广东深圳高中高一数学下学期期末试卷理含解析

1、2014-2015学年广东省深圳高中高一(下)期末数学试卷(理科)一、选择题：(本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A=x|(x+1)(4x)<0,集合B=y|y=2sin3x，贝UACB=()A.(-1,2B.(2,4)C.-2,T)D,-2,22 .下列四个函数中，在(0,+8)上为增函数的是()A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)二一D.f(x)=-x+1log2|x|3 .某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()俯视图A.12+4丁B.18+8丁C.28D.20+814 .在ABC

2、中，若2cosB?sinA=sinC,则4ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形5 .已知a是实数，则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是()6.已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2?a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为也,4则&=()A.35B.33C.31D.29N分别是对角线AC与BD的中点，则7.ABCM空间四边形，AB=CDAD=BCABADMLMlN<(A.C.）AC、BD之一垂直AC、BD都不垂直B.D.AC、BD者B垂直AC、BD不一定垂直8.设变量x,A.>0y满足,x4y+l,贝U(x

3、+y)B.32的最大值是（C.2D.19.设lA.C.为直线,若l/若Ua,3是两个不同的平面,卜列命题中正确的是（B.若l；,l；D.若a_L3,l/10.两圆相交于两点的值是（）A.1A(1,3)B.2和B(m,n),且两圆圆心都在直线x-y-2=0上，则m+nC.D.411.一个动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点3,0）连线中点的轨迹方程是（A.(x+3)2+y2=4B.(X-3)2+y2=1C.X邕)2+y2=lD.(2x-3)222+4y2=112.已知向量曰与b的夹角为0,定义WxE为彳与1的“向量积”，且Wxg是一个向量，它的长度|axb|=|司|b|sin0,若中(2,0

4、),u-v=(1,-近),贝U|uX(u+&)|=(B.二C.6二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）_13.4ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且asinAsinB+bcos2A=72a,则旦,a14.等差数列an的前n项的和为Sn,若ai=24,Si7=S0.则Sn取最大值时n的值为15.已知正方体的棱长为a,该正方体的外接球的半径为则a=16.曲线疔+J._与直线y=k(x-2)+4有两个交点，则实数k的取值范围为三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤)17 .已知4ABC的内角为ABC,其对边分别为a、b、

5、c,B为锐角，向量;二(2sinB,-如),口=(cos2B,2cos殂-1),且m力n.2(1)求角B的大小；(2)如果b=2,求$abc的最大值.18 .如图，正四面体S-ABC中，其长为2.(1)求该几何体的体积；(2)已知MN分别是棱AB和SC的中点.求直线BN和直线SM所成的角的余弦值.A19 .已知直线l:y=k(x+2&)与圆O:x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO勺面积为S.(I)试将S表示成的函数S(k),并求出它的定义域；(n)求S的最大值，并求取得最大值时k的值.20 .如图，在直三棱柱ABC-ABC中，平面ABCL侧面AABB,且AA=AB

6、=2.(1)求证：ABIBC(2)若直线AC与平面ABC所成的角为,求锐二面角A-AC-B的大小.621 .已知数列an的前n项和为Sn,设an是$与2的等差中项，数列bn中，bl=1,bn+1=bn+2.(1)求an,bn；(2)若数列bn的前n项和为B,比较-L+1-+口-与2的大小；BB仇(3)令=旦+也+坛，是否存在正整数M,使得TnVM对一切正整数n都成立？若存力及在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由.22.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bCR),g(x)=2x2-4x-16,且|f(x)|<|g(x)|对xCR恒成立.(1)求a、b的值；(2)记h(x)=-f(x

7、)-4,那么当k>工时，是否存在区间m,n(m<n),使得函数22h(x)在区间m,n上的值域恰好为km,kn?若存在，请求出区间m,n;若不存在，请说明理由.2014-2015学年广东省深圳高中高一(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 .已知集合A=x|(x+1)(4x)<0,集合B=y|y=2sin3x，贝UACB=()A.(-1,2B.(2,4)C.-2,T)D,-2,2考点：交集及其运算.专题：集合.分析：求出A中不等式的解集确定出A,求出B中y的范围确定

8、出B,即可确定出两集合的交集.解答：解：由A中不等式变形得：(x+1)(x-4)>0,解得：x<-1或x>4,即A=(8,1)u(4,+8),由B中y=2sin3x,得到一2W2sin3xw2,即2<y<2,-B=-2,2,贝UAnB=-2,T),故选：C点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.下列四个函数中，在(0,+8)上为增函数的是()A. f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)二一D.f(x)=-x+1log2|x|考点：函数单调性的判断与证明.专题：函数的性质及应用.分析：根据函数单调性的性质分别进行判断即可.解

9、答：解：A.f(x)=3-x在(0,+8)上为减函数.B. f(x)=x2-3x=(x-)2-,在(0,+°°)上为不单调.24C.f(X)二-='已1=1-在(0,+oo)上为增函数.x+1x+1k+1D.当x>0时，f(x)=-log2x在(0,+°0)上为减函数.故选：C点评：本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握掌握常见函数的单调性，比较基础.3.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(正观四，同视图2!11俯视图A.12+4=B.18+8=C.28D.20+8二考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题；空间位置关系与距离.分

10、析：几何体是直三棱柱，由三视图判断三棱柱的高，判断底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入表面积公式计算.解答：解：由三视图知：几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4,底面是直角边长为2的等腰直角三角形，斜边长为44+4=2近,，几何体的表面积S=2X1x2X2+(2+2+2瓜X4=4+16+8、m=20+8、/.2故选：D.点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键.4.在ABC中，若2cosB?sinA=sinC,则4ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形考点：两角和与差的正弦函数.专题：

11、计算题.分析：在ABC中，总有A+B+C成,利用此关系式将题中：“2cosB?sinA=sinC,”化去角C,最后得到关系另外两个角的关系，从而解决问题.解答：解析：1.12cosB?sinA=sinC=sin(A+B)?sin(AB)=0,又B、A为三角形的内角，.A=B答案：C点评：本题主要考查三角函数的两角和与差的正弦函数，属于基础题，在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，另一个方向是角，走三角变换之路.5 .已知a是实数，则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是(考点：正弦函数的图象.专题：三角函数的图像与性质.分析：函数f(x)=1+asi

12、nax的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a|,周期为芸,周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象.解答：解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：<lai>1,.Tv2兀，El而D不符合要求，它的振幅大于1,但周期反而大于了2兀.对于选项A,a<1,T>2ti,满足函数与图象的对应关系，故选D.点评：由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键.6 .已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2?a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为鸟4则&=()A.35B.33C.31D.29考点：等比数列的性质；等

13、比数列的前n项和.专题：等差数列与等比数列.分析：用a1和q表示出a2和a3代入a2?a3=2a1求得a4,再根据a4+2a7=a4+2a4q3,求得q,进而求得&,代入&即可.解答：解：a2?a3=a1q?aq2=2a1'1-44=2cc3二a4+2a7=a4+2a4q=2X1a4“q=j,a1=-=162q16（1-）故&=31故选C.点评：本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.7. ABCM空间四边形，AB=CDAD=BCABADMN分别是对角线AC与BD的中点，则MN（）A.AC、BD之一垂直B.AC、BD都垂直C.AC、BD都不垂直D.AC、BD不一

14、定垂直考点：空间中直线与直线之间的位置关系.专题：空间位置关系与距离.分析：连接AMCM由SSS可得ABD4CDB进而根据全等三角形对应边上的中线相等，可得AM=CM即ACM是等腰三角形，进而根据等腰三角形三线合一，可得MNLAC同理,MNLBD解答：解：连接AMCM在ABD与4CDB中fAB=CD，AD二BC,lBD=BD.AB¥ACDB又AMCM分别为两全等三角形对应边BD上的中线，.AM=CM.ACM是等腰三角形，又MN为ACMB边AC上的中线，MNLAC同理，MNLBD故MNfACBD都垂直故选B点评：本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间直线与直线位置

15、关系的定义，几何特征及证明方法是解答的关键.>08 .设变量x,y满足",则（x+y）2的最大值是（）A. 9B. 3C. 2D.1考点：简单线性规划.专题：不等式的解法及应用.分析：由题意，画出平面区域，首先求出（x+y）的范围，可求（x+）2的最大值.解答：解：由约束条件7升1,画出可行域如图所示，由.,得到A（2,1）,y<lI月z=x+y在点A（2,1）取得最大值，在（0,-1）处取最小值，所以（x+y）2的最大值为9.故选A.-2-3L点评：本题考查了线性规划，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题9 .设l为直线，a,3是两个不同的平面，下列

16、命题中正确的是（）A.若l/a,l/3,则a/3B.若l_La,l_L3,则a/3C.若l，a,l/3,则a/3D.若a，3,l/a,则l，3考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系.专题：空间位置关系与距离.分析：根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A;根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B;根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C;根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D.解答：解：若l/a,l/3,则平面“，3可能相交，此时交线与l平行，故A错误;若l，a,l±3,根据垂直

17、于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l，a,l/3,则存在直线m?3,使l/3则mla,故此时a，3,故C错误；若a，3,l/a,则l与3可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选B点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键.10 .两圆相交于两点A(1,3)和B(m,n),且两圆圆心都在直线x-y-2=0上，则m+n的值是()A.1B.2C.3D.4考点：圆与圆的位置关系及其判定.专题：直线与圆.分析：求出A、B的中点坐标，代入直线方程，求出AB的斜率，推出方程组，求解即

18、可.解答：解：两圆相交于两点A(1,3)和B(mn),且两圆圆心都在直线x-y-2=0±,可得Ke=-1,即一1=!?_m-1AB的中点(工±1或)在直线上，可得也-或-2二0，2222由可得m=5,n=-1;m+n=4故选：D.点评：本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力.11. 一个动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(X-3)2+y2=1C.(X+?)2+y2D.(2x-3)222+4y2=1考点：轨迹方程.专题：计算题；直线与圆.分析：根据已知，设出AB中点M的坐标(x,y

19、),根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程.解答：解：设中点M(x,y),则动点A(2x-3,2y),A在圆x2+y2=1上，(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.故选D.点评：此题是个基础题.考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力.12.已知向量彳与Z的夹角为0,定义xE为彳与E的“向量积”，且是一个向量，它的长度|君xb|=|圳b|sin0,若u=(2,0),u-v=(1,一加)，贝U|nx(u+v)|=()A.4三B.三C.6D.2不考点：平面向量数量积的运算.专题

20、：平面向量及应用.分析：利用数量积运算和向量的夹角公式可得KA"二US.再利用'|u|u+v|平方关系可得利用新定义即可得出.解答：解：由题意三Q-G)二(1,6)，(u+v)O6，I3+二1=，32+(北)2=2如,Iu|=2.CCIW<U1T二、=iG+6-6丞|u|u+v|2X232即u二-'-一'-w由定义知111.卜.一:.，'.'一一二'.乙故选：D.点评：本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.4ABC的三

21、个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且asinAsinB+bcos2A=/a,则卫二a'考点：正弦定理；解三角形.专题：计算题；解三角形.分析：由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简整理题中的等式得sinB=V2sinA,从而得到b=V2a,可得答案.解答：解：,ABC中,asinAsiriB+bcosA=/2a，根据正弦定理，得_i二I：足A=/sinA，可得sinB(sin2A+cos2A)=V2sinA,sin2A+cos2A=1,sinB=我sinA,得b=V2a,可得=V2.故答案为：二点评：本题给出三角形满足的边角关系式，求边a、b的比值.着重考查了正弦定理、同角三角

22、函数的基本关系等知识，属于基础题.14.等差数列an的前n项的和为S,若ai=24,87=810.则S取最大值时n的值为13或14.考点：数列的求和.专题：等差数列与等比数列.分析：设等差数列an的公差为d,由Si7=S。.利用等差数列的前n项和公式可得ai+13d=0,即a”。，即可得出.解答：解：设等差数列an的公差为d,S17=80.d=10ai+l°化为a+13d=。，即a*。，又a1=24>0,当n=13或14时，$取得最大值.故答案为：13或14.点评：本题考查了等差数列白通项公式与前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.15 .已知正方体

23、的棱长为a,该正方体的外接球的半径为则a=2.考点：球内接多面体.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的直径，利用正方体的外接球的半径为加，即可求出a.解答：解：正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，所以球的直径为：V3a,因为正方体的外接球的半径为V3,所以Ta=2"所以a=2.故答案为：2.点评：本题考查正方体的外接球的半径，解题的关键在正方体的体对角线就是它的外接球的直径，考查计算能力，是基础题.16 .曲线产或与直线y=k(x-2)+4有两个交点，则实数k的取值范围为工当.124一考点：直线与圆相交的性质.专题：数形结合；转

24、化思想.分析：先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围.解答：解：产+也_富2可化为x2+(y-1)2=4,y>1,所以曲线为以(0,1)为圆心,2为半径的圆y>l的部分.直线y=k(x-2)+4过定点p(2,4),由图知，当直线经过A(-2,1)点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个.且kAP=4-1=2,由直线与圆相切得2+24d=I-1+4-2k|Vk3+1=2,解得k=3.12故答案为:点评：本题考查直线与圆相交的性质,三、解答题：(本大题共6小题，共则实数k的取值范围为(同时考查了学生数形结合的能力，是个

25、基础题.70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤)17 .已知4ABC的内角为ABC,其对边分别为a、b、c,B为锐角，向量ir=(2sinB,相),n=(cos2B,2cos-1),且m力n.2(1)求角B的大小；(2)如果b=2,求$abc的最大值.考点：余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数.专题：解三角形.分析：(1)利用mII口，结合两角和与差的三角函数化简，即可求解B的大小.(2)通过余弦定理推出ac的范围.然后求解三角形的面积的最值.=>sin2B+3cos2B=02sin()=0(B为锐角)，(2)由cosB=-2+c2-2212ac得ac=a2+c2-4,解答：解

26、：(1)m11n=>2sinB*(2cos2-l)+V3cos2B=0,a2+c2>2ac,ac<4.S研dacsinB</X乙-ww即SaABC的最大值为，京点评：本题考查向量的三角形中的应用，余弦定理的应用，考查计算能力.18 .如图，正四面体s-ABC中，其长为2.(1)求该几何体的体积；(2)已知MN分别是棱AB和SC的中点.求直线BN和直线SM所成的角的余弦值.A考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角.专题：空间位置关系与距离.分析：(1)取三角形ABC的中心0,连接SQ说明SO为正四面体的高，求出底面面积与高，即可求解几何体的体积.(2)连接MC

27、取MC点E,连接BE,NEBN,说明直线BN和直线NE所成的角即为直线BN和直线SM所成的角.通过解三角形求解即可.解答：解：(1)取三角形ABC的中心0,连接SO由正四面体的性质知S0二SM2-。M2二2，3SO为正四面体的高，saaec=V3，4.小0二攀(6分)(2)连接MC取MC点E,连接BE,NE,BN,则NE平行于SB.则直线BN和直线NE所成的角即为直线BN和直线SM所成的角.bn=/5,ne4,be%em，mbJ号,.,二：-nL二cosZBNE-2bmNEW.该几何体的体积二，3直线BN和直线SM所成的角的余弦值2.(12分).3点评：本题考查几何体的体积的求法，异面直线所成

28、角的求法，考查计算能力以及空间想象能力逻辑推理能力.19 .已知直线l:y=k(x+2比)与圆O:x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO勺面积为S.(I)试将S表示成的函数S(k),并求出它的定义域；(n)求S的最大值，并求取得最大值时k的值.考点：直线与圆的位置关系；二次函数的性质.专题：计算题；压轴题.分析：(I)先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进行化简.(n)换元后把函数S的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量范围的改变.解答：解：(I)直线l方程kLy+2Jk=0(k卢0),原点O到l的距离为|g|二平

29、用(3分)Vl+k2弦长|AB|=27|0A|2-|0C|2=2J4-(5分)V1+d?ABO面积小一一4？21+K2|AB|>0,-1vKv1(Kw0),?c、WWk2(1-k2)/d口c、八、S(k)=(Tvkv1且Kw0)(8分)，1+k2(n)令一1+k22s（k）二回k“昔一卜'二4困-入2+例一1二一2（二慨）1+kT4X.当t=H时，笄，k?二!，k=±近时，Smax=2（12分）41+k24K3，3点评：本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最大值，注意换元中变量范围的改变.20.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，平面

30、ABM侧面AABB,且AA=AB=2.（1）求证：AB!BC（2）若直线AC与平面ABC所成的角为工，求锐二面角A-AiC-B的大小.考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系.专题：空间位置关系与距离；空间角.分析：（1）取AiB的中点D,连接AD,由已知条彳推导出AEL平面ABC,从而ACLBC由线面垂直得AAi±BC由此能证明AB±BC（2）连接CD由已知条件得/ACD即为直线AC与平面ABC所成的角，/AED即为二面角A-AiC-B的一个平面角，由此能求出二面角A-AiC-B的大小.解答：（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取AB的中点D,连

31、接AD,（1分）因AA=AB,则ADLA1B（2分）由平面ABCL侧面AABB,且平面AB6侧面AABB=AB,（3分）得ADL平面ABC,又BC?平面ABC,所以ADLBC（4分）因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，贝UAA，底面ABC所以AALBC又AAAAD=A,从而BM侧面AABB,又AB7侧面AABB,故AB±BC（7分）（2）解：连接CD由（1）可知ADL平面ABC,则CD是AC在平面ABC内的射影/ACD即为直线AC与平面ABC所成的角，则/ACD二工（8分）6在等腰直角iAB中，AA=AB=2,且点D是AiB中点冲事正二亚且NADkgZACD=WMV，AC二2五（

32、9分）过点A作AHAiC于点E,连DE由（1）知ADL平面AiBC,则ADLAiC,且AEAAD=A，/AED即为二面角A-AiC-B的一个平面角，（i0分）且直角C中：一AC2V33又ZADE=4.八1r“ADV2V5“一二-二二二，且二面角A-AC-B为锐二面角ZAED=-即二面角A-AC-B的大小为三.（i4分）33AiCi点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.2i,已知数列an的前n项和为3,设an是$与2的等差中项，数列bn中，bi=i,b*bn+2.（i）求an,bn；（2）若数列bn的前n项和为B,比较白+白+白与2的

33、大小；B%（3）令Tn=+-4,是否存在正整数M,使得TnVM对一切正整数n都成立？若存al%在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由.考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式.专题：等差数列与等比数列.分析：(1)由题意可得2an=S+2,故可得2an+i=S+i+2,两式相减可得数列an是2为首项,2为公比的等比数列，又数列bn是1为首项，2为公差的等差数列，可得它们的通项公式；(2)可的B=n；故-L+-L+-L=LJ-+-L,由放缩法和裂项相消法可得结论；BB2BnJ7%(3)可得Tn+2上，由错位相减法可得可得Tn=3-34<3,可得2222n2n22结论.解答：解：(1)由题意可得2an=S+2,故可得2an+