流体力学讲稿第三章201510a参考件1

1、1 例例 水波问题分析水波问题分析第三章第三章 流体运动的基本方程组流体运动的基本方程组2022-4-292 步一：给出水波问题的基本（假定）条件步一：给出水波问题的基本（假定）条件1）水是无粘性）水是无粘性 (不考虑水粘性不考虑水粘性)；2）水是不可压缩流体；）水是不可压缩流体；3）水波运动流场是无旋的。）水波运动流场是无旋的。水波问题水波问题是是理想理想不可压不可压流体流体的的无旋无旋运动问题运动问题水波问题水波问题必须服从必须服从不可压不可压势流势流运动的基本控制方程运动的基本控制方程2022-4-293 水的流体质点运动方程水的流体质点运动方程 1 1）拉格朗日形式）拉格朗日形式 -

2、2 2）欧拉形式）欧拉形式 -（利用（利用 ） pFa( . )DxyzvDttxtytztt ( .)pDvvFvvDtt步二：推导出水波问题的基本方程步二：推导出水波问题的基本方程2022-4-294 *拉格朗日流体质点运动方程之推导拉格朗日流体质点运动方程之推导 -方程的一般形式：方程的一般形式： 式中式中, , 为作用于单位质量流体上之体力。为作用于单位质量流体上之体力。 -推导过程：采用微元分析法，如图示，在推导过程：采用微元分析法，如图示，在x x轴方轴方向由左右两面压强差产生的合力为向由左右两面压强差产生的合力为 同理，在同理，在y y和和z z轴方向由压强差产生的合力应分别为轴

3、方向由压强差产生的合力应分别为故作用于微元体上对应的总合力为故作用于微元体上对应的总合力为()()22p dxp dxpdydzpdydzxxpdxdydzx pFaF()()22()()22p dyp dyppdxdzpdxdzdxdydzyyyp dzp dzppdxdypdxdydxdydzzzz 2022-4-295设作用于微元体单位质量的体力为设作用于微元体单位质量的体力为 ，则作用于微元体上的总，则作用于微元体上的总体力为体力为 ，另微元体加速度为，另微元体加速度为 ，应用牛顿定律可得：，应用牛顿定律可得：即即- 也可直接由流体的纳维也可直接由流体的纳维斯托克斯方程斯托克斯方程 (

4、N-S方程方程)对于无粘流体，有对于无粘流体，有 ，故有，故有欧拉方程欧拉方程 ()pppijk dxdydzpdxdydzxyz FbF dxdydzFdxdydzpdxdydza dxdydzapFpaFa 2graddiv(2)grad( div )3DvFpSvDt0,PpI gradDvpFpFaDt ()pDvvFvvDtt 2022-4-296连续方程连续方程 - （涉及（涉及质量守恒律质量守恒律:由一个流体系统中的流体质量在运动过程中保由一个流体系统中的流体质量在运动过程中保持不变。按雷诺输运定理，即在一固定空间中流体质量的减少持不变。按雷诺输运定理，即在一固定空间中流体质量的

5、减少率等于单位时间内通过控制体表面流出的流体净质量）率等于单位时间内通过控制体表面流出的流体净质量） 调和方程调和方程(拉普拉斯方程拉普拉斯方程) - （涉及亥姆霍兹定理：体力有势的无粘正压流体（涉及亥姆霍兹定理：体力有势的无粘正压流体,沿任一条由相同质沿任一条由相同质点构成的封闭线之环量不随时间变化，由此可知，流体若开始点构成的封闭线之环量不随时间变化，由此可知，流体若开始流动时处处无旋，则以后时刻保持无旋）流动时处处无旋，则以后时刻保持无旋） 伯努利方程（拉格朗日积分）伯努利方程（拉格朗日积分）- （涉及体力有势的无粘正压（涉及体力有势的无粘正压流体的流体的欧拉运动方程欧拉运动方程应用）应

6、用）0v20 2()02pgzt7 第三章第三章 流体运动的基本方程组流体运动的基本方程组 1. 系统与控制体系统与控制体 系统系统 - 某一确定流体质点集合的总体称为系统某一确定流体质点集合的总体称为系统,系统以外部分系统以外部分称为外界称为外界,其与系统的分界面称为边界。其与系统的分界面称为边界。 - 系统的特点为：系统的特点为：(i)系统内质点始终包含在系统内，系系统内质点始终包含在系统内，系统边界的形状和空间大小一般随运动而变；统边界的形状和空间大小一般随运动而变；(ii)系统与外界系统与外界无质量交换，可有力的相互作用和能量交换无质量交换，可有力的相互作用和能量交换(类似理论力学类似

7、理论力学质点系特性质点系特性) 。 - 以系统为研究对象的运动描述方法为拉格朗日描述法。以系统为研究对象的运动描述方法为拉格朗日描述法。 控制体控制体 - 流体所在空间以假定或真实流体边界包围且一般固定不流体所在空间以假定或真实流体边界包围且一般固定不动而形状任意的空间体积称为控制体，其表面称为控制面。动而形状任意的空间体积称为控制体，其表面称为控制面。 -控制体特点为：控制体特点为：(i)控制体形状和空间大小一般不变，相控制体形状和空间大小一般不变，相对某一坐标固定不动，而控制体内质点组成可能变化。对某一坐标固定不动，而控制体内质点组成可能变化。 (ii)控制体与外界可能存在质量和能量交换以

8、及力的相互作用。控制体与外界可能存在质量和能量交换以及力的相互作用。 -控制体以空间变量描述运动，称为欧拉描述法。控制体以空间变量描述运动，称为欧拉描述法。 8 2. 雷诺输运定理雷诺输运定理 基本定理基本定理 - 某时刻一可变体积上某时刻一可变体积上系统总物理量的时间变化率系统总物理量的时间变化率,等于该时等于该时刻所处刻所处控制体中物理量的时间变化率控制体中物理量的时间变化率加上加上单位时间通过该控制单位时间通过该控制体边界净输运的流体物理量体边界净输运的流体物理量，其数学表达式为，其数学表达式为 式中，式中， 为为t时刻单位体积流体的某物理量分布函数，而时刻单位体积流体的某物理量分布函数

9、，而 为为t时刻流体域时刻流体域 上的总物理量（例如总流体上的总物理量（例如总流体 质量为质量为 ）。）。 分析：分析：设设 时刻体积在空间位置时刻体积在空间位置 上，上， 时刻体积在空间位置时刻体积在空间位置 上，由：上，由： ( , )f r t( )( )( , )tI tf r t d( )( )( , )tM tr t dt( ) ttt()tt()( )00( ,)( , )( )()( )limlimtttttf r tt df r t dDI tI ttI tDttt 2022-4-299 现将现将 分为分为两部分两部分，即与即与 (视为控制体视为控制体)重合部分重合部分 以以

10、及及新占区域新占区域 ，而从，而从 空出部分可设为空出部分可设为 (均取均取 时刻时刻)，故有，故有 由此由此 对于第一个极限，有：对于第一个极限，有： 其中其中 为为 边界底面积面元，边界底面积面元， 为沿边界外法向单位矢量为沿边界外法向单位矢量 方向的边长方向的边长,也即也即体元高体元高，相应有，相应有 31000()()()( )limlimlimtttIttIttI ttI tttt 0( )()( )limtDI tI ttI tDtt ()tt213131213()(); ()()ttttttI ttIIII 111000( ,)( ,)()limlimlimStttf r tt

11、df r tt v ndA tIttttt ()dv n t dA dAv n t tt( )( )( , )tI tf r t d 131213()(); ()()ttttttI ttIIII 12SSS故故式中式中 为为 与与 之界面，极限表示单位时间从之界面，极限表示单位时间从 上移出的物理量。上移出的物理量。对于第二个极限有：对于第二个极限有：对于第三个极限有：对于第三个极限有：式中式中 为为 与与 之界面，极限表示单位时间从之界面，极限表示单位时间从 上移入的物理量。上移入的物理量。 与与 构成构成 的全部边界的全部边界 ,则有则有相应相应0()( )lim( , )tIttItIf

12、 r t dttt 320()lim( , )()StIttf r t v ndAdv ndA tt 11100( ,)()limlim( , )SSttf r tt v ndA tIttf r t v ndAtt 1S11S2S32S2S1SS控制体中物理量的时间变化率控制体中物理量的时间变化率单位时间通过控制体边界净输运的流体物理量单位时间通过控制体边界净输运的流体物理量*若控制体固定不变形，则可有若控制体固定不变形，则可有123100()()limlimttIttItttt 单位时间从单位时间从 表面表面S净向外输运的物理量净向外输运的物理量0( )()( )limtDI tI ttI

13、tDtt 31000()()()( )limlimlimtttIttIttI ttI tttt 13()()(), ( )( )ttttI ttIIIII tIt 也即也即( , )If r t dtt控制体中物理量的时间变化率控制体中物理量的时间变化率( )( )( , )( , )ttf r tf r t ddtt其中其中2022-4-2913 3. 微分连续性方程微分连续性方程 流体力学基本方程组的一般概念流体力学基本方程组的一般概念 - 流体运动遵循的基本定律包括：流体运动遵循的基本定律包括：质量守恒律质量守恒律、动量平衡动量平衡律律、动量矩平衡律动量矩平衡律、能量守恒律及熵不等式能量

14、守恒律及熵不等式，其，其补充方程包补充方程包括本构方程和状态方程括本构方程和状态方程等。定律的数学表达方式包括拉格朗等。定律的数学表达方式包括拉格朗日型和欧拉型，后者常用于对流体物理量分布的计算。另定日型和欧拉型，后者常用于对流体物理量分布的计算。另定律的数学表达形式包括律的数学表达形式包括微分和积分形式微分和积分形式。 质量守恒律的基本含义质量守恒律的基本含义 - 一个流体系统中的流体质量在运动过程中保持不变一个流体系统中的流体质量在运动过程中保持不变。按。按雷诺输运定理，即在一个固定空间（控制体）中流体质量的雷诺输运定理，即在一个固定空间（控制体）中流体质量的减少率（单位时间内控制体中流体

15、质量的减少）等于单位时减少率（单位时间内控制体中流体质量的减少）等于单位时间内通过该控制体表面流出的流体净质量间内通过该控制体表面流出的流体净质量,也即有也即有 微分形式连续性方程推导微分形式连续性方程推导如图示如图示 ()()udx udx dydz txx()uuuxxx2022-4-2915 () t dxdydzt16 17()fafaaf 对于均质不可压流体对于均质不可压流体均质不可压流体均质不可压流体2022-4-2918 *积分法推导积分法推导定常运动或均质定常运动或均质不可压流中，有不可压流中，有管道截面上流动均匀的均质不可压管道截面上流动均匀的均质不可压流体满足关系流体满足关

16、系1 12 2V AV AVAc 对于定常流动，单位对于定常流动，单位时间通过流管各截面的时间通过流管各截面的流体质量守恒流体质量守恒2022-4-2919* 在定常流中，流管形状不变，像固定的管道在定常流中，流管形状不变，像固定的管道 2/2例例 在在下图所示下图所示的收缩喷管流场中，设的收缩喷管流场中，设 截面附近的截面附近的 点的点的轴向速度为轴向速度为 ，速度梯度为速度梯度为 ， 点在点在 点的上方点的上方 处。处。 求求 点横向速度分量。点横向速度分量。分析：分析：由不可压缩流动连续性方程由不可压缩流动连续性方程可得可得本例说明本例说明 点点 x方向正的速度梯度引起方向正的速度梯度引

17、起y 方向负的速度梯度方向负的速度梯度，两侧质点向轴心流动。，两侧质点向轴心流动。1A1asmu38.101 -s86.24xu1a1a1a0yvxuv24.86 /= 0.0050.124/vusyyxymvvms 而， 故1a5mm2022-4-29定常运动中，有定常运动中，有流动均匀的均质不可压流体流动均匀的均质不可压流体2022-4-2922*收缩喷管定常流动：迁移加速度收缩喷管定常流动：迁移加速度 下图为一圆锥形收缩喷管，长为下图为一圆锥形收缩喷管，长为36cm，底部，底部A0和和A3的直径分别的直径分别为为9cm和和3cm，恒定流量，恒定流量Q=0.02m3/s;试试按一维流动计算

18、四个按一维流动计算四个依序等距依序等距截面截面（如图示）（如图示）上的速度和加速度。上的速度和加速度。9/2 3/20.045tan0.0450.0453612xrxx其中其中A的半径为：的半径为：2022-4-2923分析：分析：取轴向流动方向为取轴向流动方向为x轴，轴，底部为原点。喷管内为定常流动，底部为原点。喷管内为定常流动，当地加速度当地加速度（速度的局部导数）（速度的局部导数）为零，只有迁移加速度为零，只有迁移加速度（速度的（速度的位变导数）位变导数）。按一维流动计算。按一维流动计算，设，设V为为距底部距离为距底部距离为x的的管截面上管截面上的平均速度的平均速度，则对应的，则对应的面积、速度和加速度面积、速度和加速度算式算式分别为分别为 2230.02350.0436/(/ ),(/)VxVQA m saV