9-2(2)-利用极坐标计算二重积分

1、, bxa ).()(21xyx 利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分X型区域型区域:)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy .),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,dyc ).()(21yxy Y型区域型区域:)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx Dxy 1例例 6 6 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序. 原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图 .10, 10 :xyxD也可表示为也可表示为

2、.10, 10 :yxyD 例例7 计算由四个平面计算由四个平面x 0 y 0 x 1 y 1所围成的所围成的柱体被平面柱体被平面z 0及及2x 3y z 6截得的立体的体积截得的立体的体积 四个平面所围成的立体如图四个平面所围成的立体如图 解解: dxdyyxVD)326( 1010)326(dyyxdx 101022326dxyxyy 1027)229(dxx所求体积为所求体积为281 02.|,:|,DIyxdxdyDxy例例 求求其其中中xy011 2解解.|2中的绝对值符号去掉中的绝对值符号去掉必须将必须将xy 两部分两部分分成分成将区域将区域抛物线抛物线212、DDDxy 11,0

3、:21 xxyD11, 2:22 xyxD 22122),( ),( |),(DyxxyDyxyxxyyxf 21)()(22DDdxdyxydxdyyxIdyxydxdyyxdxxx 2211021122)()(1546 2D1D第三节第三节 二重积分计算方法（二）二重积分计算方法（二）利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分.)sin,c

4、os()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式(一一)区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式(二二)区域特征如图区域特征如图(曲边扇形曲边扇形), ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos( Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd 二重积分化为二次积

5、分的公式二重积分化为二次积分的公式(三三)区域特征如图区域特征如图(极点在极点在区域内部区域内部).(0 rDoA)(r,2 0例例1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd例例 2 2 计算计算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原点

6、，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.解解在在极极坐坐标标系系下下 D：ar 0， 20. dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae xy0a解解D：bra ， 20 . dyxD 22 20bardrrd)(31233ab )(3233ab xxdyyxdx2212210)(求求 解解 积分区域积分区域D如图所示如图所示 tan sec0 ,40| ),( D Dxxdddyyxdx 12122102)( dd tansec040112tansec40 d例例4.第四节第四节 三重积分的概念及计算法三重积分的概念及计算法（直角坐标系下计算法）（直

7、角坐标系下计算法）一、三重积分的定义一、三重积分的定义.,),(),(),(,:Mzyxzyxzyx物体的质量物体的质量试求该试求该为连续函数为连续函数且且处的密度为处的密度为上的点上的点它在它在域域设有一物体占据空间区设有一物体占据空间区例例 方法：方法：分割分割,取近似取近似,求和求和,取极限取极限个小块个小块把物体任意分把物体任意分n.,21nVVV ),()(iiiiiVV 取一点取一点体积也记体积也记在每一小块在每一小块 iiiiiVM ),( niiiiiniiVMM11),( 则 niiiiiVM10),(lim .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 的平面来划分的平面来划分

8、用平行于坐标面用平行于坐标面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果.lkjizyxv 则则.积元素积元素叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体其中其中dxdydzV 二、三重积分的计算二、三重积分的计算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz方法一方法一(投影法）：投影法）：直角坐标系中将三重积直角坐标系中将三重积分化为三分化为三 次

9、积分计算次积分计算函数，则函数，则的的只看作只看作看作定值，将看作定值，将先将先将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重积分上的二重积分在闭区间在闭区间计算计算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得：得：fx, y,z dv =.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意：注意： 投影法是把三重积分化为二次积分和一次积分，且投影法是把三重积分化为二次积分和一次积分，且积分顺序为积分顺序为“先一后二先一后二”，因此也

10、称为，因此也称为“先一后二先一后二”法法. .解解, 122 yxxyzo.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI 101010)(dzzyxdydxdxdydzM 1010)21(dyyxdx 101022121dxyyxy102)1(21 x 10)1(dxx23 例例2 解解 221111122 =x,y,z | x + yz, - xy- x , -x 111112222),(yxxxdzzyxfdydxI积分区域可表示为积分区域可表示为:由曲面由曲面z x2 y2及平面及平面z 1所所化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(积分，积分，其中积分区域其

11、中积分区域 xozy例例 3解解为三次为三次围成围成. 3)1(zyxdxdydz yxxdzzyxdydx1031010)1(1(x y z)| 0 z 1 x y 0 y 1 x 0 x 1 解解 xyxdyzyxdx1010210)1(21 xdyyxdx1021081)1(21例例4xozy111积分区域可表示为积分区域可表示为:dxyyxx 101081)1(21dxxx 108183)1(2110216183)1ln(21xxx )852(ln21 xozy111 xdyyxdx1021081)1(21z方法二：方法二：用截面法计算三重积分用截面法计算三重积分.z zDccdxdyzyxfdz),(21 dvzyxf),( 截面法是把三重积分化为一截面法是把三重积分化为一次积分和二次积分，次积分和二次积分， 且积分顺且积分顺序为序为“先二后一先二后一”，因此也称，因此也称为为“先二后一先二后