《数值计算的误差》ppt课件

1、 第一章 绪论1.2 数值计算的误差数值计算的误差1.2.1 误差的来源误差的来源运用数学工具处理实践问题，首先，要对被描画的实践问题进展笼统、简化，得到实践的数学模型。数学模型与实践问题之间会出现的误差，我们称之为模型误差。其中 是由实验观测得到的常数， 那么称 为模型误差， 是 的观测误差。a,0000239.0 ,0000237.0attlL0000238. 0aa,/0000238.0),1 (0CaatLlot 例如，设一根铝棒在温度t时的实践长度为Lt ， 在t=0 时的实践长度为L0，用lt来表示铝棒在温度为t时的长度计算值，并建立一个数学模型： 在数学模型中，通常要包含一些由观

2、测数据确定的参在数学模型中，通常要包含一些由观测数据确定的参数。对数学模型中一些参数的观测结果普通不是绝对准确的。我们把观测数。对数学模型中一些参数的观测结果普通不是绝对准确的。我们把观测模型参数值产生的误差称为观测误差。模型参数值产生的误差称为观测误差。 第一章 绪论在解实践问题时，数学模型往往很复杂，因此不易获得分析解，这就需求建立一套行之有效的近似方法和数值方法。我们能够用容易计算的问题替代不易计算的问题而产生误差，也能够用有限的过程替代无限的过程而产生误差。我们将模型的准确解与用数值方法求得的准确解之间的误差称为截断误差或方法误差。例如，对函数例如，对函数.,)!12() 1(.! 7

3、! 5! 3sin12753nxxxxxxnn当当|x|较小时，我们假设用前三项作为较小时，我们假设用前三项作为sinx的近似值，那么截断误差的绝对的近似值，那么截断误差的绝对值不超越值不超越!7/7x 第一章 绪论在数值分析中，除了研讨数学问题的算法外，还要研讨计算结果的误差能否满足精度要求，这就是误差估计问题。在数值计算方法中，主要讨论的是截断误差和舍入误差。1.2.2 误差与有效数字误差与有效数字定义 1.1 设 是某实数的准确值， 是它的一个近似值，那么称 为近似值 的绝对误差，或简称误差。 称为 的相对误差。 AxAxx AxxxxA/ )（Axx用计算机做数值计算时，普通也不能获得

4、数值计算公式的准确解，需求对原始数据、中间结果和最终结果取有限位数字。我们将计算过程中取有限位数字进展运算而引起的误差称为舍入误差。 例如，例如， 假设我们取小数点后四位数字，那么假设我们取小数点后四位数字，那么 就是舍就是舍入误差。入误差。.33333.03/1.000033. 03333. 03/ 1 第一章 绪论当当 时，相对误差没有意义。在实践计算中，准确值时，相对误差没有意义。在实践计算中，准确值 往往是不往往是不知道的，所以通常把知道的，所以通常把 作为作为 的相对误差。的相对误差。0 xxAAxxx/ )( Ax 定义定义1.2 设设 是某实值的准确值，是某实值的准确值， 是它的

5、一个近似值，并可对是它的一个近似值，并可对 的绝对误差作估计的绝对误差作估计 ，那么称，那么称 是是 的绝对误差界，或者称的绝对误差界，或者称误差界。称误差界。称 是是 的相对误差界。的相对误差界。AxAxAAxx AAxAAx/ Axx 例例1.1 我们知道我们知道 假设取近似值假设取近似值 ，那么，那么 ，可以估计绝对误差界为，可以估计绝对误差界为0.002,相对误差界为相对误差界为0.0006。 1415926. 3 14. 3 A 0015926. 0 A 解解 由于实践问题中所截取的近似数，其绝对误差界普通不超越最小刻由于实践问题中所截取的近似数，其绝对误差界普通不超越最小刻度的半个

6、单位，所以当度的半个单位，所以当 时，有时，有 ，其相对误差界为，其相对误差界为cmx954 cmA5 . 0 %.5300005241095450 xA例例1.2 1.2 丈量一木板长是丈量一木板长是954cm954cm，问丈量的相对误差界是是多大？，问丈量的相对误差界是是多大？ 第一章 绪论 定义1.3 设 是 的一个近似值，将 写成AxxAxikAaaax21.010 (1.2.1)它可以是有限或无限小数的方式，其中它可以是有限或无限小数的方式，其中 是是0，1，9中的中的一个数字，一个数字， 为整数。假设为整数。假设), 2 , 1( iaika, 01 ,105 . 0nkAxx 那

7、么称那么称 为为 的具有的具有 位有效数字的近似值。位有效数字的近似值。Axxn可见，假设近似值 的误差界是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 位有效数字的近似值。AxAxn 第一章 绪论通常在 的准确值知的情况下，假设要取有限位数的数字作为近似值，就采用四舍五入得到的近似值，其绝对误差界可以取被保管的最后数位上的半个单位。x显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差越小，反之也对。下面，我们给出相对误差界与有效数字的关系。 定理1.1 设 的近似值 有1.2.1的表达式。xAx1假设假设 有有 位有效数字，那么位有效数字，那么Axn;102111nAAaxxx 1.2.2。3210

8、5.0142.3,105.014.3 按定义，按定义，3.14和和3.142分别是具有三位和四位有效数字的近似值。分别是具有三位和四位有效数字的近似值。例如例如 第一章 绪论证证 由由1.2.1可得到可得到。）（111110110 kAkaxa1.2.4所以，当所以，当 有有 位有效数字时，位有效数字时，Axn，nknkAAaaxxx 1111102110105 . 0即即1.2.3得证。得证。那么那么 至少具至少具 位有效数字。位有效数字。2假设假设，）（nAAaxxx 11101211.2.3Axn由由1.2.3和和1.2.4有有 ，）（）（nknkAaaxx 105 . 01012110

9、11111即阐明即阐明 有有 位有效数字，位有效数字，2得证。得证。Axn 第一章 绪论 例1.3 知近似数 的相对误差界为0.3%，问 至少有几位有效数字？AxAx1.2.3 函数求值的误差估计函数求值的误差估计 对一元函数 , 自变量x的一个近似值为 ，以 近似 ，其误差界记作 。假设 具有2阶延续导数，与 的比值不太大，那么可忽略 的二次项，由Taylor展开式得到 的一个近似误差界：）（xf)( Axf）（xfAx）（Axf）（Axf ）（xf）Axf ( Axx ）（Axf)()()(AAAxxfxf 解 设 有 位有效数字，由于 的第一个有效数 没有详细给定，而我们知道 一定是1，

10、2， ，9中的一个，由nAx1a1a1210)19(21102110003 AAxxx故由故由1.2.3式知式知 =2，即，即 至少有至少有2位有效数字。位有效数字。nAxAx 第一章 绪论其中其中 可以得到函数值的一个可以得到函数值的一个近近似误差界：似误差界：）。，（）（nAAAkAkxxxfxxf21 ，），（），（)()(12121kAkAnkknAAAnxxxfxxxfxxxf 对n元函数 ，自变量 的近似值分别为 ，那么有），（nxxxf21nxxx， 21,21nAAAxxx ）。（）（），（kAnkAknAAAxxfxxxf121特别地，对特别地，对 有有2121xxxxf ）

11、，（）。（）（）（AAAAxxxx2121 同样，可以得到同样，可以得到），），（）（）（AAAAAAxxxxxx122121 。，）（）（）（0222122121 AAAAAAAAxxxxxxxx 第一章 绪论解解 这里这里 并且有并且有 ，）（，）（2 . 02 . 0 AAdl 。，210800mdlSldSdlSAAA 于是有误差界于是有误差界2422 . 0902 . 0120mSA ）（ 相对误差界相对误差界。）（）（%39. 01080042AAAArdlSSl 例1.4 设有长为 ,宽为 的某场地。现测得 的近似值 M,d 的近似值 =90M，并知它们的差界为 试估计该场地面积

12、 的误差界和相对误差界。ld120 AlAd.2 . 0,2 . 0mddmllAA lds l 第一章 绪论例例1.5 设有三个近似数设有三个近似数，24. 293. 131. 2 cbabcap p它们都有三位有效数字。试计算它们都有三位有效数字。试计算 的误差界，并问的误差界，并问 的计算结的计算结果能有几位有效数字？果能有几位有效数字？ 。6332. 624. 293. 131. 2 p解解 于是有误差界于是有误差界 ）（）（）（bcap ）（）（）（bccba 02585.024.293.1005.0005.0 ）（相对误差界相对误差界。）（）（%39. 06332. 602586.

13、 0 pppr 由于由于 所以所以 能有两位有效数字。能有两位有效数字。,05. 002585. 0 ）（p 6332. 6 p1.2.4 计算机中数的表示和舍入误差计算机中数的表示和舍入误差 恣意一个非零实数用1.2.1表示，是规格化的十进制科学记数方法。在计算机中通常采用二进制的数系或其变形的十六进制等，并且表示成与十进制类似的规格化方式，即浮点方式 第一章 绪论十进制输入计算机时转换成二进制，并对 位后面的数做舍入处置，使得尾数为 位，因此普通都有舍入误差。两个二进制数作算术运算时，对计算结果也要作类似 的舍入处置，使得尾数为 位，从而也有舍入误差。ttt在实现计算时，计算的最后结果与计算的准确解之间的误差，从根本上说是由机器的舍入误差呵斥的，包括输入数据和算术运算的舍入误差。因此有必要对计算机数的浮点表示方法和舍入误差有一个初步的了解。有时为了分析某一个计算方法能够出现的误差景象，为了顺应人们的习惯，我们会采用十进制实数系统进展误差分析。，tm 21. 02 这里整数这里整数m称为阶码，用二进制表示为称为阶码，用二进制表示为 或或1 , S是阶