条件概率 课件

1、概率论概率论 5 5 条件概率条件概率条件概率条件概率乘法公式乘法公式全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式小结小结概率论概率论 在解决许多概率问题时，往往需要在有某在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.1. 条件概率的概念条件概率的概念 如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的概发生的概率，将此概率记作率，将此概率记作P(A|B). 一般地一般地 P(A|B) P(A) 概率论概率论 例如，掷一颗均匀骰子，例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点， P(A|B)=？掷骰子掷骰子容易

2、看到容易看到31BAP ,AP ,61AP,61ABP ,21BP 可以看出可以看出, ,事件事件A在在“事件事件B已发生已发生” ” 这附加条件的概率与不附加这个条件这附加条件的概率与不附加这个条件 的概率是不同的的概率是不同的 )()(216131BPABPP(A|B)但有但有概率论概率论 若事件若事件B已发生已发生, 则为使则为使 A也也发生发生, 试验结果必须是既在试验结果必须是既在 B 中又在中又在A中的样本点中的样本点, 即此点必即此点必属于属于AB. 由于我们已经知道由于我们已经知道B已已发生发生, 故故B变成了新的样本空间变成了新的样本空间, 于是于是 有有(1). 设设A、B

3、是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称 (1)()()|(BPABPBAPSABAB条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件B发生发生的条件下的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.概率论概率论 2. 条件概率的性质条件概率的性质 : | 件件具具备备概概率率定定义义的的三三个个条条条条件件概概率率AP ; 0|, : 1 ABPB对对于于任任意意的的事事件件非非负负性性 ; : 21 A|SP规规范范性性 , , : 321则有事件是两两互不相容设可列可加性BB 11iiiiABPABP . 性质对条件概率都成立所有在第二节中证明的概率论概率论 3. 条件概率的计算条件概率的

4、计算1) 用定义计算用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0 2)缩小样本空间法缩小样本空间法(把样本空间定义在把样本空间定义在B上上) ： 再求出该样本空间中再求出该样本空间中A包含的基本事数包含的基本事数k关键：关键：先计算出先计算出B发生的条件下的样本空间发生的条件下的样本空间所包含的基本事件数所包含的基本事件数BSBn,)|(BnkBAP概率论概率论 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2 点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31B发生后的缩减发生后的缩减样本空间所含样样本空间所含样本点总数本点总数在缩减样本空在缩减样本空间中间中A所含样所含样本点个数本点个数概率论

5、概率论 例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1)()()|(BPABPBAP解法解法2 2163)|(BAP解解 设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用定义应用定义在在B发生后的缩减样本发生后的缩减样本空间中计算空间中计算21366363概率论概率论 由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()()|(BPABPBAP若已知若已知P(B), P(A|B)时时, 可以反

6、求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有 P(A)0 , 则则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)(2) 和和 (3)式式都称为乘法都称为乘法公式公式,利用它利用它们可计算两们可计算两个事件同时个事件同时发生的概率发生的概率概率论概率论 . 个个事事件件的的积积事事件件的的情情况况乘乘法法定定理理可可以以推推广广到到多多 , 0 , 则则且且为为三三个个事事件件、设设 ABPCBA .|APABPABCPABCP , 2, , , , 21并并且且个个事事件件设设有有一一般般地地 nAAAnn , , 0121可可得得则则由由条条件件概概率率的的定定义义 nAAAP

7、2-2111-2121|nnnnnAAAAPAAAAPAAAP 112213|APAAPAAAP 概率论概率论 乘法公式应用举例乘法公式应用举例 例例2 一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个红球个红球. 随机随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续这种手续进行四次进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率次取到红球的概率. （波里亚罐子模型）（波里亚罐子模型）b个白球个白球, r个红球个红球概率论概率

8、论 于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“连续取四个球，第一、连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球第二个是白球，第三、四个是红球. ” b个白球个白球, r个红球个红球 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进回罐中，并且再加进c个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球. 解解 设设 Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是红球次取出是红球， j=1,2,3,4概率论概率论 用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次时，由于每次取出球后会增加下一

9、次也取到同色球的概率也取到同色球的概率. 这是一个这是一个传染病模型传染病模型. 每次每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.crbcrcrbrcrbcbrbb32=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)概率论概率论 解解A= 取了取了n 次都没有取到黑球次都没有取到黑球 例例3 袋中有一个白球和一个黑球，一次次从袋袋中有一个白球和一个黑球，一次次从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回外再中摸球，如果取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直到取出黑球为止，求取了加进一个白球，直到取出黑球为

10、止，求取了n 次都没有取到黑球的概率次都没有取到黑球的概率 .Ai=第第i次取到白球次取到白球, i=1,2,3,则则A= A1 A2 A3 AnP(A)=P( )A1 A2 A3 An=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1) 1223341nn11n概率论概率论 , 4第一次落下时透镜设某光学仪器厂制造的例 , , 21 第二次落下第二次落下若第一次落下未打破若第一次落下未打破打破的概率为打破的概率为 , , 107第第三三次次落落下下打打若若前前两两次次未未打打破破打打破破的的概概率率是是 . , 109破破的的概概率率试试求求透透镜镜落落下下三三次次未未打打破破的的概

11、概率率是是 解解 , 3 , 2 , 1, iiAi次次落落下下打打破破透透镜镜第第设设 , 则则透镜落下三次未打破透镜落下三次未打破 B . 321AAAB 321AAAPBP 213121|AAAPAAPAP 10911071211 . 2003 概率论概率论 . 1 , BPBPBPBP求求得得再再由由本本题题也也可可以以先先求求 由由于于 , 321211AAAAAAB , 321211AAAAAA并且并且 , 故故有有为为两两两两不不相相容容事事件件 321211AAAAAAPBP 321211AAAPAAPAP 213121121|21AAAPAAPAPAAPAP 21 10721

12、1 1091071211 . 200197 20019711 BPBP所所以以 . 2003 概率论概率论 , , , nBBBES21的的样样本本空空间间为为随随机机试试验验设设 , 如果满足如果满足的一组事件的一组事件是是 E jiBBji 1 221S BB Bn , , , , , 2121nnBBBBBB或称为完备事件组则称 . 的的一一个个划划分分为为S: 注注意意 , , , 为样本空间的一个划分为样本空间的一个划分若若nBBB21 , 事事件件组组则则对对每每次次试试验验 , , 中必有且仅有中必有且仅有nBBB21一个事件发生一个事件发生. . , 分割成若干个互斥事件分割成

13、若干个互斥事件的划分是将的划分是将可见可见SS定义定义概率论概率论 , SE的的样样本本空空间间为为设设试试验验nBBB, , 21 , , 则则对对且且的的一一个个划划分分为为n,iBPSi 210 , 恒有恒有样本空间中的任一事件样本空间中的任一事件 A niiiB|APBPAP1 证明证明 nBBBA 21nABABAB 21 并并且且 , , 所所以以jiABABji nABPABPABPAP 21 nnB|APBPB|APBP 11 niiiB|APBP1定理定理 因因为为 ASA（全概率公式）（全概率公式）概率论概率论 B1B2B3B4B5B6B7B8A 在较复杂情况下直接计算在较

14、复杂情况下直接计算P(A)不易不易, ,但但A总是伴总是伴随着某个随着某个Bi出现，适当地去构造这一组出现，适当地去构造这一组Bi往往可以往往可以简化计算简化计算. .全概率公式全概率公式的理论和实用意义在于的理论和实用意义在于: :概率论概率论 全概率公式的使用：全概率公式的使用： 我们把事件我们把事件A 看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，因，看作该过程的若干个原把nBBB,21 每一原因发生的概率已知每一原因发生的概率已知,已知即kBP,已知即kBAP且每一原因对结果的影响程度已知且每一原因对结果的影响程度已知则则我们可用全概率公式计算结果发生的概率我们可用全概率公式计算结果发生的概

15、率 AP即求概率论概率论 则则 表示表示“此人是女性此人是女性”. CP(A| )=0.0025C设设 C=此人是男性此人是男性，A=此人是色盲患者此人是色盲患者，已知已知P(C)=0.5,P(A|C)=0.05,CP( )=0.5, 例例 5 已知男性中有已知男性中有5是色盲，女性中有是色盲，女性中有0.25是是色盲，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，色盲，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，求此人是色盲患者的概率求此人是色盲患者的概率.解解由全概率公式由全概率公式 P(A)=P(C)P(A |C)+ CP( ) P(A| )C=0.02625 =0.50.05+0.5 0.0025概

16、率论概率论 njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)()()()()|( 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯 (Bayes) 给出给出. 它是在它是在观察到事件观察到事件A已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致A发生的每发生的每个原因的概率个原因的概率.ni, 2 , 1 贝叶斯公式贝叶斯公式定理定理2 , 0 , 则则恒恒有有且且中中的的任任一一事事件件为为AP SA , , 21的为样本空间设SBBBn, 一个划分概率论概率论 BayesBayes公式的使用：公式的使用：每一原因发生的概率已知，每一原因发生的概率已知，已知即kBP已知即kBAP而且每一原因对结果的影

17、响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件如果已知事件A已经发生，要求此时是由第已经发生，要求此时是由第 i 个原个原因引起的概率，则用因引起的概率，则用Bayes公式公式ABPi即求 我们把事件我们把事件A 看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，因，看作该过程的若干个原把nBBB,21概率论概率论 例例6 6 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。由长同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。由长 期的经验知，三家的正品率分别为期的经验知，三家的正品率分别为0.950.95、0.900.90、0.800.80，三家产品数所占比例为三家产品数所占比例为2:3:52:3:5，混合在一起。，

18、混合在一起。（1 1）从中任取一件，求此产品为正品的概率；）从中任取一件，求此产品为正品的概率；（2 2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、）现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？解解 设事件设事件A表示表示“取到的产品为正品取到的产品为正品”，321,BBB分别表示分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产产品由甲、乙、丙厂生产”概率论概率论 （1 1）由全概率公式得：）由全概率公式得： 31()()()iiiP AP BP A B 0.2 0.950.3 0.90.5 0.80.86 由已知由已知123()0.2,()0.3,()0

19、.5P BP BP B 123()0.95,()0.9,()0.8P A BP A BP A B 概率论概率论 (2)(2)由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得由以上由以上3 3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小。能性最大，由甲厂生产的可能性最小。111222333() ()0.2 0.95()0.2209( )0.86() ()0.3 0.9()0.3140( )0.86() ()0.5 0.8()0.4651( )0.86P B P A BP B AP AP B P A BP B AP AP B P A BP B AP A

20、概率论概率论 P(Bi) (i=1,2,n) 是在没有进一步信息（不知道事是在没有进一步信息（不知道事件件A是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识性大小的认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发发生），人们对诸事件发生可能性大小生可能性大小P(Bi | A)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化 在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Bi)和和P(Bi |A)分别称为原因的分别称为原因的先验概率先验概率和和后后验概率验概率.贝叶斯公式在实际中有很多应用贝叶斯公式

21、在实际中有很多应用.概率论概率论 例例7 7 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良对以往的数据分析结果表明当机器调整得良 好时好时, ,产品的合格率为产品的合格率为 90%,90%,而当机器发生某一而当机器发生某一 故障故障, ,其合格率为其合格率为 30%.30%.每天早上机器开动时机每天早上机器开动时机 器调整良好的概率为器调整良好的概率为 75%.75%.已知某天早上第一件已知某天早上第一件 产品是合格品，产品是合格品， 试求：机器调整得良好的概率是多少？试求：机器调整得良好的概率是多少？%30)|( BAPBB%90)|( BAP机器调整得机器调整得良好良好 机器发生某一机器发生某一

22、故障故障 A产品合格产品合格概率论概率论 解解 ：)|(ABP)B|A(P)B(P)B|A(P)B(P)B|A(P)B(P.90302509075090750说明：说明：乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式非常重要，在运用时关键是找到样本空间的划分。非常重要，在运用时关键是找到样本空间的划分。概率论概率论 例例8 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一，患者对一种试验反应是阳性的概率为种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试，正常人对这种试验反应是阳性的概率为验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试，现抽查了一个人，试验反应

23、是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. CCC已知已知 P(C)=0.005, P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04解解设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求 P(C|A). 它可以帮助人们确定某结果（事件它可以帮助人们确定某结果（事件 A）发生的最）发生的最可能原因可能原因.概率论概率论 现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义. .由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得代入数据计算得 P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？概率论概率论 0