第五弯曲应力PPT学习教案

1、会计学1第五第五(d w)弯曲应力弯曲应力第一页，共71页。FS纯弯曲纯弯曲(wnq)：如图：如图CD段。段。剪切剪切( (横力）弯曲横力）弯曲(wnq(wnq)：如：如图图ACAC段段和和BDBD段。段。MABCDF aaF52 梁弯曲梁弯曲(wnq)时横截面上的时横截面上的正应力正应力纯弯曲梁纯弯曲梁：弯矩不为零，剪力为零弯矩不为零，剪力为零第1页/共71页第二页，共71页。（1 1）横线：变形）横线：变形(bin (bin xng)xng)后仍为直线，但后仍为直线，但转过一角度，并与纵转过一角度，并与纵线仍正交。线仍正交。MM一一. .纯弯曲纯弯曲(wnq)(wnq)梁的梁的正应力正应力

2、中性中性(zhngxng)(zhngxng)层与横层与横截面的交线截面的交线中性中性(zhngxng)(zhngxng)轴轴z z；z（2）纵线：弯成弧线纵线：弯成弧线，上部缩短，下部上部缩短，下部伸长伸长, ,中间有一层纵线既不中间有一层纵线既不伸长，也不缩短伸长，也不缩短中性层中性层。y对称轴对称轴1 1几何关系几何关系yz横线横线纵线纵线第2页/共71页第三页，共71页。（1 1）平面假设）平面假设(jish)(jish)：横截面变形后仍为平面，与：横截面变形后仍为平面，与弯曲后的纵线正交；弯曲后的纵线正交；基本基本(jbn)(jbn)假假设设 （2 2）单向受力假设：各纵向线（纤维）单

3、向受力假设：各纵向线（纤维(xinwi)(xinwi)）之）之间无挤压。每一纵向线处于单向受力状态。间无挤压。每一纵向线处于单向受力状态。1122MM第3页/共71页第四页，共71页。 （对称轴对称轴）z(中性轴中性轴）yy变形变形(bin xng)后中性层后中性层的曲率半径。的曲率半径。y任一纵线到中性任一纵线到中性(zhngxng)层的层的距离。距离。d1-1和和2-2截面截面(jimin)的相对的相对转角。转角。y中性中性层层1122dabo1 o2ba1212o1o2dx第4页/共71页第五页，共71页。任一条纤维任一条纤维(xinwi)的线应变为：的线应变为：y中性层中性层1122d

4、abo1 o21212a bo oo o ()y ddd y第5页/共71页第六页，共71页。2.物理物理(wl)关系关系:yzEyE第6页/共71页第七页，共71页。3.静力学关系静力学关系(gun x):zySz = 0中性中性(zhngxng)轴轴z通过横截通过横截面的形心。面的形心。Iyz =0梁发生梁发生(fshng)平面弯曲平面弯曲的条件。的条件。dAzyEIz弯曲刚度弯曲刚度0NzAAEEFdAydAS0yyzAAEEMzdAyzdAI2zzAAEEMydAy dAIM1zMEIzMyI第7页/共71页第八页，共71页。说明说明(shu(shumng)mng)：(2)(2)符号符

5、号(fho)(fho)：由：由M M与与y y的符号的符号(fho)(fho)确定确定的符号的符号(fho)(fho)； 线弹性线弹性(tnxng);弯曲截面系数弯曲截面系数WZ=ymaxIzzy由弯曲变形确定。由弯曲变形确定。maxmaxzzMyMIW(3)zMyI第8页/共71页第九页，共71页。 z z轴为对称轴为对称(duchn)(duchn)时：时： z轴为非对称时轴为非对称时: :二二. .纯弯曲正应力公式纯弯曲正应力公式(gngsh)(gngsh)的的推广推广ytzyyccmaxmaxtczMWmaxttzMyImaxcczMyI1( )( )zMxxEI( )zMx yImax

6、maxzMW第9页/共71页第十页，共71页。例例1 ：一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用：一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面积相同截面面积相同(xin tn)的矩形截面，圆形截面和的矩形截面，圆形截面和工字形截面工字形截面,试求以三种截面的最大拉应力。设矩形试求以三种截面的最大拉应力。设矩形截面高为截面高为140mm,宽为宽为100mm,面积为面积为14000mm2。 F20kNACB33第10页/共71页第十一页，共71页。解：该梁解：该梁C C截面截面(jimin)(jimin)的弯矩的弯矩最大，最大， Mmax=10 Mmax=103=30kN.m3=30kN.m矩形

7、(jxng)截面:F20kNACB33324311232.67 10 mm162zbhbhWh3maxmax530 1091.8MPa32.67 10zMW第11页/共71页第十二页，共71页。圆形截面圆形截面(jimin)133.5mmd =43336423.36 10 mm322zddWd3maxmax630 10128.4MPa23.36 10zMW24dAbh第12页/共71页第十三页，共71页。 工字形截面工字形截面(jimin)(jimin)。 选用选用50C50C号工字钢号工字钢, ,其截面其截面(jimin)(jimin)面积为面积为139000mm2139000mm2。 在承

8、受相同荷载和截面面积相同时，工字梁所产生的最大拉应力最小。反过来说，如果使三种截面所产生的最大拉应力相同时，工字梁所承受的荷载最大。因此(ync)，工字形截面最为合理，矩形截面次之，圆形截面最差。结论结论(jiln)如如下：下：332080 10 mmzW 3maxmax630 1014.4MPa2080 10zMW第13页/共71页第十四页，共71页。5-3 5-3 矩形矩形(jxng)(jxng)截面梁截面梁的切应力的切应力1 1、两点假设、两点假设(jish): (jish): （1）切应力与横截面的侧边）切应力与横截面的侧边(c bin)平行平行（2）切应力沿截面宽度均匀分布）切应力沿

9、截面宽度均匀分布bhF2F1q(x)zyhbFSx=0yz=0第14页/共71页第十五页，共71页。zyhbFS由切应力由切应力(yngl)互互等定理等定理第15页/共71页第十六页，共71页。bhFSFSmnnmMM+dMdxF2F1q(x)m ndx第16页/共71页第十七页，共71页。2、弯曲、弯曲(wnq)切应切应力公式力公式y所求点距中性所求点距中性(zhngxng)轴的距离。轴的距离。FSFSmnnmMM+dMdxmnzMyI ()zMdMyI 第17页/共71页第十八页，共71页。dxmnyz FN1FN2dF*SzzF SI bSdMFdx=y21NNdFFFmn*1*ddNz

10、AAzzMMFAy ASII式中：*2*ddddNzAAzzMMMMFAy ASIIddFb x第18页/共71页第十九页，共71页。FS 横截面上剪力。横截面上剪力。Iz 整个整个(zhngg)横截面对中性轴横截面对中性轴z的惯性矩。的惯性矩。b横截面宽度横截面宽度(kund)。S z* 横截面上距中性横截面上距中性(zhngxng)轴轴y处处 横线一侧横线一侧 截面对中性截面对中性(zhngxng)轴轴 的面积矩。的面积矩。dxmnyz FN1FN2dFy*SzzF SI b第19页/共71页第二十页，共71页。3、切应力沿截面、切应力沿截面(jimin)高度的高度的分布分布2236( )

11、()4xhybhS SF Fmaxmax3( )3( )0,22SSF xF xybhAhzby*SzzF SI b比较比较(bjio)第20页/共71页第二十一页，共71页。Fmmmm第21页/共71页第二十二页，共71页。1、腹板、腹板FS横截面上剪力。横截面上剪力。矩形截面的两个矩形截面的两个(lin )假定同样适用。假定同样适用。y zbhdh1翼翼缘缘腹板腹板一、工字形截面一、工字形截面(jimin)梁梁y5-45-4、其他形状、其他形状(xngzhun)(xngzhun)截面截面梁的切应力梁的切应力第22页/共71页第二十三页，共71页。dxh1byhFN1FN2dF*SzzF S

12、I dSdMFdx=21NNdFFF*1*ddNzAAzzMMFAy ASII式中：*2*ddddNzAAzzMMMMFAy ASIIddFd x*1111111()()()()2222 2222 2zhhhhhhhSbdyyy2222111 ()()2442hhhbdy第23页/共71页第二十四页，共71页。工字形截面工字形截面(jimin)(jimin)梁腹板梁腹板上的切应力上的切应力: :FS横截面上剪力。横截面上剪力。Iz 整个工字形截面整个工字形截面(jimin)对中性轴对中性轴z的惯性矩。的惯性矩。d腹板宽度腹板宽度(kund)。Sz* 距距z轴轴y处横线一侧处横线一侧 阴影部分截

13、面对阴影部分截面对z的面积矩。的面积矩。maxy zbhdh1y222211()()2444zhhhyI dS SF F*SzzF SI d第24页/共71页第二十五页，共71页。11（c）*1*NzAAzzMMFdAy dASII式中：*2*NzAAzzMdMMdMFdAy dASII1dFdx 其中其中 面积面积u 对中性轴的面积矩。对中性轴的面积矩。*zS*1()2zSuh2、翼缘、翼缘FN2FN1dxu（b）dxubuh21NNdFFF11*SzzF SI第25页/共71页第二十六页，共71页。11（c）第26页/共71页第二十七页，共71页。*maxmaxSzzF SI b44dA

14、=2428364ddSdFd43SFAzmaxydA第27页/共71页第二十八页，共71页。zR0max max *maxmax0222SzSzF SFIAAR第28页/共71页第二十九页，共71页。例例2 2：一：一T T形截面形截面(jimin)(jimin)外伸梁及其所受荷载如图外伸梁及其所受荷载如图所示。试求最大拉应力及最大压应力，并画出最大剪所示。试求最大拉应力及最大压应力，并画出最大剪力截面力截面(jimin)(jimin)上的切应力分布图。上的切应力分布图。q20kN/mACB2m4mD280zy60220c60第29页/共71页第三十页，共71页。解解:(1) 确定确定(qud

15、ng)横截面形横截面形心的位置心的位置.(2) 计算计算(j sun)横截面的横截面的惯性矩惯性矩Iz .Iz=186.6106mm4yc=180q20kN/mACB2m4mD280zy60220c60第30页/共71页第三十一页，共71页。22.5M(kN.m)1.5m40( (3) ) 画剪力、弯矩图画剪力、弯矩图. .q20kN/mACB2m4mD280zy60220c60280zy60220c60yc=1803050401.5m第31页/共71页第三十二页，共71页。(4) 计算计算(j sun)最大拉应力和最大压应力最大拉应力和最大压应力由于该梁的截面不对称于中性轴，因而横面上由于该

16、梁的截面不对称于中性轴，因而横面上(min shn)(min shn)下边缘的距离不相等，故需分别计算下边缘的距离不相等，故需分别计算B B、D D截面的最大拉应力和最大压应力，然后比较。截面的最大拉应力和最大压应力，然后比较。第32页/共71页第三十三页，共71页。 在在B截面截面(jimin)上的弯矩为负，故该截面上的弯矩为负，故该截面(jimin)上上边缘各点处产生最大拉应力，下边缘各点处产生最大压应力。边缘各点处产生最大拉应力，下边缘各点处产生最大压应力。t max = 4010310010-3/186.610-6=21.4 MPa,c max = 4010318010-3/186.6

17、10-6=38.6 MPa22.5M(kN.m)1.5m40q20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180第33页/共71页第三十四页，共71页。 D D截面上的弯矩为正，故该截面下边缘截面上的弯矩为正，故该截面下边缘(binyun)(binyun)各点处产生最大拉应力，上边缘各点处产生最大拉应力，上边缘(binyun)(binyun)各点处产生最大压应力：各点处产生最大压应力：t max = 22.510318010-3/186.610-6=21.7 MPa,c max = 22.510310010-3/186.610-6=12.1 MPa22.5M(kNm)1.5m4

18、0q20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180第34页/共71页第三十五页，共71页。t max = 21.7 MPa， 发生发生(fshng)在在D截面的下边缘各点处。截面的下边缘各点处。c max = 38.6 MPa， 发生在发生在B截面截面(jimin)的下边缘各点处。的下边缘各点处。第35页/共71页第三十六页，共71页。*39maxmaxmax6350 10180 60 90 104.34MPa186.6 1060 10SzzFSI b396350102206070104.13M Pa186.61060104.34MPa4.13MPa391max635010

19、806070101.5MPa186.6106010280zy60220c60FSmax=50kN截面上的切应力截面上的切应力(yngl)分布分布:yc=180第36页/共71页第三十七页，共71页。例例3 3：一矩形截面：一矩形截面(jimin)(jimin)外伸梁，如图所外伸梁，如图所示。现自梁中点处分别取四个单元体，试示。现自梁中点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并写出应力的表达画出单元体上的应力，并写出应力的表达式。式。qABl123l /4h /4l /4zbhmax第37页/共71页第三十八页，共71页。(2)画画FS 图和图和M 图图FSql/4ql/4ql/2ql/2M

20、M3ql2 /32ql2 /32ql2 /32qABl123l /4h /4l /43434ABFqlFql第38页/共71页第三十九页，共71页。12zbhmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2 /32ql2 /32ql2 /32qABl123l /4h /4l /4max3324SFqlbhbh2max2916qlbh第39页/共71页第四十页，共71页。34zbhmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2 /32ql2 /32ql2 /32qABl123l /4h /4l /4*916SzzF SqlI bbh22332zMyqlIbh第40页/共71页第四十

21、一页，共71页。54、梁的强度、梁的强度(qingd)计算计算 危险点危险点： 最大弯矩截面最大弯矩截面(jimin)的上、下底面各点为正应力危险的上、下底面各点为正应力危险点。点。最大剪力截面的中性最大剪力截面的中性(zhngxng)轴各点为切应力危险点。轴各点为切应力危险点。一、梁的强度计算一、梁的强度计算第41页/共71页第四十二页，共71页。1、等截面梁的正应力、等截面梁的正应力(yngl)强度条件为：强度条件为：注：弯曲容许正应力注：弯曲容许正应力(yngl)弯略大于轴向拉压容许正应力弯略大于轴向拉压容许正应力(yngl)轴，轴， 一般可取一般可取弯弯= 轴。轴。当当t c 时，需分

22、别时，需分别(fnbi)计算计算tmax和和cmax，使使 tmax t ， cmax c 。2、等截面梁的切应力强度条件为、等截面梁的切应力强度条件为: 校核强度；校核强度； 设计截面；设计截面； 求容许荷载。求容许荷载。 强度计算：强度计算：maxmaxzMW *maxmaxmaxSzzFSI b第42页/共71页第四十三页，共71页。注：注： 一般情况一般情况(qngkung)下，只需按正应力强度条件来进行强度计算，下，只需按正应力强度条件来进行强度计算， 不必对切应力作校核。不必对切应力作校核。 特殊情况下，需校核切应力特殊情况下，需校核切应力(yngl)强强度。度。a. FS 很大而

23、很大而 M 较小。较小。b.焊接或铆接的组合薄壁截面梁。如工字形截面，当复焊接或铆接的组合薄壁截面梁。如工字形截面，当复板高度很高，板高度很高， 厚度厚度(hud)很小时，腹板上产生相当大很小时，腹板上产生相当大的切应力。的切应力。 c. 木梁的顺纹向抗剪强度较低，应校核木梁的顺纹向抗剪强度较低，应校核顺顺。第43页/共71页第四十四页，共71页。例例4. 如图一简支木梁。已知：如图一简支木梁。已知：t = c = 10 MPa， = 2 MPa。梁截面梁截面(jimin)为矩形，为矩形，b = 80 mm，求高度。，求高度。2m10kN/mhbz解：由正应力强度条件解：由正应力强度条件(ti

24、ojin)确定截确定截面高度，再校核切应力强度。面高度，再校核切应力强度。1按正应力强度按正应力强度(qingd)条件条件计算计算h 。22max111( )22228llMqlqql=-=max, zMW由321101025000N m843max65000510m1010zMW22110.0866zWbhh而第44页/共71页第四十五页，共71页。可取可取(kq) h = 200 mm 。2切应力切应力(yngl)强度校核：强度校核：3max1110 10210000N22SFqlmaxmax33100000.94MPa 22 0.08 0.2SFbh 故由正应力强度条件所确定故由正应力强

25、度条件所确定(qudng)的的h=200mm能满足能满足切应力强度条件。切应力强度条件。465100.194194mm0.08hm第45页/共71页第四十六页，共71页。例例5. 一受载外伸梁及截面形状如图。已知一受载外伸梁及截面形状如图。已知:l=2m,Iz=5493104mm4;若材料为铸铁若材料为铸铁:t = 30 MPa，c = 90 MPa, =24MPa。试求。试求q的容许值的容许值,并校核切应力并校核切应力(yngl)强度。强度。解：解：1画剪力、弯矩图，确定画剪力、弯矩图，确定(qudng)危险截面、危险点。危险截面、危险点。lqlqDllABCzy86134401802020

26、80FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-第46页/共71页第四十七页，共71页。2求求 q 。C截面截面(jimin)：q 12.3kN/m262max820.13443010549310ctzqM yIlqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-ttccyy 第47页/共71页第四十八页，共71页。B截面截面(jimin)：261max820.08623010549310BtzqMyIq 9.6 kN/m 该梁所受该梁所受q 的容许的容许(rngx)值为：值为： q =9.6kN/mlqlqDllAB

27、Czy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-第48页/共71页第四十九页，共71页。3、校核、校核(xio h)切应力切应力lqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+- *32maxmax89.6 102 0.1340.04/23.14MPa5493 100.04SzzFSI b 第49页/共71页第五十页，共71页。二、提高二、提高(t go)承载能力的承载能力的措施措施1、选择合理截面、选择合理截面(jimin)形式形式即即Wz /A 越大越合理，此时越大越合理，此时I

28、z /A也较大，既可提高强也较大，既可提高强度度(qingd)，又可提高刚度。，又可提高刚度。弯矩弯矩M与与Wz成正比，成正比，maxzMW第50页/共71页第五十一页，共71页。如设截面如设截面(jimin)高度为高度为h ，216/0.167zWbhbhhA=0.27 0.34zWhA=（）可见，工字型截面比矩形可见，工字型截面比矩形(jxng)截面合理，而矩形截面合理，而矩形(jxng)截面又比圆截面合理。截面又比圆截面合理。选择截面的形式时，还要考虑材料选择截面的形式时，还要考虑材料(cilio)的性能。塑性：的性能。塑性：中性轴对称；脆性：中性轴非对称中性轴对称；脆性：中性轴非对称,

29、 ；对圆形截面：对圆形截面：423240.125dzdWhAttccyy 第51页/共71页第五十二页，共71页。2、采用强度、采用强度(qingd)较高的材料较高的材料一般一般(ybn)高强度材料的高强度材料的和和较高。较高。3、采用、采用(ciyng)变截面变截面梁梁采用变截面梁，可节省材料及减少自重。采用变截面梁，可节省材料及减少自重。FAB（a）l /2l /2x最合理的变截面梁是等强度梁最合理的变截面梁是等强度梁.max = M(x) / W(x) = M(x) = Fx /2W(x) = bh2(x) /6当高度当高度b = 常数时常数时:第52页/共71页第五十三页，共71页。由

30、切应力由切应力(yngl)强度条强度条件件:maxmaxminmin33/2 22SFFhbhb3( )Fxh xb min34FhbFhmin-鱼腹鱼腹(y f)(y f)梁梁第53页/共71页第五十四页，共71页。FhminF/2F/2FyFF第54页/共71页第五十五页，共71页。4、改善、改善(gishn)梁的受梁的受力状况力状况可通过可通过(tnggu)调整支座和改变结构来完成。调整支座和改变结构来完成。lqq0.6lql2 /40ql2 /50ql2 /50l/2Fl/2l/4Fl/4l/4l/4ql2 /8第55页/共71页第五十六页，共71页。ABqABq5、增加、增加(zng

31、ji)梁的支座梁的支座超静定超静定梁梁可减少可减少(jinsho)Mmax及及位移。位移。第56页/共71页第五十七页，共71页。第57页/共71页第五十八页，共71页。第58页/共71页第五十九页，共71页。设设 z 为中性为中性(zhngxng)轴：轴：又由又由当当中性轴中性轴z通过截面形心通过截面形心时，时，FN = 0。CyzdAzyO0NzAAEEFdAydASzMyI第59页/共71页第六十页，共71页。可见：非对称截面梁发生平面弯曲时，外力作用的平面必须平行可见：非对称截面梁发生平面弯曲时，外力作用的平面必须平行于形心主惯性平面。此时，梁的轴线在形心主惯性平面内弯成一条平于形心主惯性平面。此时，梁的轴线在形心主惯性平面内弯成一条平面曲线。横截面上的另一根形心主轴面曲线。横截面上的另一根形心主轴(zhzhu)(zhzhu)即为中性轴。即为中性轴。y、z轴为形心主轴轴为形心主轴（梁受到平行（梁受到平行(pngxng)于于y轴的外力作用）轴的外力作用）= M= 0CyzdAzyOddyAAzMMzAyz AIdzAMyA第60页/共71页第六十一页，共71页。CxyzFxzyCFAe第61页/共71页第六十二页，共71页。弯心平面：通过弯曲弯心平面：通过弯曲(wnq)中心与形心主惯性