电子科大MATLAB第13节 插值型积分

1、第五章第五章 数值积分数值积分第一节第一节 插值型积分插值型积分数值积分的概念( ),( )baf xf x dx目的：已知求1( )( )( )( )( )( )( )baf x dxF bF aF xf xF xf x 方法：牛顿-莱布尼兹公式： 其中，为原函数，clear allclose allclc syms x y = sin(x) * tan(x) int(y)积分的数值求法数值积分求法包括：数值积分求法包括：1、插值型数值积分、插值型数值积分2、高斯积分、高斯积分3、Monte-Carlo方法方法插值型积分求法 插值型积分思路：在被积函数上选择等间隔插值型积分思路：在被积函数上

2、选择等间隔n+1个点，做个点，做n阶阶多项式插值，用逼近多项式的积分值近似被积函数的积分值。多项式插值，用逼近多项式的积分值近似被积函数的积分值。 ( )( )( )( )( )( )( )=( )bbiiiiiiaabiiaf xf xxf x dxf xx dxa f xax dx 其中，矩形求积公式矩形求积公式0( )()f xf x0阶多项式插值梯形求积公式梯形求积公式01010110( )()()xxxxf xf xf xxxxx1阶多项式插值Simpson求积公式Simpson求积公式求积公式利用二阶插值公式近似计算积分。利用二阶插值公式近似计算积分。Simpson求积公式Simp

3、son求积公式Simpson求积公式的计算：求积公式的计算：2 , , ,22( -)( - )( - )( -)( - )( - )22 ( )( )()( )2( -)( - )(- )(- )( - )( -)22222 (ababa babLagrangeababxx bx a xx a x babP xf aff bababababaa babb a b：解： 步骤一、将区间 二等分： 步骤二、二次插值 222bbb()() ( )2()() ()()() ( )- )222( )( ) ( )4( )(62)bbaabaaaabaaxxb f axa xbb fxa xf bb a

4、f x dxPf affx dxP x dbx 步骤三、 Newton-Cotes求积公式 用更高阶插值来构造数值积分方法，称为用更高阶插值来构造数值积分方法，称为Newton-Cotes方法方法1020301015(4)012021:( ) ()()( )2122:( ) ()4 ()()( )3903:xxxxnTrapezoidalhhf x dxf xf xfxxnSimpsonhhf x dxf xf xf xfxxnSimps梯形（）积分公式： ， 其中，积分公式： ， 其中，30405(4)0123037(6)01234 3/8 33( ) ()3 ()3 ()()( )8804

5、:28( )7 ()32 () 12 ()32 ()7 ()( )45945xxxxonhhf x dxf xf xf xf xfxxnhhf x dxf xf xf xf xf xf积分公式： ， 其中， ， 其中04xx，插值求积公式的误差梯形公式的误差：梯形公式的误差：32 , ():( ),( )( )( , )12a bbaf xR ffa bC 定理 若 则有： : ( )( )( )( ( )( )bbbnnaaanR ff x dxP x dxf xP x dx定义 阶插值公式误差定义为： 插值求积公式的误差133( )( )( )()()( , )2( )()()()( )

6、()()( )12()( )( )12babaff xxxa xba bPfxa xb dxabfxa xb dxfbaR ff 证明： 由插值公式余项： 插值求积公式的误差4 , 55(4)(4)( ),:-( )( )-( )4 ()( )62( - )-( )-( )( , )902880a bbaf xCb aabR ff x dxf aff bhb aa bff 定理: 若 则 Simpson 求积公式的误差：求积公式的误差：Newton-Cotes求积公式误差3002200(2)( )1-,( - )/( , )( )2( )( , )( ) ( )( )(1).()(2)!nii

7、ninnbninaniia f xnNewton Cotesxa xb hb ana bnf x nf xCa bhff x dxa f xtttn dtn定理： 设为点公式，且， 则存在满足： 当 为偶数，且 阶连续，即，时： 2(110)0( )1( )( , )( ) ( )( )(1).()(1)!nnbniiainnnf x nf xCa bhff x dxa f xt ttn dtn 当 为奇数，且 阶连续，即，时：代数精度 (Degree of accuracy) 代数精度：若某个求积公式所对应的误差代数精度：若某个求积公式所对应的误差R f 满足：满足：R Pk =0 对任意对

8、任意 k n 阶阶的多项式成立，且的多项式成立，且 R Pn+1 0 对某对某个个 n+1 阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为 n 。 即：如果某求积公式对于即：如果某求积公式对于但对于但对于，则称此求积公式的，则称此求积公式的 。代数精度的判定022211122( )()( )1, ,.,-1(-)2.1(-)11(-)2bnkkkankkknnnkknnnkkf x dxA fnxf xx xxAb aA xbaA xbanA xban。，一般地，若要使求积公式： 具有 次代数精确度只要对 能精确成立即 代数精度的判定223( )1-( )(

9、- ),2-14 1 1-( )6( )-( ),22-( - )()4( )622babababasimpsonf xb af x dxb asimpsonhb ab af xf xxbab af x dxsimpsonhb abab a ababf x 例：证明方法的代数精度为证明：当时，利用公式计算得到： 当时，利用公式计算得到： 23322222( )-( ),32-( - )()4 ()( )623babaf xxbab af x dxsimpsonhb abab a aabbabf x 当时，利用公式计算得到： 代数精度的判定3443223333455444( )-( ),42-(

10、 - )()4 ()( )624( )-( ),52-4 ()( )62babababaf xxbab af x dxsimpsonhb abab a aa bb ababf xf xxbab af x dxsimpsonhb abaabf x 当时，利用公式计算得到： 当时，利用公式计算得到： 3.simpson所以积分代数精度为由于龙格现象，阶数越高，不稳定性越大，积分误差可能增加。由于龙格现象，阶数越高，不稳定性越大，积分误差可能增加。复合求积公式 应用高阶型插值求积公式计算积分会出现数值不稳应用高阶型插值求积公式计算积分会出现数值不稳定，而低阶公式（如梯形、辛普生公式）又因积分区定，而

11、低阶公式（如梯形、辛普生公式）又因积分区间步长过大使得离散误差大。间步长过大使得离散误差大。 办法：缩小办法：缩小步长步长，即把积分区间分成若干子区间，即把积分区间分成若干子区间，在每个子区间上使用低阶积分公式，再将结果加起来，在每个子区间上使用低阶积分公式，再将结果加起来，这种公式称为这种公式称为复合求积公式复合求积公式。1211 ( )( )( ).( )nbxxbaaxxf x dxf x dxf x dxf x dx定积分的区间可加性：复合梯形求积公式121112111(1)(2)( )111( )111( )( )( ).( ) ( )( ).( )( ) ()(),1,.,2nnk

12、kbxxbaaxxxxbnaxxxkkkkkxf x dxf x dxf x dxf x dxPx dxPx dxPx dxxxPx dxf xf xkn其中， 复合梯形求积公式：复合梯形求积公式：复合梯形求积公式复合梯形求积公式误差：复合梯形求积公式误差：332max1()()()( ),( , )121212nkkhhhR ffn fba fa b （ ）1211(1)(2)( )1111111111( )( )( ).( ) ()()2 ()()2( )2()( )2nbxxbnaaxxnkkkkknknkkkkf x dxPx dxPx dxPx dxxxf xf xhf xhf af

13、 xf bf x复合梯形求积公式：复合梯形求积公式：复合Simpson求积公式111( ) ()4 ()()62kkxkkkkxxxhf x dxf xff x根据根据SimpsonSimpson求积公式，在单个积分子区间内有：求积公式，在单个积分子区间内有：111100( ) ( )4()2()( )62nnbkkkakkxxhf x dxf aff xf b4(4) ( )1802ba hR ff 复合求积公式10222-4?-( ,)( )12( )( )(0,1)( )-11( ,)( )1012122xnnnxnIdxennSTb aR fh fTf xfxxfxeeb aR fh fehT例：计算积分 保留五位有效数字。试用梯形积分公式计算 ， 和simpson积分公式计算 解：梯