮击中次炮击中, ,有有380颗到颗到420颗炮弹击中目标的概率的近似值颗炮弹击中目标的概率的近似值. .解解: 设第设第i次炮击中炮弹命中颗数为次炮击中炮弹命中颗数为Xi, , i=1,2,100. .由题意可知由题意可知: :100100100111()2.25225iiiiiDXDX4,2.25iiEXDX100100100111()4400iiiiiEXEX1001(400,225) ()iiXN由定理知近似2 (1.333) 1 0.8164. 1001380420iiPX1001400380400420400225225225iiXP44( )()33 例5 某车间有同型号机床200台,它们独立地工作着.每台开工的概率为0.7,开工时每台耗电15kw.问供电部门最少要供应该车间多少电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.解:200,设 表示台中开工的机床数 则(200,0.7)B( )140,( )42ED且:(140,42) ()N由中心极限定理近似x设 表示供电量,由题意(15)0.95Px1