9第九讲刚体定轴转动定律ppt课件

1、1:2 1 理解刚体对定轴的力矩、角动量和转动惯量概念. 2 掌握刚体绕定轴转动的转动定律. 3 3 能运用转动定律分析和解决刚体定轴转动能运用转动定律分析和解决刚体定轴转动的力学问题。的力学问题。:本节内容提纲本节内容提纲1.1.刚体对定轴的力矩、角动量和转动惯量概念。刚体对定轴的力矩、角动量和转动惯量概念。2.2.刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律. .:Pz*OFdMFd : 力臂d 刚体绕 O z 轴旋转，力 作用在刚体上点 P，且在转动平面内， 为由点O 到力的作用点 P 的径矢。 FrFrM 对转轴 z 的力矩 FMrrFM 或写成：或写成： sinMFr :zOkr

2、zFFFFrkMzrFMzsin 1 1若力若力 不在转动平面内，把力分解为平行不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量：和垂直于转轴方向的两个分量： F 其中其中 对转轴对转轴Z Z的的力矩为零，故力矩为零，故 对转轴对转轴Z Z的力矩为：的力矩为：zFF讨论：讨论：zFFF只计算垂直于转轴方向的力对转轴的力矩即可。只计算垂直于转轴方向的力对转轴的力矩即可。:0,0iiMF0,0iiMFFFFF2 2合力矩等于各分力矩的矢量和。合力矩等于各分力矩的矢量和。321MMMM留意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。留意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。:jiijMMj

3、ririjijFjiFdOijMjiM3)3)刚体对转轴的力矩：刚体对转轴的力矩：ijjiFFsinjijjF r 阐明：阐明：1.1.沿同一作用线的大小相等，方向相反的两沿同一作用线的大小相等，方向相反的两个力对转轴的合力矩为零个力对转轴的合力矩为零2.2.由于刚体内质点间的作用力总是成对出现的，故由于刚体内质点间的作用力总是成对出现的，故刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩应为零刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩应为零04 4计算力对轴的力矩时，可用正负号来表示力矩的方向。计算力对轴的力矩时，可用正负号来表示力矩的方向。设刚体由设刚体由n n个质点个质点质点质点系组成系组成( (一对

4、内力的力矩一对内力的力矩) )sinjjr i j M sinij iiF r siniird :mo例：一匀质细杆，长为例：一匀质细杆，长为 l l 质量为质量为 m m ，在摩擦系数，在摩擦系数为为 的水平桌面上转动，求：摩擦力的力矩的水平桌面上转动，求：摩擦力的力矩 M M阻。阻。解：解：dmdxxx细杆的质量密度：细杆的质量密度：lm 质元质量：质元质量：dxdm 质元受阻力矩：质元受阻力矩：dmgxdM 阻阻细杆受的阻力矩：细杆受的阻力矩：阻阻阻阻dMM221glmgl 21lgxdx0杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩

5、不 同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，微元法：微元法：:R例：如图一圆盘面密度为例：如图一圆盘面密度为，半径为，半径为R R，与桌面的，与桌面的摩擦系数为摩擦系数为，求：圆盘绕过圆心且和盘面垂直的，求：圆盘绕过圆心且和盘面垂直的轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。O解：取一小环为面元，其质量为解：取一小环为面元，其质量为rdrdf若圆盘以若圆盘以0 0 的初角速度转动，的初角速度转动， 圆盘转多少圈静止？圆盘转多少圈静止？drgrdM22drr2dm gdmdfdrgr2dfrdMdrgr22Rdrg

6、rM022 332gR 问题：问题：:10Oirz刚体上任一质元在垂直刚体上任一质元在垂直于于 z 轴的平面内作圆周运动。轴的平面内作圆周运动。im 2iii ii iLmrm r 刚体对固定轴的角动量为：刚体对固定轴的角动量为： 2iizrmL )(2iirm 对 z 轴的角动量沿 z 轴正向，大小为：2iizrmJ 刚体对刚体对 z z 轴的转动惯量。轴的转动惯量。（所有质元的角动量之和）（所有质元的角动量之和）im ivLrm :11JLzz刚体对刚体对 z 轴的角动量为：轴的角动量为：即：刚体绕定轴转动时，即：刚体绕定轴转动时，对转轴的角动量，等于刚对转轴的角动量，等于刚体对转轴的转动

7、惯量与角体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。速度的乘积。2iizrmJ 刚体对刚体对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量Oirimivz:对确定的刚体、给定的转轴，转动惯量是一常数。对确定的刚体、给定的转轴，转动惯量是一常数。刚体的转动惯量的大小：刚体的转动惯量的大小：1 1与刚体的总质量、外形、大小有关。与刚体的总质量、外形、大小有关。2 2与质量对轴的分布有关。与质量对轴的分布有关。3 3与轴的位置有关。与轴的位置有关。,2iirmJ mrJd2定义：定义：质量元质量元dm第第 i个质点的质量个质点的质量im 到转轴的距离到转轴的距离irimr 到转轴的距离到转轴的距离dm: 质量离散分布刚体的转

8、动惯量：质量离散分布刚体的转动惯量：2222112rmrmrmJiii 转动惯性的计算方法转动惯性的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量：质量连续分布刚体的转动惯量：mrJd2 ：质量元md线分布线分布体分布体分布面分布面分布dldm : 质量线密度 dSdm : 质量面密度 dVdm : 质量体密度 : 一般地一般地, ,只有对于几何形状规则、只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体才能用积质量连续且均匀分布的刚体才能用积分计算出刚体的转动惯量。对于形状分计算出刚体的转动惯量。对于形状复杂的刚体通常通过实验测得其转动复杂的刚体通常通过实验测得其转动惯量。惯量。参见教材参见教材p85p8

9、5几种常用刚体的转动惯量几种常用刚体的转动惯量:15 若连接两小球视为质点的轻细硬杆的质量可以忽略，那么：转轴转轴 2iirmJ222211rmrm 2iirmJ222211)60sin()60sin( lmlm转轴转轴例例1 1：可视为分离质点结构的刚体：可视为分离质点结构的刚体:例例2 2 如下图，套两个质点的轻质细杆，长为如下图，套两个质点的轻质细杆，长为l l ， 求求: :通过通过o o 点并垂直杆的轴的转动惯量。将两质点点并垂直杆的轴的转动惯量。将两质点换位再作计算。换位再作计算。解：解： 由由2i iiJm r232ml( )22122lJmmlo m 2mo m 2m294ml

10、( )22222lJmml结论：结论：21JJo 2m m o 2m m 2ll:MoR例例3：半径为：半径为 R 质量为质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求：转动惯量面的质心轴转动，求：转动惯量 J。解：解：dmdmRJM02质量元质量元 dm，各质量元到，各质量元到轴的距离相等，轴的距离相等，MdmR022MR绕圆环质心轴的转动惯量绕圆环质心轴的转动惯量: :2MRJ 微元法：微元法：2dJR dm:184032d2RrrJR 解：设圆盘面密度为解：设圆盘面密度为 ， rrmd2d 圆环质量：圆环质量：221mRJ rrmrJd2dd32 圆环对轴的转

11、动惯量：圆环对轴的转动惯量：例例4： 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，的均匀圆盘，求：通过盘中心求：通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量。并与盘面垂直的轴的转动惯量。mR圆盘的转动惯量为：圆盘的转动惯量为：2mR 在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环。的圆环。rdr:lOO解：设棒的线密度为解：设棒的线密度为ml ,ddmr lrrJ02d rd32/02121d2lrrJl 231mlrrrmrJddd22 例例5：一质量为：一质量为 、长为、长为 的均匀细长棒，的均匀细长棒，求：通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。求：通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。

12、ml2l2lOO2121ml如转轴过端点垂直于棒：如转轴过端点垂直于棒：转动惯量与轴的位置有关。转动惯量与轴的位置有关。r取一距离转轴取一距离转轴 OO 为为 处的质量元：处的质量元： rrd:2mdJJCO 平行轴定理平行轴定理P 转动惯量的大小取决于刚体的质量、形转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置状及转轴的位置 . 质量为质量为 的刚体，如的刚体，如果对其质心轴的转动惯量果对其质心轴的转动惯量为为 ，则对任一与该轴平，则对任一与该轴平行，相距为行，相距为 的转轴的转的转轴的转动惯量动惯量CJmddCOm留意留意2221mRmRJP如：圆盘对如：圆盘对P P 轴的转动轴的转动惯

13、量惯量RmO:解：绕细杆质心的转动惯量为：解：绕细杆质心的转动惯量为：2112CJml绕杆的一端转动惯量为绕杆的一端转动惯量为: :221122lJmlm231mllCO例例6：再以长为：再以长为 l、质量为、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端的匀质细杆，绕细杆一端轴转动为例，利用平行轴定理轴转动为例，利用平行轴定理,求：转动惯量求：转动惯量 J 。:22例例7：如下图，求：刚体对经过棒端且与棒垂直的：如下图，求：刚体对经过棒端且与棒垂直的 轴的转动惯量？轴的转动惯量？( 棒长为棒长为L、圆半径为、圆半径为R ），2131LmJLL221RmJOO22dmJJOOL222)(2131RLmRm

14、LmJOOLLmOmOOO()2212OOm RmLR:牛顿第二定律指出：力使质点产生加速度。事实表明：事实表明：要改变一个物体的转动状态，使之产生角加速度，光有力的作用是不够的，必须有力矩的作用。比如：门绕轴的转动。比如：门绕轴的转动。刚体定轴转动中的角加速度是怎样产生的呢？刚体定轴转动中的角加速度是怎样产生的呢？力矩：反映力的大小、方向、作用点对物体转动的影响。力矩：反映力的大小、方向、作用点对物体转动的影响。:Ozim 刚体定轴转动定律的推导：刚体定轴转动定律的推导：取刚体内任一质元取刚体内任一质元mi ，它，它所受合外力为所受合外力为 ，内力为，内力为 。iFifiiiiamfF 对对

15、mi 用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：（法向力作用线通过轴，（法向力作用线通过轴， 力矩为零。）力矩为零。）两边乘以两边乘以ri ：iitiiitiitramrfrF 2iiiitiitrmrfrF求和：求和：iriFif 2iirmitiititamfF 切线方向：切线方向：: )(2iiiitiitrmrfrF用用 M M 表示合外力矩，有：表示合外力矩，有：JM 转动定律转动定律 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。成正比，与刚体的转动惯量成反比。阐明阐明: :3） M、J、 是对同一轴而言的。是对同一轴而言的。

16、4 4具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。2 2是矢量式在定轴转动中力矩只有两个方向）。是矢量式在定轴转动中力矩只有两个方向）。5 5刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。合外力矩合外力矩内力矩的和为零）内力矩的和为零）J1 1刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。: 转动定律的应用转动定律的应用解题步骤：解题步骤：1确定研究对象，采用隔离法；确定研究对象，采用隔离法； 2受力分析，画出受力图，找出力受力分析，画出受力图，找出力矩；矩； 3建坐标；建坐标； 4列方程；列方程； 5解方程，进行必要的讨

17、论。解方程，进行必要的讨论。JM 留意留意:1 1力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；2 2可先设定转轴的正方向，以便确定已知力矩或可先设定转轴的正方向，以便确定已知力矩或 角加速度、角速度的正负；角加速度、角速度的正负；3 3系统中既有转动物体又有平动物体时，那么：系统中既有转动物体又有平动物体时，那么： 对转动物体按转动定律列方程；对转动物体按转动定律列方程； 对平动物体按牛顿定律列方程。对平动物体按牛顿定律列方程。:解：解：2m1mJ1m g2m g 力和力矩分析，力和力矩分析，按隔离法，按隔离法，建坐标。建坐标。y0对质点用牛顿定律对质点用牛顿定律对

18、刚体用转动定律对刚体用转动定律ar 222Tm gm a 12TrT rJ 111m gTm a限制性条件限制性条件212JMR2T2T1T1T:2812212/mmagmmJ r 解得：解得：22211212(/)/mmJ rTm gmmJ r 21122212(/)/mmJ rTm gmmJ r:例例9：一长为：一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其下端与匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链一固定铰链 O 相接，并可绕其转动。由于此竖直放置相接，并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由

19、静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动。试计算：转动。试计算：细杆转动到与竖直线成细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。lm 解：细杆受重力和解：细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得：作用，由转动定律得：NF:)cos1(3lg式中式中231mlJ ddddddddtt得得lgsin23由角加速度的定义由角加速度的定义:lgdsin23dsin2lmgJlg002cos2321由转动定律得：由转动定律得：sin003dd2gl :例例10：物体：物体 m1 m2 ，定滑轮，定滑轮R，m轮轴无摩擦，绳子质量忽略，不伸长

20、、轮轴无摩擦，绳子质量忽略，不伸长、不打滑。求：重物的加速度及绳中张力不打滑。求：重物的加速度及绳中张力。解：解：Ra =轮轴无摩擦轮轴无摩擦轻绳不伸长轻绳不伸长轮绳不打滑轮绳不打滑（转动）（转动）（平动）（平动）（线（线-角）角）Rm1m2mT2m1gm2gT1T2T1a a 111m gTm a222Tm gm a12TR T RJ 221=mRJ:1211112122()/ 2m mmmTm gagmmmgmmmmmmmagmT2/212)(2122122gmmmmmRRa) 2/(121212/)(2121mmmgmmaT2m1gm2gT1T2T1a a 解得：解得：:12fTRT R

21、MJ fMT2m1gm2gT1T2T1a a 解：解：Ra =111m gTm a222Tm gm a221=mRJ:2/)212(2111211MmmRMmgmmmmTf2/)212(2122212mmmRMmgmmmmTf2/)(2121mmmRMgmmaffMT2m1gm2gT1T2T1a a 2121)(mmgmmagmmmmTT2121212解得：解得：:2121)(mmgmmagmmmmTT2121212Rm1m2m111m gTm a222Tm gm a:AFFMgMg作用的系统有两个对象作用的系统有两个对象F 直接作用在滑轮上直接作用在滑轮上2BFRMRJ AAFJFRRJ B

22、TRJ 隔离法隔离法AB 得得练习：一轻绳绕在半径练习：一轻绳绕在半径 r r 的飞轮边缘，的飞轮边缘，A:A:以重量以重量P P =98 N=98 N的物体挂在绳端的物体挂在绳端,B:,B:在绳端施以在绳端施以F=98 N F=98 N 的拉力，的拉力，飞轮的转动惯量飞轮的转动惯量 J J ，飞轮与转轴间的摩擦不计。求：，飞轮与转轴间的摩擦不计。求：A A和和B B角加速度哪个大？角加速度哪个大？B2BMgRMRJ A:MgB:T T BMgTMa平动平动转动转动BBaR :38 经过 o 点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为 JO= 1） 正三角形的各顶点处有一质点 m，用质量不计的细杆连

23、接，系统对通过质心 C 且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为：)33(lr ,ml2 cJ2mr3+ m l 2= 2ml 2= m l 2 + (3m) r 2 = 2ml 2例：质量离散分布刚体: J = mi ri2 m l 2olllcrmmm:39Rddmr2mR dldm Rd cosRr 2mJr dm22222cosRRd 3R 221mR :40yxJJ yxzJJJ xJ2 zxJJ21 221mR 2zmJR dm2mR xyR:41abydyabm dsdm ady 2212bbJyady 3121ab 2121mb :4222)2(bmJJC 2241121mbmb 231mb 220bJyady 231mb abydy:如图，求悬挂物加速度。如图，求悬挂物加速度。解：普通物理学教案例题：1R2m1m2R3T2T1T用隔离法用隔离法1111m gTm a2222Tm gm a31111()TTRJ 32222()TTRJ 111aR 22R 2a 联立联立求解求解:44例：在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各挂质量为m1、m2的物体。如滑轮与轴间的摩擦不计，滑轮的转动惯量为J。求：滑轮的角加速度及各绳中的张力T1、T2。2T1T1R2RO2m1m2T1T